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1. 某公司推出A,B两种电话计费方式.
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为$t$ min,根据上表,分别写出在不同时间范围内,方式A,方式B的计费金额$y_1$(元),$y_2$(元)关于$t$的函数表达式;
(2)若你预计每月主叫时间为1 150 min,你将选择A,B哪种计费方式,并说明理由;
(3)请你根据月主叫时间$t$的不同范围,求出最省钱的计费方式.
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为$t$ min,根据上表,分别写出在不同时间范围内,方式A,方式B的计费金额$y_1$(元),$y_2$(元)关于$t$的函数表达式;
(2)若你预计每月主叫时间为1 150 min,你将选择A,B哪种计费方式,并说明理由;
(3)请你根据月主叫时间$t$的不同范围,求出最省钱的计费方式.
答案
(1)根据表格数据可知,当$0≤ t≤ 1\ 000$时,$y_1=78$;当$t＞1\ 000$时,$y_1=78+0.25(t-1\ 000)=0.25t-172$;
当$0≤ t≤ 1\ 200$时,$y_2=108$;当$t＞1\ 200$时,$y_2=108+0.19(t-1\ 200)=0.19t-120$.
综上,$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1\ 000),\\0.25t-172(t＞1\ 000),\end{cases}$$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1\ 200),\\0.19t-120(t＞1\ 200).\end{cases}$
(2)选择方式B计费,理由如下:
当每月主叫时间为1 150 min时,$y_1=0.25×1\ 150-172=115.5$,$y_2=108$.
因为$115.5＞108$,所以选择方式B计费.
(3)令$y_1=108$,得$0.25t-172=108$,解得$t=1\ 120$,
所以当$0≤ t＜1\ 120$时,方式A更省钱;当$t=1\ 120$时,方式A和B的付费金额相同;当$t＞1\ 120$时,方式B更省钱.
当$0≤ t≤ 1\ 200$时,$y_2=108$;当$t＞1\ 200$时,$y_2=108+0.19(t-1\ 200)=0.19t-120$.
综上,$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1\ 000),\\0.25t-172(t＞1\ 000),\end{cases}$$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1\ 200),\\0.19t-120(t＞1\ 200).\end{cases}$
(2)选择方式B计费,理由如下:
当每月主叫时间为1 150 min时,$y_1=0.25×1\ 150-172=115.5$,$y_2=108$.
因为$115.5＞108$,所以选择方式B计费.
(3)令$y_1=108$,得$0.25t-172=108$,解得$t=1\ 120$,
所以当$0≤ t＜1\ 120$时,方式A更省钱;当$t=1\ 120$时,方式A和B的付费金额相同;当$t＞1\ 120$时,方式B更省钱.
解析
【分析】
(1) 写计费金额的函数表达式需根据主叫限定时间分段讨论：主叫时间未超过限定时间时，计费为固定月使用费；超过限定时间时，计费=月使用费+超时时长×超时费率，据此分别写出两种计费方式的分段函数即可。
(2) 先判断1150min分别落在两个函数的哪个分段区间，代入对应表达式计算出两种方式的费用，比较大小后选择费用更低的方案。
(3) 找最省钱的方案需先求出两种计费费用相等时的主叫时间：先判断低时长区间的费用高低，再令两个函数值相等解出分界点t，以此为界分区间讨论费用大小，即可得到不同时长下的最优方案。
【解析】
(1) 对于计费方式A：
当$0≤ t≤ 1000$时，主叫未超时，$y_1=78$；
当$t＞1000$时，超时部分为$(t-1000)\mathrm{min}$，$y_1=78+0.25(t-1000)=0.25t-172$；
即$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1000)\\0.25t-172(t＞1000)\end{cases}$
对于计费方式B：
当$0≤ t≤ 1200$时，主叫未超时，$y_2=108$；
当$t＞1200$时，超时部分为$(t-1200)\mathrm{min}$，$y_2=108+0.19(t-1200)=0.19t-120$；
即$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1200)\\0.19t-120(t＞1200)\end{cases}$
