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4.[2025济南]A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所示,则他们相遇时距离A地
$\dfrac{300}{7}$
km.答案
$\dfrac{300}{7}$ 【点拨】由题图可设甲的函数表达式为$s=k_1t$,乙的函数表达式为$s=k_2t+100$,则$30=2k_1$,$80=k_2+100$,解得$k_1=15$,$k_2=-20$,所以甲的函数表达式为$s=15t$,乙的函数表达式为$s=-20t+100$.联立得$\begin{cases}s=15t,\\s=-20t+100,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=\dfrac{20}{7},\\s=\dfrac{300}{7},\end{cases}$即他们相遇时距离A地$\dfrac{300}{7}$km.
解析
【分析】
这是一道一次函数与行程相遇结合的实际问题，解题可按三步展开：第一步明确函数类型：甲从A地出发，初始时距离A地0km，因此s是关于t的正比例函数；乙从B地出发，初始时距离A地100km，因此s是关于t的一次函数。第二步用待定系数法求两个函数的解析式，从图像中提取对应点的坐标代入计算即可。第三步理解相遇的实际意义：两人相遇时到A地的距离相等，对应两个函数图像的交点，交点的纵坐标就是所求的相遇时距离A地的距离，联立两个解析式求解即可。
【解析】
解：设甲的s与t的函数表达式为$s = k_1t$，
由图像可知，当$t=2\mathrm{h}$时，$s=30\mathrm{km}$，代入表达式得：
$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，
因此甲的函数表达式为$s = 15t$。
设乙的s与t的函数表达式为$s = k_2t + b$，
由图像可知，函数过点$(0,100)$和$(1,80)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，
将$(1,80)$和$b=100$代入得：$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，
因此乙的函数表达式为$s = -20t + 100$。
两人相遇时到A地的距离相等，即s值相等，联立两个表达式：
$\begin{cases} s=15t \\ s=-20t+100 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} t=\dfrac{20}{7} \\ s=\dfrac{300}{7} \end{cases}$
即他们相遇时距离A地$\dfrac{300}{7}\mathrm{km}$。
【答案】
$\dfrac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题将行程相遇问题与一次函数图像结合，解题核心是读懂图像传递的信息，准确求出两个函数的解析式，再结合相遇的实际含义转化为求函数交点的问题，能有效考查数形结合思想和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数与行程相遇结合的实际问题，解题可按三步展开：第一步明确函数类型：甲从A地出发，初始时距离A地0km，因此s是关于t的正比例函数；乙从B地出发，初始时距离A地100km，因此s是关于t的一次函数。第二步用待定系数法求两个函数的解析式，从图像中提取对应点的坐标代入计算即可。第三步理解相遇的实际意义：两人相遇时到A地的距离相等，对应两个函数图像的交点，交点的纵坐标就是所求的相遇时距离A地的距离，联立两个解析式求解即可。
【解析】
解：设甲的s与t的函数表达式为$s = k_1t$，
由图像可知，当$t=2\mathrm{h}$时，$s=30\mathrm{km}$，代入表达式得：
$30 = 2k_1$，解得$k_1=15$，
因此甲的函数表达式为$s = 15t$。
设乙的s与t的函数表达式为$s = k_2t + b$，
由图像可知，函数过点$(0,100)$和$(1,80)$，
将$(0,100)$代入得$b=100$，
将$(1,80)$和$b=100$代入得：$80 = k_2 + 100$，解得$k_2=-20$，
因此乙的函数表达式为$s = -20t + 100$。
两人相遇时到A地的距离相等，即s值相等，联立两个表达式：
$\begin{cases} s=15t \\ s=-20t+100 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} t=\dfrac{20}{7} \\ s=\dfrac{300}{7} \end{cases}$
即他们相遇时距离A地$\dfrac{300}{7}\mathrm{km}$。
【答案】
$\dfrac{300}{7}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题将行程相遇问题与一次函数图像结合，解题核心是读懂图像传递的信息，准确求出两个函数的解析式，再结合相遇的实际含义转化为求函数交点的问题，能有效考查数形结合思想和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
5. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示。小球滚动过程中的速度$y$(m/s)与时间$x$(s)之间的关系如图②所示。
(1)求$AB$所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长。
(1)求$AB$所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长。
答案
(1)设OA所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$,把$(1,2)$代入$y=kx$,得$2=k$,所以$y=2x$.
