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1[2026安徽六安期中]如图是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m，则修改后花园的最大面积为 (
A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
（第1题图）
（第2题图）
D
)A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
（第1题图）
（第2题图）
答案
由题意知修改后花园的面积为$(20-x)(16+x)=-x^2+4x+320=-(x-2)^2+324$.$\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=2$时,修改后花园的面积取得最大值,最大值为$324\ \mathrm{m}^2$. 故选 D.
解析
【分析】
要解决修改后花园的最大面积问题，首先需要结合题意写出修改后花园长、宽的表达式，再根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，可得该关系式为二次函数。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处可取得最大值，通过配方法求出顶点坐标即可得到最大面积，解题过程中要注意x的取值需保证长、宽均为正数。
【解析】
解：设修改后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$324\ \mathrm{m}^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是利用二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题核心是准确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，侧重对基础知识和基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
要解决修改后花园的最大面积问题，首先需要结合题意写出修改后花园长、宽的表达式，再根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，可得该关系式为二次函数。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处可取得最大值，通过配方法求出顶点坐标即可得到最大面积，解题过程中要注意x的取值需保证长、宽均为正数。
【解析】
解：设修改后花园的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据题意，修改后花园的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(16+x)\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$324\ \mathrm{m}^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是利用二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题核心是准确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，侧重对基础知识和基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
2[2025辽宁沈阳质检]用总长度为12 m的不锈钢材料制作成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD,AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（
A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
A
）A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
设$AB=x\ \mathrm{m}$,矩形框架$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$,则$AD=\frac{12-3x}{3}=(4-x)\ \mathrm{m}$,$\therefore S=AB· AD=x(4-x)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$\therefore$ 当$x=2$时,$S$取得最大值,为$4$,$\therefore$ 矩形框架$ABCD$的最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$. 故选 A.
解析
【分析】
首先观察框架结构：和AB平行的竖档共3根，和AD平行的横档共3根，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为未知数，根据总长度表示出AD的长度，再利用矩形面积公式得到面积关于未知数的函数关系式，最后结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{m}$，矩形框架$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，3根与AB平行的竖档总长度为$3x\ \mathrm{m}$，因此3根与AD平行的横档总长度为$(12-3x)\ \mathrm{m}$，则$AD=\frac{12-3x}{3}=(4-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=AB· AD=x(4-x)=-x^2+4x$
将函数配方得：$S=-(x-2)^2+4$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 该函数图象开口向下，当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$4$。
即矩形框架$ABCD$的最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值；矩形面积计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题的关键是准确识别框架中横、竖档的数量，正确用未知数表示出矩形的长和宽，再利用二次函数的性质求解最值，能较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察框架结构：和AB平行的竖档共3根，和AD平行的横档共3根，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为未知数，根据总长度表示出AD的长度，再利用矩形面积公式得到面积关于未知数的函数关系式，最后结合二次函数的性质即可求出面积的最大值。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{m}$，矩形框架$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由题意可知，3根与AB平行的竖档总长度为$3x\ \mathrm{m}$，因此3根与AD平行的横档总长度为$(12-3x)\ \mathrm{m}$，则$AD=\frac{12-3x}{3}=(4-x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=AB· AD=x(4-x)=-x^2+4x$
将函数配方得：$S=-(x-2)^2+4$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 该函数图象开口向下，当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$4$。
即矩形框架$ABCD$的最大面积为$4\ \mathrm{m}^2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的最值；矩形面积计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题的关键是准确识别框架中横、竖档的数量，正确用未知数表示出矩形的长和宽，再利用二次函数的性质求解最值，能较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
3[2025广东广州期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$.动点$P$从点$A$出发,沿边$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$B$重合),同时动点$Q$从点$B$出发,沿边$BC$向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$C$重合).当四边形$APQC$的面积最小时,运动的时间为 (
A.$1\ \mathrm{s}$
B.$2\ \mathrm{s}$
C.$3\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
B
)A.$1\ \mathrm{s}$
B.$2\ \mathrm{s}$
C.$3\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
答案
设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,则$AP=x\ \mathrm{cm}$,$BQ=2x\ \mathrm{cm}$,$\therefore BP=(4-x)\ \mathrm{cm}$,$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}BQ· BP$,即$y=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×2x(4-x)=x^2-4x+16=(x-2)^2+12$,$\therefore$ 当$x=2$时,$y$有最小值,为$12$,$\therefore$ 当四边形$APQC$的面积最小时,运动的时间为$2\ \mathrm{s}$. 故选 B.
