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1[2026山西临汾质检,中]随着自动化设备的普及,许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统.如图,喷灌器喷水点A到地面的高度为0.25 m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为2 m时达到最大高度0.45 m,且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界线上的点B处(图中所有点均在同一竖直平面内).若喷灌器喷出的水柱呈抛物线形,则喷灌器与围墙之间的距离OB为 (
A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.5 m
(第1题图)
(第3题图)
D
)A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.5 m
(第1题图)
(第3题图)
答案
1.D 【解析】如图,建立平面直角坐标系.由题意得抛物线顶点坐标为$(2,0.45),$设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+0.45.$
∵ 点$A(0,0.25)$在抛物线上,
∴$0.25=a(0-2)^2+0.45,$解得$a=-\frac{1}{20},$
∴$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45.$当$y=0$时,$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0,$解得$x_1=5,$$x_2=-1$(不符合题意,舍去),
∴$OB=5$ m.故选D.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先根据题意建立合适的平面直角坐标系，题干给出了抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设抛物线解析式最为简便；随后将已知的喷水点A的坐标代入所设解析式，求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后由于点B在地面上，对应纵坐标y=0，将y=0代入解析式求解x的正数值，即为OB的长度，注意需舍去不符合实际意义的负解。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+0.45$。
∵ 喷水点A到地面的高度为0.25 m，即点$A(0,0.25)$在抛物线上，
∴ 将$A(0,0.25)$代入解析式得：$0.25=a(0-2)^2+0.45$，
解得$a=-\frac{1}{20}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
当水柱落到地面B点时，高度为0，即$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（距离不能为负，不符合题意，舍去），
∴ $OB=5$ m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的喷灌场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，根据已知条件选择合适的解析式形式求解，最后要结合实际意义对解进行取舍，题目贴合生活实际，能考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先根据题意建立合适的平面直角坐标系，题干给出了抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设抛物线解析式最为简便；随后将已知的喷水点A的坐标代入所设解析式，求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；最后由于点B在地面上，对应纵坐标y=0，将y=0代入解析式求解x的正数值，即为OB的长度，注意需舍去不符合实际意义的负解。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,0.45)$，设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+0.45$。
∵ 喷水点A到地面的高度为0.25 m，即点$A(0,0.25)$在抛物线上，
∴ 将$A(0,0.25)$代入解析式得：$0.25=a(0-2)^2+0.45$，
解得$a=-\frac{1}{20}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45$。
当水柱落到地面B点时，高度为0，即$y=0$，代入解析式得：
$-\frac{1}{20}(x-2)^2+0.45=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$（距离不能为负，不符合题意，舍去），
∴ $OB=5$ m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的喷灌场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系，根据已知条件选择合适的解析式形式求解，最后要结合实际意义对解进行取舍，题目贴合生活实际，能考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
2[中]已知抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，且与$y$轴交于点$C$，若$OC=2$，则这条抛物线的表达式是
$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2$
。答案
2.$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2$ 【解析】设抛物线的表达式为$y=a(x-2)(x+1).$
∵$OC=2,$
∴$C$点坐标为$(0,2)$或$(0,-2).$把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1),$得$-2a=2,$解得$a=-1,$此时抛物线的表达式为$y=-(x-2)(x+1),$即$y=-x^2+x+2;$把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1),$得$-2a=-2,$解得$a=1,$此时抛物线的表达式为$y=(x-2)(x+1),$即$y=x^2-x-2.$综上,抛物线的表达式为$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2.$
