1.（2026·江苏扬州期末）如图，已知点A，B在电线OP上，OA = $\frac{2}{5}OP$，BP = $\frac{7}{10}OP$。若将电线在点A处折叠，使点O，B分别落在点O'，B'处，则用老虎钳在点B'处剪断后，电线OP剪成的三段中，最短电线与最长电线的长度比是（）


A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$2:5$

1. D 解析:设 $OP=x$. 因为 $OA=\frac{2}{5}OP,BP=\frac{7}{10}OP$,所以 $OA=\frac{2}{5}x,BP=\frac{7}{10}x$,所以 $AB=OA+BP-OP=\frac{1}{10}x$,所以 $OB=OA-AB=\frac{3}{10}x$. 由折叠的性质,得 A 是 $BB'$ 的中点,所以 $BB'=2AB=\frac{1}{5}x$,所以 $B'P=OP-OB-BB'=\frac{1}{2}x$. 因为剪成的三段分别为 $OB,BB',B'P$,所以最短电线与最长电线的长度比是 $BB':B'P=2:5$.

2. 如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为。

2. 3 解析:题图中共有六条线段,即 AC,AD,AB,CD,CB,DB. 又 D 是线段 CB 的中点,所以 $CD=DB$,$CB=2CD$,$AB=AC+2CD$,$AD=AC+CD$. 因为 $AC+AD+AB+CD+CB+DB=23$,所以 $AC+AC+CD+AC+2CD+CD+2CD+CD=23$,所以 $3AC+7CD=23$,所以 $AC=\frac{23-7CD}{3}$. 因为线段 AC 的长度与线段 CB 的长度都是正整数,所以 $CD=2$,所以 $AC=3$.

3.（2026·江苏无锡期末）如图，点A,B,C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点。给出下列说法：① $ MN = AH $；② $ MN = HB + \frac{1}{2}BC $；③ $ MH = \frac{1}{2}(AH - HB) $；④ $ HN = \frac{1}{2}(AC - BC) $。其中正确的是（）


A.①②
B.②③
C.①③④
D.①②③④

3. C 解析:因为 H 为 AC 的中点,所以 $AH=HC=\frac{1}{2}AC$. 因为 M 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,所以 $AM=MB=\frac{1}{2}AB,NB=NC=\frac{1}{2}BC$,所以 $MN=MB+NB=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}AC$,所以 $MN=AH$,故①正确; 因为 $HB+\frac{1}{2}BC=HB+NB=HN$,且 $MN≠HN$,所以 $MN≠HB+\frac{1}{2}BC$,故②错误;$MH=AH-AM=AH-\frac{1}{2}AB=AH-\frac{1}{2}(AH+HB)=\frac{1}{2}(AH-HB)$,故③正确;$HN=HC-NC=\frac{1}{2}(AC-BC)$,故④正确.

4. (2026·江苏连云港期末)如图,点A,B,C在同一条直线上,D为BC的中点,P为线段AC延长线上一动点(AD≠DP),E为AP的中点,则$\frac{AC-BP}{DE}$的值是。

4. ±2 解析:设 $AB=x,BC=y,CP=z$. 分类讨论如下:① 如图①,当 $AD＞DP$ 时,$AD=AB+BD=x+\frac{y}{2}$,$AE=\frac{1}{2}(AB+BC+CP)=\frac{x+y+z}{2}$,$AC=AB+BC=x+y$,$BP=BC+CP=y+z$,$DE=AD-AE=\frac{x-z}{2}$,$AC-BP=x-z$,则 $\frac{AC-BP}{DE}=2$;② 如图②,当 $AD＜DP$ 时,$AD=AB+BD=x+\frac{y}{2}$,$AE=\frac{1}{2}(AB+BC+CP)=\frac{x+y+z}{2}$,$AC=AB+BC=x+y$,$BP=BC+CP=y+z$,$DE=AE-AD=\frac{z-x}{2}$,$AC-BP=x-z$,则 $\frac{AC-BP}{DE}=-2$. 综上所述,$\frac{AC-BP}{DE}$的值是±2.