解析
【分析】
四边形APQC为不规则图形，直接计算面积难度大，而△ABC的面积是固定值，因此可采用割补法，用△ABC的面积减去△PBQ的面积得到四边形APQC的面积。首先设运动时间为x s，结合动点的运动速度，用含x的代数式分别表示出△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度，代入面积公式得到四边形面积关于x的函数关系式，再根据二次函数的最值性质求出对应x的值即可，注意要验证x是否符合动点的运动限制条件。
【解析】
设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=4\ \mathrm{cm}$，$\therefore BP=AB-AP=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}AB· BC-\frac{1}{2}BP· BQ$
代入$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$得：
$y=\frac{1}{2}×4×8-\frac{1}{2}×(4-x)×2x$
化简整理得：$y=x^2-4x+16=(x-2)^2+12$
$\because$ 二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$x=2$时，$y$取得最小值。
结合动点运动限制：$0＜x＜4$，可知$x=2$符合要求。
即当四边形APQC的面积最小时，运动时间为2 s。
【答案】B
【知识点】
二次函数的应用；三角形面积计算；动点问题
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，通过建立二次函数模型求解最值，考查转化思想和函数思想的应用，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际运动要求。
【难度系数】
0.7
四边形APQC为不规则图形，直接计算面积难度大，而△ABC的面积是固定值，因此可采用割补法，用△ABC的面积减去△PBQ的面积得到四边形APQC的面积。首先设运动时间为x s，结合动点的运动速度，用含x的代数式分别表示出△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度，代入面积公式得到四边形面积关于x的函数关系式，再根据二次函数的最值性质求出对应x的值即可，注意要验证x是否符合动点的运动限制条件。
【解析】
设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=4\ \mathrm{cm}$，$\therefore BP=AB-AP=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}AB· BC-\frac{1}{2}BP· BQ$
代入$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$得：
$y=\frac{1}{2}×4×8-\frac{1}{2}×(4-x)×2x$
化简整理得：$y=x^2-4x+16=(x-2)^2+12$
$\because$ 二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$x=2$时，$y$取得最小值。
结合动点运动限制：$0＜x＜4$，可知$x=2$符合要求。
即当四边形APQC的面积最小时，运动时间为2 s。
【答案】B
【知识点】
二次函数的应用；三角形面积计算；动点问题
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，通过建立二次函数模型求解最值，考查转化思想和函数思想的应用，解题时需注意验证自变量的取值是否符合实际运动要求。
【难度系数】
0.7
4[2026北京大兴区调研]如图,四边形ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材,设AM的长为x m,当x的值为
1
时,截取的两块板材的面积和最小.答案
$\because AM=x\ \mathrm{m}$,$AB=2\ \mathrm{m}$,$\therefore BM=AB-AM=(2-x)\ \mathrm{m}$. 设截取的两块板材的面积和为$S$. 根据题意得$S=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$. $\because 2＞0$,$\therefore$ 当$x=1$时,$S$有最小值,最小值为$2$,故答案为$1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先表示出两块正方形板材的边长，已知AM长为x m，正方形ABCD边长为2m，因此另一块正方形的边长MB为(2-x)m；第二步，根据正方形面积公式，建立两块板材面积和关于x的函数关系式；第三步，利用二次函数的性质求最值，注意x的取值范围为0＜x＜2，求出的x需要符合这个实际范围。
【解析】
$\because AM=x\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BM=AB-AM=(2-x)\ \mathrm{m}$。
设截取的两块板材的面积和为$S$，根据正方形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x^2+(2-x)^2\\&=x^2+4-4x+x^2\\&=2x^2-4x+4\\&=2(x-1)^2+2\end{aligned}$
$\because 2＞0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向上，当$x=1$时，$S$取得最小值，且$x=1$满足$0＜x＜2$的实际要求。
【答案】
$1$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题，解题关键是结合题意正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解，注意要验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先表示出两块正方形板材的边长，已知AM长为x m，正方形ABCD边长为2m，因此另一块正方形的边长MB为(2-x)m；第二步，根据正方形面积公式，建立两块板材面积和关于x的函数关系式；第三步，利用二次函数的性质求最值，注意x的取值范围为0＜x＜2，求出的x需要符合这个实际范围。
【解析】
$\because AM=x\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BM=AB-AM=(2-x)\ \mathrm{m}$。
设截取的两块板材的面积和为$S$，根据正方形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x^2+(2-x)^2\\&=x^2+4-4x+x^2\\&=2x^2-4x+4\\&=2(x-1)^2+2\end{aligned}$
$\because 2＞0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向上，当$x=1$时，$S$取得最小值，且$x=1$满足$0＜x＜2$的实际要求。
【答案】