∵$OC=2,$
∴$C$点坐标为$(0,2)$或$(0,-2).$把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1),$得$-2a=2,$解得$a=-1,$此时抛物线的表达式为$y=-(x-2)(x+1),$即$y=-x^2+x+2;$把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1),$得$-2a=-2,$解得$a=1,$此时抛物线的表达式为$y=(x-2)(x+1),$即$y=x^2-x-2.$综上,抛物线的表达式为$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2.$
解析
【分析】
已知抛物线与x轴交于两个点A、B，优先选择交点式设抛物线的解析式，能简化计算过程。由OC=2可知，C点在y轴上，纵坐标的绝对值为2，因此C点坐标有两种可能：(0,2)或(0,-2)，需分两种情况代入所设解析式求出参数a的值，再整理为一般式即可，解题时注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a\ne0$）
∵ 抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$
∴ C点坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$
① 将$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$-2a=2$，解得$a=-1$
此时抛物线的表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，整理得$y=-x^2+x+2$
② 将$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$-2a=-2$，解得$a=1$
此时抛物线的表达式为$y=(x-2)(x+1)$，整理得$y=x^2-x-2$
综上，抛物线的表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$
【答案】
$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式，分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的中档题，解题关键是结合抛物线与x轴的交点特征选择合适的解析式形式，易错点是易忽略OC为线段长度，对应y轴上的点坐标有正负两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
已知抛物线与x轴交于两个点A、B，优先选择交点式设抛物线的解析式，能简化计算过程。由OC=2可知，C点在y轴上，纵坐标的绝对值为2，因此C点坐标有两种可能：(0,2)或(0,-2)，需分两种情况代入所设解析式求出参数a的值，再整理为一般式即可，解题时注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a\ne0$）
∵ 抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$
∴ C点坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$
① 将$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$-2a=2$，解得$a=-1$
此时抛物线的表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，整理得$y=-x^2+x+2$
② 将$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$-2a=-2$，解得$a=1$
此时抛物线的表达式为$y=(x-2)(x+1)$，整理得$y=x^2-x-2$
综上，抛物线的表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$
【答案】
$y=-x^2+x+2$ 或 $y=x^2-x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式，分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的中档题，解题关键是结合抛物线与x轴的交点特征选择合适的解析式形式，易错点是易忽略OC为线段长度，对应y轴上的点坐标有正负两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
3[2025北京丰台区质检,中]如图,一条抛物线与x轴相交于M,N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动,点A,B的坐标分别为(-2,-3),(1,-3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为
-5
.答案
3.-5 【解析】由题意可知,当图象顶点P在点$B(1,-3)$处时,点N的横坐标为最大值4,
∴ 可设此时抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-3.$把点N的坐标代入得$0=a(4-1)^2-3,$解得$a=\frac{1}{3}.$当图象顶点P在点$A(-2,-3)$处时,点M的横坐标最小,此时抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2-3,$令$y=0,$则$\frac{1}{3}(x+2)^2-3=0,$解得$x=-5$或1,
∴ 点M的横坐标的最小值为-5.故答案为-5.
∴ 可设此时抛物线的表达式为$y=a(x-1)^2-3.$把点N的坐标代入得$0=a(4-1)^2-3,$解得$a=\frac{1}{3}.$当图象顶点P在点$A(-2,-3)$处时,点M的横坐标最小,此时抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2-3,$令$y=0,$则$\frac{1}{3}(x+2)^2-3=0,$解得$x=-5$或1,
∴ 点M的横坐标的最小值为-5.故答案为-5.