5. 如图，已知$∠ AOB = 90°$，$∠ COD$在$∠ AOB$内部，且$∠ COD = 45°$. 给出下列说法：① 若$∠ AOC = ∠ BOD$，则图中有2对互余的角；② 若$OE$平分$∠ BOC$，则$∠ AOC = 2∠ DOE$；③ 若$OM$平分$∠ AOC$，$ON$在$∠ AOB$内部，且$∠ MON = 45°$，则$OD$平分$∠ BON$；④ 若在$∠ AOB$外部分别作$∠ AOC$，$∠ BOD$的余角$∠ AOP$，$∠ BOQ$，则$\frac{∠ AOP + ∠ BOQ}{∠ COD}=3$. 其中正确的是.(填序号)

5. ②④ 解析:因为$∠AOB=90°$,$∠COD$在$∠AOB$内部,所以$∠AOC+∠BOC=90°$,$∠AOD+∠BOD=90°$. 若$∠AOC=∠BOD$,则$∠BOD+∠BOC=90°$,$∠AOD+∠AOC=90°$,所以题图中有4对互余的角,故①错误;设$∠AOC=x°$,则$∠BOC=∠AOB-∠AOC=(90-x)°$. 因为$∠COD=45°$,所以$∠BOD=∠BOC-∠COD=(45-x)°$. 若 OE 平分$∠BOC$,则$∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=(45-\frac{1}{2}x)°$,所以$∠DOE=∠BOE-∠BOD=\frac{1}{2}x°$,所以$∠AOC=2∠DOE$,故②正确;若 OM 平分$∠AOC$,则$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}x°$. 因为$∠MON=45°$,所以$∠CON=∠MON-∠COM=(45-\frac{1}{2}x)°$,所以$∠DON=∠COD-∠CON=\frac{1}{2}x°$,所以若 OD 平分$∠BON$,则$∠BOD=∠DON$,即$45-x=\frac{1}{2}x$,解得$x=30$,即当$∠AOC=30°$时,OD 平分$∠BON$,故③错误;因为$∠AOP=90°-∠AOC=(90-x)°$,$∠BOQ=90°-∠BOD=(45+x)°$,所以$∠AOP+∠BOQ=135°$,所以$\frac{∠AOP+∠BOQ}{∠COD}=3$,故④正确.

6. 已知$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=20°$，OM，ON分别是$∠ AOB$和$∠ BOC$的平分线，则$∠ MON$的度数为（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$50°$或$30°$

6. D 解析:因为$∠AOB=80°$,$∠BOC=20°$,OM,ON分别是$∠AOB$和$∠BOC$的平分线,所以$∠MOB=\frac{1}{2}∠AOB=40°$,$∠NOB=\frac{1}{2}∠BOC=10°$. 分类讨论如下:① 当射线 OC 在$∠AOB$外部时,$∠MON=∠MOB+∠NOB=50°$;② 当射线 OC 在$∠AOB$内部时,$∠MON=∠MOB-∠NOB=30°$. 综上所述,$∠MON$的度数为$50°$或$30°$.

7. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，OG⊥OF。若∠AOC=β，则∠BOG的度数为。（用含β的式子表示）
（第7题）

7. $\frac{3}{4}β$ 解析:因为 OE 平分$∠BOD$,$∠BOD=∠AOC=β$,所以$∠BOE=∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}β$,所以$∠COE=180°-∠DOE=180°-\frac{1}{2}β$. 因为 OF 平分$∠COE$,所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠COE=90°-\frac{1}{4}β$,所以$∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-\frac{3}{4}β$. 因为$OG⊥OF$,所以$∠FOG=90°$,所以$∠BOG=∠FOG-∠BOF=\frac{3}{4}β$.

8. 如图，$∠ A_1OA = α$，射线$OA_2$是$∠ A_1OA$的平分线，射线$OA_3$是$∠ A_1OA_2$的平分线，射线$OA_4$是$∠ A_1OA_3$的平分线……依此类推，则$∠ A_nOA$（$n$为正整数）的度数为。

8. $(1-\frac{1}{2^{n-1}})α$ 解析:因为$∠A_1OA=α$,射线$OA_2$是$∠A_1OA$的平分线,所以$∠A_1OA_2=\frac{1}{2}∠A_1OA=\frac{1}{2}α$;因为射线$OA_3$是$∠A_1OA_2$的平分线,所以$∠A_1OA_3=\frac{1}{2}∠A_1OA_2=\frac{1}{2^2}α$;因为射线$OA_4$是$∠A_1OA_3$的平分线,所以$∠A_1OA_4=\frac{1}{2}∠A_1OA_3=\frac{1}{2^3}α$……所以$∠A_1OA_n=\frac{1}{2^{n-1}}α$,所以$∠A_nOA=∠A_1OA-∠A_1OA_n=(1-\frac{1}{2^{n-1}})α$.