(2) 当$t=1150\mathrm{min}$时：
代入y₁的表达式得$y_1=0.25×1150-172=115.5$元，
1150＜1200，因此$y_2=108$元，
因为$115.5＞108$，所以选择方式B计费。
(3) 令$y_1=108$，即$0.25t-172=108$，解得$t=1120$：
当$0≤ t＜1120$时，$y_1＜y_2$，方式A更省钱；
当$t=1120$时，$y_1=y_2$，两种计费方式费用相同；
当$t＞1120$时，$y_1＞y_2$，方式B更省钱。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1000)\\0.25t-172(t＞1000)\end{cases}$，$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1200)\\0.19t-120(t＞1200)\end{cases}$
(2)选择方式B计费，理由见解析；
(3)当$0≤ t＜1120$时选方式A，当$t=1120$时两种方式费用相同，当$t＞1120$时选方式B。
【知识点】
分段函数、一次函数实际应用、最优方案选择
【点评】
本题结合生活中常见的通讯计费场景，考查分段函数的应用与分类讨论思想，解题时要注意不同时长对应的计费规则，准确找到费用相等的分界点即可顺利求解，需注意计算时不要代错函数表达式。
【难度系数】
0.7
(1) 写计费金额的函数表达式需根据主叫限定时间分段讨论：主叫时间未超过限定时间时，计费为固定月使用费；超过限定时间时，计费=月使用费+超时时长×超时费率，据此分别写出两种计费方式的分段函数即可。
(2) 先判断1150min分别落在两个函数的哪个分段区间，代入对应表达式计算出两种方式的费用，比较大小后选择费用更低的方案。
(3) 找最省钱的方案需先求出两种计费费用相等时的主叫时间：先判断低时长区间的费用高低，再令两个函数值相等解出分界点t，以此为界分区间讨论费用大小，即可得到不同时长下的最优方案。
【解析】
(1) 对于计费方式A：
当$0≤ t≤ 1000$时，主叫未超时，$y_1=78$；
当$t＞1000$时，超时部分为$(t-1000)\mathrm{min}$，$y_1=78+0.25(t-1000)=0.25t-172$；
即$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1000)\\0.25t-172(t＞1000)\end{cases}$
对于计费方式B：
当$0≤ t≤ 1200$时，主叫未超时，$y_2=108$；
当$t＞1200$时，超时部分为$(t-1200)\mathrm{min}$，$y_2=108+0.19(t-1200)=0.19t-120$；
即$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1200)\\0.19t-120(t＞1200)\end{cases}$
(2) 当$t=1150\mathrm{min}$时：
代入y₁的表达式得$y_1=0.25×1150-172=115.5$元，
1150＜1200，因此$y_2=108$元，
因为$115.5＞108$，所以选择方式B计费。
(3) 令$y_1=108$，即$0.25t-172=108$，解得$t=1120$：
当$0≤ t＜1120$时，$y_1＜y_2$，方式A更省钱；
当$t=1120$时，$y_1=y_2$，两种计费方式费用相同；
当$t＞1120$时，$y_1＞y_2$，方式B更省钱。
【答案】
(1)$y_1=\begin{cases}78(0≤ t≤ 1000)\\0.25t-172(t＞1000)\end{cases}$，$y_2=\begin{cases}108(0≤ t≤ 1200)\\0.19t-120(t＞1200)\end{cases}$
(2)选择方式B计费，理由见解析；
(3)当$0≤ t＜1120$时选方式A，当$t=1120$时两种方式费用相同，当$t＞1120$时选方式B。
【知识点】
分段函数、一次函数实际应用、最优方案选择
【点评】
本题结合生活中常见的通讯计费场景，考查分段函数的应用与分类讨论思想，解题时要注意不同时长对应的计费规则，准确找到费用相等的分界点即可顺利求解，需注意计算时不要代错函数表达式。
【难度系数】
0.7
2. 某中学9月底举行秋季田径运动会，在运动会之前学校采购一些体育用品，经了解有甲、乙两家体育用品店利用网络平台进行销售，在平台上购买体育用品不仅方便而且还有优惠，其中甲店所有体育用品按9折出售，乙店一次购物200元以内(包括200元)不打折，超出200元的部分打8折。设学校采购的体育用品原价为$x$元，实际购物金额为$y$元。
(1)分别就这两家体育用品店的让利方式写出$y_甲$和$y_乙$与$x$之间的函数表达式。
(2)当$x＞200$时，选择哪家店购物更省钱？
(1)分别就这两家体育用品店的让利方式写出$y_甲$和$y_乙$与$x$之间的函数表达式。
(2)当$x＞200$时，选择哪家店购物更省钱？
答案
(1)由题意可得,$y_甲=0.9x$.