解析
【分析】
解题时首先抓住抛物线平移的核心特点：平移过程中开口大小和方向不变，即二次项系数$a$不变，且本题中顶点始终在线段AB上移动，顶点纵坐标恒为-3。要得到点N横坐标的最大值，对应顶点移动到线段最右侧的B点，结合此时N的坐标可求出$a$的值；要得到点M横坐标的最小值，对应顶点移动到线段最左侧的A点，代入$a$的值写出此时抛物线解析式，求解抛物线与x轴的左交点即可得到结果。
【解析】
当抛物线顶点$P$在点$B(1,-3)$处时，点$N$的横坐标取得最大值4，
设此时抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$N(4,0)$代入解析式得：$0=a(4-1)^2-3$，
即$9a-3=0$，解得$a=\frac{1}{3}$。
当抛物线顶点$P$在点$A(-2,-3)$处时，点$M$的横坐标最小，
由于抛物线平移时$a$不变，此时抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2-3$，
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x+2)^2-3=0$，
化简得$(x+2)^2=9$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
因此点M的横坐标的最小值为-5。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数平移性质，二次函数顶点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数平移的相关应用，解题关键是明确顶点的位置和交点横坐标最值的对应关系，牢记二次函数平移时二次项系数不变的性质，结合顶点式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住抛物线平移的核心特点：平移过程中开口大小和方向不变，即二次项系数$a$不变，且本题中顶点始终在线段AB上移动，顶点纵坐标恒为-3。要得到点N横坐标的最大值，对应顶点移动到线段最右侧的B点，结合此时N的坐标可求出$a$的值；要得到点M横坐标的最小值，对应顶点移动到线段最左侧的A点，代入$a$的值写出此时抛物线解析式，求解抛物线与x轴的左交点即可得到结果。
【解析】
当抛物线顶点$P$在点$B(1,-3)$处时，点$N$的横坐标取得最大值4，
设此时抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-3$，
将$N(4,0)$代入解析式得：$0=a(4-1)^2-3$，
即$9a-3=0$，解得$a=\frac{1}{3}$。
当抛物线顶点$P$在点$A(-2,-3)$处时，点$M$的横坐标最小，
由于抛物线平移时$a$不变，此时抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2-3$，
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x+2)^2-3=0$，
化简得$(x+2)^2=9$，
解得$x_1=-5$，$x_2=1$，
因此点M的横坐标的最小值为-5。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数平移性质，二次函数顶点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数平移的相关应用，解题关键是明确顶点的位置和交点横坐标最值的对应关系，牢记二次函数平移时二次项系数不变的性质，结合顶点式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
4[2025浙江台州期末,中]图(1)是一座三拱悬索桥,图(2)是其抛物线形桥拱的示意图,三条抛物线的形状相同,分别交于桥墩点M,N(M,N位于同一水平线)处.从桥头点A处的碑文得知桥面AF长为270米,小张从桥头点A出发走到桥尾点F过程中的微信步数(步长视为定值)统计如下表:
根据上述数据信息得小张的步长为
刷素养 走向重高
根据上述数据信息得小张的步长为
0.5
米,中间两桥墩的距离MN=108
米.刷素养 走向重高
答案
4.0.5 108 【解析】根据题意得小张的步长为$\frac{270}{540}=0.5$(米).以点A为原点,AF所在直线为x轴,步长为单位长度建立平面直角坐标系,如图所示,则$B(140,0),C(180,0),D(360,0).$设AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2+b.$将$B(140,0)$代入得$a(140-70)^2+b=0,$
∴$b=-70^2a,$
∴ AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2-70^2a.$
∵ 三条抛物线的形状相同,CD的中点坐标为$(270,0),$
∴ 设MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2+c.$将$C(180,0)$代入得$a(180-270)^2+c=0,$
∴$c=-90^2a,$
∴ MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2-90^2a.$令$a(x-270)^2-90^2a=a(x-70)^2-70^2a,$解得$x=162,$即点M的横坐标为162,由对称性知点N的横坐标为378,
∴$MN=378-162=216$(步),$216×0.5=108$(米).故答案为0.5,108.