当$x=2$时,$y=4$,即点A的坐标为$(2,4)$.
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$,
所以$\begin{cases}4=2m+b,\\2=3.5m+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{20}{3},\end{cases}$
所以AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$.
(2)由(1)得AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$.
当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得$x=5$. $5-2=3(\mathrm{s})$,
所以该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s.
当$x=2$时,$y=4$,即点A的坐标为$(2,4)$.
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$,
所以$\begin{cases}4=2m+b,\\2=3.5m+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{20}{3},\end{cases}$
所以AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$.
(2)由(1)得AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$.
当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$,解得$x=5$. $5-2=3(\mathrm{s})$,
所以该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3 s.
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先从速度-时间图象中提取有效信息：
1. 求AB段的一次函数表达式，需先确定A点坐标：OA是过原点的正比例函数，已知点(1,2)在OA上，先求OA的解析式，计算x=2时的y值即可得到A点坐标；AB段还给出点(3.5,2)，用待定系数法代入两个点的坐标就能求出AB的函数表达式。
2. 小球到达斜面底端对应图象的A点，此时时间为x=2s，小球停止时速度为0，即求AB段y=0时对应的x值，用该时间减去2s就是斜面底端到停止的时长。
【解析】
(1) 先求OA段的函数表达式：
设OA所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，
把$(1,2)$代入$y=kx$，得$2=k$，因此OA的解析式为$y=2x$。
当$x=2$时，$y=2×2=4$，即点A的坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$，
将$A(2,4)$和$(3.5,2)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3}\\b=\dfrac{20}{3}\end{cases}$，
所以AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球到达斜面底端的时刻为x=2s，小球停止时速度$y=0$，
将$y=0$代入AB的解析式得：
$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$，解得$x=5$。
因此从斜面底端到停止的时长为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$
(2) $3\ \mathrm{s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象的应用
【点评】
本题结合小球滚动的运动情境考查一次函数的应用，解题关键是明确图象各段、各点对应的实际运动状态，准确提取坐标信息，熟练运用待定系数法求解析式，再结合函数性质求解实际问题。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，首先从速度-时间图象中提取有效信息：
1. 求AB段的一次函数表达式，需先确定A点坐标：OA是过原点的正比例函数，已知点(1,2)在OA上，先求OA的解析式，计算x=2时的y值即可得到A点坐标；AB段还给出点(3.5,2)，用待定系数法代入两个点的坐标就能求出AB的函数表达式。
2. 小球到达斜面底端对应图象的A点，此时时间为x=2s，小球停止时速度为0，即求AB段y=0时对应的x值，用该时间减去2s就是斜面底端到停止的时长。
【解析】
(1) 先求OA段的函数表达式：
设OA所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，
把$(1,2)$代入$y=kx$，得$2=k$，因此OA的解析式为$y=2x$。
当$x=2$时，$y=2×2=4$，即点A的坐标为$(2,4)$。
设AB所在直线的函数表达式为$y=mx+b(m≠0)$，
将$A(2,4)$和$(3.5,2)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}4=2m+b\\2=3.5m+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\dfrac{4}{3}\\b=\dfrac{20}{3}\end{cases}$，
所以AB所在直线的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$。
(2) 小球到达斜面底端的时刻为x=2s，小球停止时速度$y=0$，
将$y=0$代入AB的解析式得：
$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$，解得$x=5$。
因此从斜面底端到停止的时长为$5-2=3(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}$
(2) $3\ \mathrm{s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象的应用
【点评】
本题结合小球滚动的运动情境考查一次函数的应用，解题关键是明确图象各段、各点对应的实际运动状态，准确提取坐标信息，熟练运用待定系数法求解析式，再结合函数性质求解实际问题。
【难度系数】
0.7
6. ★★ 中华传统文化 端午节吃粽子 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元,某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同.