$1$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；正方形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型基础题，解题关键是结合题意正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解，注意要验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5[2026浙江杭州期中]如图是小关设计的风筝草图ABCD，其中风筝的两根龙骨AC和BD互相垂直，垂足为E，若他计划用长为100 cm的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求 $AC ≥ \frac{3}{2} BD$，则当BD的长为
40
cm时，四边形ABCD的面积最大，此时的最大面积是1 200
cm²。答案
设$BD=x\ \mathrm{cm}$,则$AC=(100-x)\ \mathrm{cm}$. 根据题意得$100-x≥ \frac{3}{2}x$,解得$x≤40$. 设四边形$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$,则$S=\frac{1}{2}× AC× (BE+DE)=\frac{1}{2}AC· DB$,$\therefore S=\frac{1}{2}×(100-x)x=-\frac{1}{2}x^2+50x=-\frac{1}{2}(x-50)^2+1\ 250$,$\therefore$ 二次函数图象开口向下,抛物线的对称轴为直线$x=50$,且在对称轴左侧,$S$随$x$的增大而增大. $\because 0＜x≤40$,$\therefore x=40$时,$S$有最大值,$\therefore S_{\mathrm{最大}}=1\ 200$. 故答案为$40$,$1\ 200$.
解析
【分析】
首先明确对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，本题中两根龙骨总长为100cm，即AC+BD=100，还有约束条件$AC ≥ \frac{3}{2} BD$。我们可以先设BD的长度为x cm，用x表示AC的长度，结合约束条件求出x的取值范围；再列出面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的单调性和x的取值范围，求出面积最大值及对应的BD长度。
【解析】
设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$AC=(100-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意得$100-x≥ \frac{3}{2}x$，
解不等式：两边同乘2得$200-2x≥3x$，移项合并得$5x≤200$，解得$x≤40$，结合长度为正可得$0＜x≤40$。
设四边形$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，因为对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即：
$S=\frac{1}{2}× AC× BD$
代入AC和BD的表达式得：
$S=\frac{1}{2}×(100-x)x=-\frac{1}{2}x^2+50x$
配方得$S=-\frac{1}{2}(x-50)^2+1\ 250$，
该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=50$，在对称轴左侧$S$随$x$的增大而增大。
结合$x$的取值范围$0＜x≤40$，当$x=40$时$S$取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{最大}}=-\frac{1}{2}×(40-50)^2+1250=1200$。
【答案】
$40$；$1200$
【知识点】
四边形面积计算，二次函数最值应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出面积的函数表达式，同时要注意题目给出的变量约束条件，不能直接取二次函数顶点的值，需结合自变量的取值范围判断最值的取点。
【难度系数】
0.6
首先明确对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，本题中两根龙骨总长为100cm，即AC+BD=100，还有约束条件$AC ≥ \frac{3}{2} BD$。我们可以先设BD的长度为x cm，用x表示AC的长度，结合约束条件求出x的取值范围；再列出面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的单调性和x的取值范围，求出面积最大值及对应的BD长度。
【解析】
设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$AC=(100-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意得$100-x≥ \frac{3}{2}x$，
解不等式：两边同乘2得$200-2x≥3x$，移项合并得$5x≤200$，解得$x≤40$，结合长度为正可得$0＜x≤40$。
设四边形$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，因为对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即：
$S=\frac{1}{2}× AC× BD$
代入AC和BD的表达式得：
$S=\frac{1}{2}×(100-x)x=-\frac{1}{2}x^2+50x$
配方得$S=-\frac{1}{2}(x-50)^2+1\ 250$，
该二次函数图象开口向下，对称轴为直线$x=50$，在对称轴左侧$S$随$x$的增大而增大。
结合$x$的取值范围$0＜x≤40$，当$x=40$时$S$取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{最大}}=-\frac{1}{2}×(40-50)^2+1250=1200$。
【答案】
$40$；$1200$
【知识点】
四边形面积计算，二次函数最值应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出面积的函数表达式，同时要注意题目给出的变量约束条件，不能直接取二次函数顶点的值，需结合自变量的取值范围判断最值的取点。
【难度系数】
0.6
6[2026广西贺州期中]【综合与实践】在海边洗浴时,往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬.小明妈妈买来一块长5 m、宽2 m的加厚不透明的布料,用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间(如图(1),地面是长方形,布料接头部分忽略不计),小明发现高2 m的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积,而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化.设临时换衣间的长方形地面的一边长为x m,临时换衣间地面面积为y m²,请你帮小明解决以下问题:
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)x为何值时,临时换衣间的地面面积最大?最大面积是多少?
