15. 〔河南省实验中学模拟〕如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 4$，$BC = 6$，$E$是$BC$的中点，连接$AE$，$P$是边$AD$上一动点，沿过点$P$的直线将矩形折叠，使点$D$落在$AE$上的点$D'$处.当$\triangle APD'$是直角三角形时，$PD =$ .

15.$\frac{8}{3}$或$\frac{24}{7}$ [解析] $\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD = BC = 6$，$\angle BAD = \angle D = \angle B = 90^{\circ}$，$AD// BC$。$\therefore\angle BEA = \angle EAP$。
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BE = CE = 3$。
$\therefore AE = \sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=5$。
由折叠的性质可知$PD' = PD$。
设$PD' = PD = x$，则$AP = 6 - x$。
当$\triangle APD'$是直角三角形时，分两种情况：
①当$\angle AD'P = 90^{\circ}$时，$\angle AD'P = \angle B = 90^{\circ}$。
$\therefore\triangle PD'A\sim\triangle ABE$。
$\therefore\frac{AP}{AE}=\frac{PD'}{AB}$，即$\frac{6 - x}{5}=\frac{x}{4}$。
解得$x = \frac{8}{3}$。$\therefore PD = \frac{8}{3}$。
②当$\angle APD' = 90^{\circ}$时，$\angle APD' = \angle B = 90^{\circ}$。
$\therefore\triangle APD'\sim\triangle EBA$。
$\therefore\frac{AP}{BE}=\frac{PD'}{AB}$，即$\frac{6 - x}{3}=\frac{x}{4}$。
解得$x = \frac{24}{7}$。$\therefore PD = \frac{24}{7}$。
综上所述，当$\triangle APD'$是直角三角形时，$PD$的长为$\frac{8}{3}$或$\frac{24}{7}$。

16. (9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 - 3 = 0$有实数根.
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)当$m$取满足条件的最大整数时，求方程的解.

16.解：(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}-3 = 0$有实数根，
$\therefore\Delta=(2m - 1)^{2}-4(m^{2}-3)=13 - 4m\geqslant0$。
解得$m\leqslant\frac{13}{4}$。(4分)
(2)$\because m\leqslant\frac{13}{4}$，
$\therefore m$的最大整数值为$3$。(6分)
$\therefore$此时一元二次方程为$x^{2}+5x + 6 = 0$。
解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-3$。(9分)

17. (9分)如图，在$\triangle ABC$中，$O$是边$BC$上的一点，以点$O$为圆心，$OB$的长为半径的$\odot O$恰好与边$AC$相切于点$A$，与边$BC$交于点$E$，连接$AE$.
(1)求证：$\triangle AEC \sim \triangle BAC$；
(2)若$\odot O$的半径为$2.5$，$AC = 6$，求$CE$的长.

17.解：(1)证明：如图，连接$OA$。

根据题意，得$BE$为$\odot O$的直径，$\angle OAC = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle BAE = 90^{\circ}$，$\angle CAE + \angle OAE = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle BAO + \angle OAE = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle BAO = \angle CAE$。(3分)
$\because OA = OB$，
$\therefore\angle OBA = \angle BAO$。
$\therefore\angle OBA = \angle CAE$。
$\because\angle C = \angle C$，
$\therefore\triangle AEC\sim\triangle BAC$。(5分)
(2)$\because\odot O$的半径为$2.5$，$\therefore BE = 5$。
$\because\triangle AEC\sim\triangle BAC$，
$\therefore\frac{AC}{BC}=\frac{CE}{AC}$，即$\frac{6}{5 + CE}=\frac{CE}{6}$。
$\therefore CE = 4$或$CE = -9$（不合题意，舍去）。
$\therefore CE$的长为$4$。(9分)

18. 跨学科 化学 (9分)酚酞溶液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂.通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是：盐酸(呈酸性)、硝酸钾溶液(呈中性)、氢氧化钠溶液(呈碱性)、氢氧化钙溶液(呈碱性).小明分别取适量且等量的四种溶液于试管中备用.
(1)小明将酚酞溶液随机滴入其中一支试管里，溶液变红的概率是多少？
(2)小明从这四支试管中同时取出两支试管滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两支试管中一支变红、一支不变色的概率.

18.解：(1)$\because$总共有$4$种溶液，其中碱性溶液有$2$种，$\therefore P$(溶液变红)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
答：小明将酚酞溶液随机滴入一支试管里，溶液变红的概率是$\frac{1}{2}$。(3分)
(2)记盐酸、硝酸钾溶液、氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液分别为$A$，$B$，$C$，$D$，取出的两支试管分别为第$1$支、第$2$支。根据题意，画出树状图表示出所有可能的结果如下：
第1支
第2支
由树状图可知，共有$12$种等可能的结果，其中一支变红、一支不变色的结果有$8$种。
$\therefore P$(两支试管中一支变红、一支不变色)$=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。(9分)