当$0＜x≤200$时,$y_乙=x$,
当$x＞200$时,$y_乙=200+(x-200)×0.8=0.8x+40$,
所以$y_乙=\begin{cases}x(0＜x≤200),\\0.8x+40(x＞200).\end{cases}$
(2)当$x＞200$时,令$0.9x＜0.8x+40$,解得$x＜400$,
即当$200＜x＜400$时,选择甲店购物更省钱;
令$0.9x=0.8x+40$,解得$x=400$,
即当$x=400$时,在两家店购物金额一样;
令$0.9x＞0.8x+40$,解得$x＞400$,
即当$x＞400$时,选择乙店购物更省钱.
当$0＜x≤200$时,$y_乙=x$,
当$x＞200$时,$y_乙=200+(x-200)×0.8=0.8x+40$,
所以$y_乙=\begin{cases}x(0＜x≤200),\\0.8x+40(x＞200).\end{cases}$
(2)当$x＞200$时,令$0.9x＜0.8x+40$,解得$x＜400$,
即当$200＜x＜400$时,选择甲店购物更省钱;
令$0.9x=0.8x+40$,解得$x=400$,
即当$x=400$时,在两家店购物金额一样;
令$0.9x＞0.8x+40$,解得$x＞400$,
即当$x＞400$时,选择乙店购物更省钱.
解析
【分析】
(1) 写函数表达式时，先明确两家店的优惠规则：甲店所有商品9折，直接用原价乘折扣即可得到$y_甲$；乙店优惠是分段的，需分购物原价不超过200元和超过200元两种情况，分别按对应规则列关系式，整理成分段函数形式。
(2) 当$x＞200$时，要判断哪家更省钱，本质是比较$y_甲$和$y_乙$的大小，分别令$y_甲＜y_乙$、$y_甲=y_乙$、$y_甲＞y_乙$，解对应的不等式或方程，得到不同$x$取值范围下的最优选择即可。
【解析】
(1) 甲店所有商品按9折出售，因此：
$y_甲 = 0.9x$（$x＞0$）
乙店分段优惠：
当$0＜x≤200$时，无折扣，所以$y_乙 = x$；
当$x＞200$时，200元以内部分不打折，超出200元的部分打8折，因此$y_乙 = 200 + 0.8(x-200) = 0.8x + 40$。
综上，$y_乙=\begin{cases}x&(0＜x≤200)\\0.8x+40&(x＞200)\end{cases}$
(2) 当$x＞200$时，分三种情况比较：
① 若选择甲店更省钱，即$y_甲 ＜ y_乙$：
$0.9x ＜ 0.8x + 40$
解得：$x ＜ 400$，结合$x＞200$，即$200＜x＜400$时选甲店更省钱；
② 若两家店花费相同，即$y_甲 = y_乙$：
$0.9x = 0.8x + 40$
解得：$x = 400$，即$x=400$时两家店花费一样；
③ 若选择乙店更省钱，即$y_甲 ＞ y_乙$：
$0.9x ＞ 0.8x + 40$
解得：$x ＞ 400$，即$x＞400$时选乙店更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.9x$；$y_乙=\begin{cases}x(0＜x≤200)\\0.8x+40(x＞200)\end{cases}$
(2) 当$200＜x＜400$时选择甲店购物更省钱；当$x=400$时两家店购物金额一样；当$x＞400$时选择乙店购物更省钱。
【知识点】
一次函数实际应用；分段函数；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，考查了分段函数解析式的书写，以及利用函数关系和不等式进行方案选择的能力，解题时要注意分段函数的边界取值，比较方案优劣时需做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
(1) 写函数表达式时，先明确两家店的优惠规则：甲店所有商品9折，直接用原价乘折扣即可得到$y_甲$；乙店优惠是分段的，需分购物原价不超过200元和超过200元两种情况，分别按对应规则列关系式，整理成分段函数形式。
(2) 当$x＞200$时，要判断哪家更省钱，本质是比较$y_甲$和$y_乙$的大小，分别令$y_甲＜y_乙$、$y_甲=y_乙$、$y_甲＞y_乙$，解对应的不等式或方程，得到不同$x$取值范围下的最优选择即可。
【解析】
(1) 甲店所有商品按9折出售，因此：