(3)如图(2),小明发现离洗浴地不远处有一栋长10 m、高5 m的建筑外墙.若利用部分墙体,你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗?若能,请结合具体数据进行说明.
(1)求出y与x之间的函数关系式.
(2)x为何值时,临时换衣间的地面面积最大?最大面积是多少?
(3)如图(2),小明发现离洗浴地不远处有一栋长10 m、高5 m的建筑外墙.若利用部分墙体,你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗?若能,请结合具体数据进行说明.
答案
(1)由题意得,长方形地面的另一边长为$(\frac{5-2x}{2})\ \mathrm{m}$,则$y=x(\frac{5-2x}{2})=-x^2+\frac{5}{2}x(0＜x＜2.5)$.
(2)由(1)得,$y=-x^2+\frac{5}{2}x=-(x^2-\frac{5}{2}x)=-(x-\frac{5}{4})^2+\frac{25}{16}$.
$\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=\frac{5}{4}$时,$y$有最大值,为$\frac{25}{16}$,故当$x=\frac{5}{4}$时,临时换衣间的地面面积最大,最大面积是$\frac{25}{16}\ \mathrm{m}^2$.
(3)能. 假设长方形地面与建筑外墙平行的一边长为$x\ \mathrm{m}$,则与建筑外墙垂直的一边长为$(\frac{5-x}{2})\ \mathrm{m}$,$\therefore y=x(\frac{5-x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}(x^2-5x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}(0＜x＜5)$.
$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$x=\frac{5}{2}$时,$y$有最大值,为$\frac{25}{8}$,$\therefore$ 当长方形地面的长为$2.5\ \mathrm{m}$,宽为$1.25\ \mathrm{m}$时,地面面积最大.
(2)由(1)得,$y=-x^2+\frac{5}{2}x=-(x^2-\frac{5}{2}x)=-(x-\frac{5}{4})^2+\frac{25}{16}$.
$\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=\frac{5}{4}$时,$y$有最大值,为$\frac{25}{16}$,故当$x=\frac{5}{4}$时,临时换衣间的地面面积最大,最大面积是$\frac{25}{16}\ \mathrm{m}^2$.
(3)能. 假设长方形地面与建筑外墙平行的一边长为$x\ \mathrm{m}$,则与建筑外墙垂直的一边长为$(\frac{5-x}{2})\ \mathrm{m}$,$\therefore y=x(\frac{5-x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}(x^2-5x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}(0＜x＜5)$.
$\because -\frac{1}{2}＜0$,$\therefore$ 当$x=\frac{5}{2}$时,$y$有最大值,为$\frac{25}{8}$,$\therefore$ 当长方形地面的长为$2.5\ \mathrm{m}$,宽为$1.25\ \mathrm{m}$时,地面面积最大.