解析
【分析】
解题思路分两步：①先求步长：已知桥面AF总长度为270米，走完全程的总步数为540步，步长=总长度÷总步数，直接计算即可。②再求MN长度：三条抛物线形状相同，说明二次项系数相等，先以A为原点、AF为x轴建立坐标系，用步长为单位长度标注各已知点坐标，用待定系数法分别写出左侧AM段抛物线和中间MN段抛物线的解析式，联立两个解析式求出交点M的横坐标，再根据抛物线的对称性得到点N的横坐标，两者差值为MN对应的步数，乘以步长即可得到MN的实际长度。
【解析】
1. 计算步长：
由题意可知，AF总长270米，走完全程共540步，因此步长为$\frac{270}{540}=0.5$（米）。
2. 求MN长度：
以点A为原点，AF所在直线为x轴，步长为单位长度建立平面直角坐标系，可得$B(140,0),C(180,0),D(360,0)$。
设AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2+b$，将$B(140,0)$代入得：
$a(140-70)^2+b=0$，解得$b=-70^2a$，
因此AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2-70^2a$。
由于三条抛物线形状相同，CD段的中点坐标为$(270,0)$，设MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2+c$，将$C(180,0)$代入得：
$a(180-270)^2+c=0$，解得$c=-90^2a$，
因此MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2-90^2a$。
点M是两条抛物线的交点，联立解析式：
$a(x-270)^2-90^2a=a(x-70)^2-70^2a$，
消去a并化简解得$x=162$，即点M的横坐标为162。
由抛物线的对称性可知，点N的横坐标为$270+(270-162)=378$，
因此MN对应的步数为$378-162=216$（步），
换算为实际长度：$216×0.5=108$（米）。
【答案】
0.5；108
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题结合桥梁建筑的生活场景考查二次函数的实际应用，需要学生熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，会利用方程思想求解函数交点坐标，同时能灵活运用抛物线的对称性简化计算，注重对知识迁移和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题思路分两步：①先求步长：已知桥面AF总长度为270米，走完全程的总步数为540步，步长=总长度÷总步数，直接计算即可。②再求MN长度：三条抛物线形状相同，说明二次项系数相等，先以A为原点、AF为x轴建立坐标系，用步长为单位长度标注各已知点坐标，用待定系数法分别写出左侧AM段抛物线和中间MN段抛物线的解析式，联立两个解析式求出交点M的横坐标，再根据抛物线的对称性得到点N的横坐标，两者差值为MN对应的步数，乘以步长即可得到MN的实际长度。
【解析】
1. 计算步长：
由题意可知，AF总长270米，走完全程共540步，因此步长为$\frac{270}{540}=0.5$（米）。
2. 求MN长度：
以点A为原点，AF所在直线为x轴，步长为单位长度建立平面直角坐标系，可得$B(140,0),C(180,0),D(360,0)$。
设AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2+b$，将$B(140,0)$代入得：
$a(140-70)^2+b=0$，解得$b=-70^2a$，
因此AM段抛物线的表达式为$y=a(x-70)^2-70^2a$。
由于三条抛物线形状相同，CD段的中点坐标为$(270,0)$，设MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2+c$，将$C(180,0)$代入得：
$a(180-270)^2+c=0$，解得$c=-90^2a$，
因此MN段抛物线的表达式为$y=a(x-270)^2-90^2a$。
点M是两条抛物线的交点，联立解析式：
$a(x-270)^2-90^2a=a(x-70)^2-70^2a$，
消去a并化简解得$x=162$，即点M的横坐标为162。
由抛物线的对称性可知，点N的横坐标为$270+(270-162)=378$，
因此MN对应的步数为$378-162=216$（步），
换算为实际长度：$216×0.5=108$（米）。
【答案】
0.5；108
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题结合桥梁建筑的生活场景考查二次函数的实际应用，需要学生熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，会利用方程思想求解函数交点坐标，同时能灵活运用抛物线的对称性简化计算，注重对知识迁移和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
5 核心素养 应用意识[2025湖南益阳质检,较难]某农场有一个花卉大棚,其横截面顶部为抛物线形,大棚的一端固定在墙体OA上,另一端固定在墙体BC上(墙体足够长),DE,FG均为支架,相关数据如图(1)所示(单位:米),其中支架DE=BC=3米,OF=DF=BD=2米,两种支架各用了200根.