$y_甲 = 0.9x$（$x＞0$）
乙店分段优惠：
当$0＜x≤200$时，无折扣，所以$y_乙 = x$；
当$x＞200$时，200元以内部分不打折，超出200元的部分打8折，因此$y_乙 = 200 + 0.8(x-200) = 0.8x + 40$。
综上，$y_乙=\begin{cases}x&(0＜x≤200)\\0.8x+40&(x＞200)\end{cases}$
(2) 当$x＞200$时，分三种情况比较：
① 若选择甲店更省钱，即$y_甲 ＜ y_乙$：
$0.9x ＜ 0.8x + 40$
解得：$x ＜ 400$，结合$x＞200$，即$200＜x＜400$时选甲店更省钱；
② 若两家店花费相同，即$y_甲 = y_乙$：
$0.9x = 0.8x + 40$
解得：$x = 400$，即$x=400$时两家店花费一样；
③ 若选择乙店更省钱，即$y_甲 ＞ y_乙$：
$0.9x ＞ 0.8x + 40$
解得：$x ＞ 400$，即$x＞400$时选乙店更省钱。
【答案】
(1) $y_甲=0.9x$；$y_乙=\begin{cases}x(0＜x≤200)\\0.8x+40(x＞200)\end{cases}$
(2) 当$200＜x＜400$时选择甲店购物更省钱；当$x=400$时两家店购物金额一样；当$x＞400$时选择乙店购物更省钱。
【知识点】
一次函数实际应用；分段函数；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，考查了分段函数解析式的书写，以及利用函数关系和不等式进行方案选择的能力，解题时要注意分段函数的边界取值，比较方案优劣时需做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
3.某乡村盛产葡萄,果大味美.甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客,在销售价格一样的基础上分别推出优惠方案,甲采摘园的优惠方案:游客进园需购买门票,采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案:游客无需购买门票,采摘葡萄超过一定数量后,超过的部分打折销售.活动期间,某游客的葡萄采摘量为 $ x $ kg,若在甲采摘园所需总费用为 $ y_甲 $ 元,在乙采摘园所需总费用为 $ y_乙 $ 元,$ y_甲 $、$ y_乙 $与 $ x $ 之间的函数图象如图所示,则下列说法错误的是（
A.甲采摘园的门票费用是60元
B.两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克
C.乙采摘园超过10 kg后,超过的部分价格是12元/千克
D.当 $ 5＜x＜20 $ 时,乙采摘园更加优惠
D
）A.甲采摘园的门票费用是60元
B.两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克
C.乙采摘园超过10 kg后,超过的部分价格是12元/千克
D.当 $ 5＜x＜20 $ 时,乙采摘园更加优惠
答案
D 【点拨】由题图可得,甲采摘园的门票费用是60元,故选项A不合题意;两个采摘园优惠前的葡萄单价是$300÷10=30$(元/千克),故选项B不合题意;乙采摘园超过10 kg后,超过的部分价格是$(480-300)÷(25-10)=12$(元/千克),故选项C不合题意;当$0＜x≤10$时,$y_乙=30x$,当$x＞10$时,设$y_乙$与$x$之间的函数表达式是$y_乙=kx+b$,将$(10,300)$,$(25,480)$代入,得$\begin{cases}10k+b=300,\\25k+b=480,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=12,\\b=180,\end{cases}$即当$x＞10$时,$y_乙$与$x$之间的函数表达式是$y_乙=12x+180$.由题意可得,$y_甲=60+30×0.6x=18x+60$.当$30x=18x+60$,即$x=5$时,甲、乙两个采摘园的总费用相同,当$12x+180=18x+60$,即$x=20$时,甲、乙两个采摘园的总费用相同,由题图知,当$5＜x＜20$时,甲采摘园更加优惠,故选项D符合题意.故选D.