解析
【分析】
(1) 首先明确布料宽2m刚好对应换衣间的高，因此布料长5m就是地面长方形的周长。已知地面一边长为x m，可先表示出地面的另一边长，再结合长方形面积公式即可列出y与x的函数关系式，同时要结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围。
(2) 第一问得到的是二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，用配方法将函数化为顶点式，就能求出最值对应的x值和最大面积。
(3) 利用建筑外墙时，地面有一边靠墙体无需使用布料，此时5m布料仅需围地面剩余3条边。设平行于墙体的边长为x m，先表示出垂直于墙体的边长，再列面积的函数解析式，用配方法求最值后和第二问的结果对比，即可判断是否能得到更大的地面面积。
【解析】
(1) 由题意得，布料的长5m为地面长方形的周长，已知地面一边长为x m，则另一边长为$\frac{5-2x}{2}\ \mathrm{m}$，
根据长方形面积公式可得：
$y=x· \frac{5-2x}{2}=-x^2+\frac{5}{2}x$，
结合边长为正的实际要求，得$0＜x＜2.5$。
(2) 将(1)中函数解析式配方：
$y=-x^2+\frac{5}{2}x=-(x^2-\frac{5}{2}x)=-(x-\frac{5}{4})^2+\frac{25}{16}$，
$\because -1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{4}$时，$y$取得最大值$\frac{25}{16}$。
(3) 能。设长方形地面与建筑外墙平行的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则与建筑外墙垂直的一边长为$\frac{5-x}{2}\ \mathrm{m}$，
此时面积为：
$y=x· \frac{5-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}(x^2-5x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}(0＜x＜5)$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，$y$取得最大值$\frac{25}{8}$，此时垂直于外墙的边长为$\frac{5-2.5}{2}=1.25\ \mathrm{m}$，所得面积大于无外墙时的最大面积。
【答案】
(1) $y=-x^2+\frac{5}{2}x(0＜x＜2.5)$
(2) 当$x=\frac{5}{4}$时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是$\frac{25}{16}\ \mathrm{m}^2$
(3) 能，当长方形地面平行于建筑外墙的长为$2.5\ \mathrm{m}$，垂直于外墙的宽为$1.25\ \mathrm{m}$时，地面面积最大，最大面积为$\frac{25}{8}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，列函数关系式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数在图形面积问题中的应用，解题关键是理清边长的数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确布料宽2m刚好对应换衣间的高，因此布料长5m就是地面长方形的周长。已知地面一边长为x m，可先表示出地面的另一边长，再结合长方形面积公式即可列出y与x的函数关系式，同时要结合边长为正的实际要求确定自变量的取值范围。
(2) 第一问得到的是二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，用配方法将函数化为顶点式，就能求出最值对应的x值和最大面积。
(3) 利用建筑外墙时，地面有一边靠墙体无需使用布料，此时5m布料仅需围地面剩余3条边。设平行于墙体的边长为x m，先表示出垂直于墙体的边长，再列面积的函数解析式，用配方法求最值后和第二问的结果对比，即可判断是否能得到更大的地面面积。
【解析】
(1) 由题意得，布料的长5m为地面长方形的周长，已知地面一边长为x m，则另一边长为$\frac{5-2x}{2}\ \mathrm{m}$，
根据长方形面积公式可得：
$y=x· \frac{5-2x}{2}=-x^2+\frac{5}{2}x$，
结合边长为正的实际要求，得$0＜x＜2.5$。
(2) 将(1)中函数解析式配方：
$y=-x^2+\frac{5}{2}x=-(x^2-\frac{5}{2}x)=-(x-\frac{5}{4})^2+\frac{25}{16}$，
$\because -1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{4}$时，$y$取得最大值$\frac{25}{16}$。
(3) 能。设长方形地面与建筑外墙平行的一边长为$x\ \mathrm{m}$，则与建筑外墙垂直的一边长为$\frac{5-x}{2}\ \mathrm{m}$，
此时面积为：
$y=x· \frac{5-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x=-\frac{1}{2}(x^2-5x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{8}(0＜x＜5)$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m}$时，$y$取得最大值$\frac{25}{8}$，此时垂直于外墙的边长为$\frac{5-2.5}{2}=1.25\ \mathrm{m}$，所得面积大于无外墙时的最大面积。
【答案】
(1) $y=-x^2+\frac{5}{2}x(0＜x＜2.5)$
(2) 当$x=\frac{5}{4}$时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是$\frac{25}{16}\ \mathrm{m}^2$
(3) 能，当长方形地面平行于建筑外墙的长为$2.5\ \mathrm{m}$，垂直于外墙的宽为$1.25\ \mathrm{m}$时，地面面积最大，最大面积为$\frac{25}{8}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，列函数关系式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数在图形面积问题中的应用，解题关键是理清边长的数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
