1.【阅读理解】
已知OC是∠AOB内部的一条射线.若∠COA = $\frac{1}{3}$∠AOB,则我们称射线OC是射线OA的“友好线”.如:如图①,∠AOB = 60°,∠AOC = ∠COD = ∠BOD = 20°,则∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB,称射线OC是射线OA的“友好线”.同时,因为∠BOD = $\frac{1}{3}$∠AOB,所以称射线OD是射线OB的“友好线”.
【知识运用】
(1) 如图②,∠AOB = 120°,射线OM是射线OA的“友好线”,则∠AOM=;
(2) 如图③,∠AOB = 180°,射线OC与射线OA重合,并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转,同时射线OD与射线OB重合,并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转,当射线OD与射线OA重合时,运动停止.设旋转的时间为t s.
① 是否存在某个时刻,使得∠COD的度数是40°?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由;
② 当射线OC,OD相遇后,射线OC,OD中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”,求此时t的值.

(1) $40°$
(2) ① 当射线OD与射线OA重合时,$t=\frac{180}{3}=60$.由题意,得$∠ AOC=(2t)°$,$∠ BOD=(3t)°$,所以$∠ AOC+∠ BOD=(5t)°$,所以$∠ COD=|5t-180|°$.当$∠ COD=40°$时,$|5t-180|=40$,解得$t=28$或44.故存在某个时刻,使得$∠ COD=40°$,且$t=28$或44.
② 当OC与OD相遇后,$∠ AOC=(2t)°$,$∠ BOD=(3t)°$,$∠ COD=(5t-180)°$.分类讨论如下:若射线OD是射线OC的“友好线”,则$∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOC$,所以$5t-180=\frac{2}{3}t$,解得$t=\frac{540}{13}$;若射线OC是射线OD的“友好线”,则$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOD$,所以$5t-180=t$,解得$t=45$.综上所述,$t$的值为$\frac{540}{13}$或45.

2. 如图①，点A，O，B依次在直线MN上，现同时将射线OA，OB绕点O按逆时针方向分别以每秒$20°$，$40°$的速度旋转，如图②.设旋转的时间为t s$(0＜t＜18)$，则经过 s，$∠ AOB=60°$.

6或12 解析: 因为$180÷(40-20)=9(\mathrm{s})$,所以经过9 s,射线OB与射线OA重合.因为$∠ AOB=60°$,所以分类讨论如下:① 当$0＜t＜9$ 时,$180+20t-40t=60$,解得$t=6$;② 当$9≤ t＜18$ 时,$40t-360-(20t-180)=60$,解得$t=12$.综上所述,经过6 s或12 s,$∠ AOB=60°$.

3. 新素养 几何直观 已知点O在直线AB上，过点O作射线OC，∠BOC=120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与射线OB重合，边ON在直线AB下方（如图①）。若三角板以每秒10°的速度绕点O逆时针旋转一周（如图②），设旋转的时间为t s，则在旋转的过程中，当直线ON恰好平分∠AOC时，求t的值。

因为$∠ BOC=120°$,所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=60°$.因为$∠ MON=90°$,直线ON平分$∠ AOC$,所以分类讨论如下:① 如图①,当ON在直线AB下方时,$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$,所以$∠ BOM=∠ MON-∠ BON=60°$,所以$t=60÷10=6$;② 如图②,当ON在直线AB上方时,$t=6+180÷10=24$.综上所述,当直线ON恰好平分$∠ AOC$时,$t$的值为6或24.