解析
【分析】
这是一道一次函数在实际方案选择中的应用题，解题思路如下：①首先从函数图像提取关键信息，甲函数图像与y轴的交点就是甲采摘园的门票费用；②乙采摘园10kg以内无优惠，用10kg对应的总费用除以采摘质量即可得到优惠前的葡萄单价；③用25kg和10kg对应的费用差除以质量差，就能求出乙超过10kg部分的单价；④再用待定系数法分别求出$y_甲$、$y_乙$的函数解析式，找到两个函数的交点（即费用相同的采摘量），结合图像判断不同区间哪个采摘园更优惠，逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：观察$y_甲$的图像，当$x=0$（未采摘葡萄）时，$y=60$元，这就是甲采摘园的门票费用，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：乙采摘园采摘10kg时总费用为300元，且10kg以内无优惠，因此优惠前葡萄单价为$300÷10=30$元/千克，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：乙采摘园采摘量从10kg到25kg，总费用从300元上涨到480元，因此超过10kg的部分单价为$(480-300)÷(25-10)=12$元/千克，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：先求两个函数的解析式：
甲采摘园：门票60元，葡萄按六折优惠，因此$y_甲=60+30×0.6x=18x+60$；
乙采摘园为分段函数：当$0＜x≤10$时，$y_乙=30x$；当$x＞10$时，设$y_乙=kx+b$，将$(10,300)$、$(25,480)$代入得$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$，即$x＞10$时$y_乙=12x+180$。
找费用相等的采摘量：当$0＜x≤10$时，令$30x=18x+60$，解得$x=5$；当$x＞10$时，令$12x+180=18x+60$，解得$x=20$。
结合图像可知，当$5＜x＜20$时，$y_甲＜y_乙$，即甲采摘园更优惠，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像解读
【点评】
本题结合生活中的采摘优惠场景，既考查了从函数图像提取有效信息的能力，也考查了分段函数解析式的求解、利用函数关系比较方案优劣的方法，解题的关键是找准分段函数的分界点和两个函数的交点，结合图像直观判断费用高低。
【难度系数】
0.6
这是一道一次函数在实际方案选择中的应用题，解题思路如下：①首先从函数图像提取关键信息，甲函数图像与y轴的交点就是甲采摘园的门票费用；②乙采摘园10kg以内无优惠，用10kg对应的总费用除以采摘质量即可得到优惠前的葡萄单价；③用25kg和10kg对应的费用差除以质量差，就能求出乙超过10kg部分的单价；④再用待定系数法分别求出$y_甲$、$y_乙$的函数解析式，找到两个函数的交点（即费用相同的采摘量），结合图像判断不同区间哪个采摘园更优惠，逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：观察$y_甲$的图像，当$x=0$（未采摘葡萄）时，$y=60$元，这就是甲采摘园的门票费用，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：乙采摘园采摘10kg时总费用为300元，且10kg以内无优惠，因此优惠前葡萄单价为$300÷10=30$元/千克，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：乙采摘园采摘量从10kg到25kg，总费用从300元上涨到480元，因此超过10kg的部分单价为$(480-300)÷(25-10)=12$元/千克，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：先求两个函数的解析式：
甲采摘园：门票60元，葡萄按六折优惠，因此$y_甲=60+30×0.6x=18x+60$；
乙采摘园为分段函数：当$0＜x≤10$时，$y_乙=30x$；当$x＞10$时，设$y_乙=kx+b$，将$(10,300)$、$(25,480)$代入得$\begin{cases}10k+b=300\\25k+b=480\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=12\\b=180\end{cases}$，即$x＞10$时$y_乙=12x+180$。
找费用相等的采摘量：当$0＜x≤10$时，令$30x=18x+60$，解得$x=5$；当$x＞10$时，令$12x+180=18x+60$，解得$x=20$。
结合图像可知，当$5＜x＜20$时，$y_甲＜y_乙$，即甲采摘园更优惠，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像解读
【点评】
本题结合生活中的采摘优惠场景，既考查了从函数图像提取有效信息的能力，也考查了分段函数解析式的求解、利用函数关系比较方案优劣的方法，解题的关键是找准分段函数的分界点和两个函数的交点，结合图像直观判断费用高低。
【难度系数】
0.6