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价;
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒进行销售,经调查了解到有A,B两个厂家可供选择,两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折出售.
B厂家:若一次性购买礼盒数量超过25盒,超过的部分打7折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒,设去A厂家购买应付$y_1$元,去B厂家购买应付$y_2$元,其函数图象如图所示:
①分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数关系式.
②若该商家只在一个厂家购买,怎样购买划算?
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价;
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒进行销售,经调查了解到有A,B两个厂家可供选择,两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折出售.
B厂家:若一次性购买礼盒数量超过25盒,超过的部分打7折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒,设去A厂家购买应付$y_1$元,去B厂家购买应付$y_2$元,其函数图象如图所示:
①分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数关系式.
②若该商家只在一个厂家购买,怎样购买划算?
答案
(1)设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为$x$元和$y$元.
根据题意,得$\begin{cases}x-y=10,\\\dfrac{2\ 500}{x}=\dfrac{2\ 000}{y},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=40.\end{cases}$
所以每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元,40元.
(2)①根据题意,得$y_1=0.8×40x=32x$;
当$0＜x≤25$时,$y_2=40x$;
当$x＞25$时,$y_2=25×40+0.7×40(x-25)=28x+300$.综上,$y_1=32x$; $y_2=\begin{cases}40x(0＜x≤25),\\28x+300(x＞25).\end{cases}$
②令$32x=28x+300$,解得$x=75$.
结合函数图象可知:当$0＜x＜75$时,$y_1＜y_2$;
当$x=75$时,$y_1=y_2$;当$x＞75$时,$y_2＜y_1$.
所以该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒,从A厂家购买比较划算;若等于75盒,从A和B两个厂家任选一个厂家即可;若超过75盒,从B厂家购买比较划算.
根据题意,得$\begin{cases}x-y=10,\\\dfrac{2\ 500}{x}=\dfrac{2\ 000}{y},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=40.\end{cases}$
所以每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元,40元.
(2)①根据题意,得$y_1=0.8×40x=32x$;
当$0＜x≤25$时,$y_2=40x$;
当$x＞25$时,$y_2=25×40+0.7×40(x-25)=28x+300$.综上,$y_1=32x$; $y_2=\begin{cases}40x(0＜x≤25),\\28x+300(x＞25).\end{cases}$
②令$32x=28x+300$,解得$x=75$.
结合函数图象可知:当$0＜x＜75$时,$y_1＜y_2$;
当$x=75$时,$y_1=y_2$;当$x＞75$时,$y_2＜y_1$.
所以该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒,从A厂家购买比较划算;若等于75盒,从A和B两个厂家任选一个厂家即可;若超过75盒,从B厂家购买比较划算.
解析
【分析】
(1) 第一问需要找准两个等量关系：一是每盒肉粽进价比豆沙粽贵10元，二是2500元购进肉粽的盒数与2000元购进豆沙粽的盒数相等，设未知数列方程组求解即可，注意验证解的合理性。
(2) ①求函数关系式时，A厂家无门槛打8折，直接根据“总价=单价×折扣×数量”列式即可；B厂家优惠有数量门槛，需要分购买数量不超过25盒、超过25盒两种情况，结合优惠规则写分段函数。
②判断哪个厂家划算本质是比较两个函数值的大小，先求出两个函数值相等时的购买数量，再分三类讨论：y₁＜y₂、y₁=y₂、y₁＞y₂，对应不同的最优方案。
【解析】
(1) 设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为$x$元和$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-y=10,\\\dfrac{2\ 500}{x}=\dfrac{2\ 000}{y},\end{cases}$
由第二个方程交叉相乘得$2500y=2000x$，即$5y=4x$，将$x=y+10$代入得$5y=4(y+10)$，解得$y=40$，则$x=40+10=50$。
经检验，$\begin{cases}x=50,\\y=40\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
(2) ①由(1)可知豆沙粽单价为40元/盒：
A厂家一律打8折，因此$y_1=0.8×40x=32x$（$x$为正整数）；
B厂家分两种情况：
当$0＜x≤25$时，无优惠，$y_2=40x$；
当$x＞25$时，前25盒按原价，超出部分打7折，因此$y_2=25×40 + 0.7×40(x-25)=28x+300$。
②比较两个厂家的费用：
当$0＜x≤25$时，$y_1=32x＜40x=y_2$，A厂家更划算；
当$x＞25$时，令$y_1=y_2$，即$32x=28x+300$，解得$x=75$；
若$y_1＜y_2$，则$32x＜28x+300$，解得$x＜75$，即$25＜x＜75$时A厂家划算；
若$y_1＞y_2$，则$32x＞28x+300$，解得$x＞75$，此时B厂家划算。
【答案】
(1) 每盒肉粽进价50元，每盒豆沙粽进价40元；
(2) ①$y_1=32x$；$y_2=\begin{cases}40x&(0＜x≤25)\\28x+300&(x＞25)\end{cases}$；
②当购买豆沙粽礼盒数量少于75盒时，选择A厂家更划算；当购买数量等于75盒时，两个厂家费用相同，任选其一即可；当购买数量超过75盒时，选择B厂家更划算。
【知识点】
分式方程应用，一次函数解析式，方案优化问题
【点评】
本题以端午节采购粽子的生活场景为背景，综合考查了方程与一次函数的实际应用，解题过程需要用到分类讨论思想，要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问需要找准两个等量关系：一是每盒肉粽进价比豆沙粽贵10元，二是2500元购进肉粽的盒数与2000元购进豆沙粽的盒数相等，设未知数列方程组求解即可，注意验证解的合理性。
(2) ①求函数关系式时，A厂家无门槛打8折，直接根据“总价=单价×折扣×数量”列式即可；B厂家优惠有数量门槛，需要分购买数量不超过25盒、超过25盒两种情况，结合优惠规则写分段函数。
②判断哪个厂家划算本质是比较两个函数值的大小，先求出两个函数值相等时的购买数量，再分三类讨论：y₁＜y₂、y₁=y₂、y₁＞y₂，对应不同的最优方案。
【解析】
(1) 设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为$x$元和$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-y=10,\\\dfrac{2\ 500}{x}=\dfrac{2\ 000}{y},\end{cases}$
由第二个方程交叉相乘得$2500y=2000x$，即$5y=4x$，将$x=y+10$代入得$5y=4(y+10)$，解得$y=40$，则$x=40+10=50$。
经检验，$\begin{cases}x=50,\\y=40\end{cases}$是原方程组的解，且符合实际意义。
(2) ①由(1)可知豆沙粽单价为40元/盒：
A厂家一律打8折，因此$y_1=0.8×40x=32x$（$x$为正整数）；
B厂家分两种情况：
当$0＜x≤25$时，无优惠，$y_2=40x$；
当$x＞25$时，前25盒按原价，超出部分打7折，因此$y_2=25×40 + 0.7×40(x-25)=28x+300$。
②比较两个厂家的费用：
当$0＜x≤25$时，$y_1=32x＜40x=y_2$，A厂家更划算；
当$x＞25$时，令$y_1=y_2$，即$32x=28x+300$，解得$x=75$；
若$y_1＜y_2$，则$32x＜28x+300$，解得$x＜75$，即$25＜x＜75$时A厂家划算；
若$y_1＞y_2$，则$32x＞28x+300$，解得$x＞75$，此时B厂家划算。
【答案】
(1) 每盒肉粽进价50元，每盒豆沙粽进价40元；
(2) ①$y_1=32x$；$y_2=\begin{cases}40x&(0＜x≤25)\\28x+300&(x＞25)\end{cases}$；
②当购买豆沙粽礼盒数量少于75盒时，选择A厂家更划算；当购买数量等于75盒时，两个厂家费用相同，任选其一即可；当购买数量超过75盒时，选择B厂家更划算。
【知识点】
分式方程应用，一次函数解析式，方案优化问题
【点评】
本题以端午节采购粽子的生活场景为背景，综合考查了方程与一次函数的实际应用，解题过程需要用到分类讨论思想，要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，能够有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