为增加棚内空间,农场决定将图(1)中棚顶向上调整,支架总数不变,对应支架的长度变化情况如图(2)所示,调整后C与E上升相同的高度,即$CC'=EE'$,其横截面顶部仍为抛物线形,若增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计),经费预算为40 000元.以O为原点,OB和OA所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出改造前的抛物线的函数表达式;
(2)求出改造前大棚的最大高度;
(3)在经费预算内,求出$CC'$的最大值.
为增加棚内空间,农场决定将图(1)中棚顶向上调整,支架总数不变,对应支架的长度变化情况如图(2)所示,调整后C与E上升相同的高度,即$CC'=EE'$,其横截面顶部仍为抛物线形,若增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计),经费预算为40 000元.以O为原点,OB和OA所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系.
(1)求出改造前的抛物线的函数表达式;
(2)求出改造前大棚的最大高度;
(3)在经费预算内,求出$CC'$的最大值.
答案
5.【解】(1)如图(1).
由题意可知$A(0,1),E(4,3),C(6,3).$设改造前的抛物线的函数表达式为$y=ax^2+bx+c,$
∴$\begin{cases} c=1, \\16a+4b+c=3, \\36a+6b+c=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{1}{12}, \\b=\frac{5}{6}, \\c=1, \end{cases}$
∴ 改造前的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1.$
(2)
∵$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1=-\frac{1}{12}(x-5)^2+\frac{37}{12},$
∴ 当$x=5$时,$y$取得最大值$\frac{37}{12},$
∴ 改造前大棚的最大高度为$\frac{37}{12}$米.
(3)
∵ 改造前的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1=-\frac{1}{12}(x-5)^2+\frac{37}{12},$
∴ 当$x=2$时,$y=-\frac{1}{12}(2-5)^2+\frac{37}{12}=\frac{7}{3},$
∴$FG=\frac{7}{3}$ m.
∵$DE=BC=3$ m,$EE'=CC',$
∴$DE'=BC',$
∴ 改造后抛物线对称轴为直线$x=5,$
∴ 设改造后抛物线表达式为$y=m(x-5)^2+n,$把$A(0,1)$代入得$25m+n=1,$
∴$n=1-25m,$
∴$y=mx^2-10mx+1.$如图(2),当$x=2$时,$y=m×2^2-10m×2+1=-16m+1,$当$x=4$时,$y=m×4^2-10m×4+1=-24m+1,$
∴$G'(2,-16m+1),E'(4,-24m+1),$
∴$GG'+EE'=-16m+1-\frac{7}{3}+(-24m+1-3)=-40m-\frac{10}{3},$
∴$(-40m-\frac{10}{3})×200×60≤40000,$解得$m≥-\frac{1}{6}.$
∵$CC'=EE'=-24m+1-3=-24m-2,$
∴ 当$m=-\frac{1}{6}$时,$CC'$取最大值,最大值为$-24×(-\frac{1}{6})-2=2,$
∴$CC'$的最大值为2米.
解析
【分析】
(1) 求改造前抛物线解析式：首先根据题干数据确定抛物线上三个已知点的坐标：A(0,1)、E(4,3)、C(6,3)，已知二次函数上三个点的坐标，可设一般式$y=ax^2+bx+c$，代入三个点坐标解三元一次方程组，即可得到解析式。
(2) 求改造前大棚最大高度：改造前抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，即大棚的最大高度，将第一问得到的解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点纵坐标。
(3) 求$CC'$的最大值：调整后$EE'=CC'$，说明$E'$和$C'$纵坐标仍相等，因此改造后抛物线的对称轴与原抛物线一致，为直线$x=5$，可设改造后抛物线的顶点式，代入已知点A(0,1)得到参数关系；再分别求出改造后x=2、x=4处的函数值，计算单组FG、DE增加的高度，结合支架数量、单价和预算列出不等式，求出参数的取值范围，最后将$CC'$表示为关于参数的代数式，结合参数范围即可求出$CC'$的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知$A(0,1),E(4,3),C(6,3)$，设改造前的抛物线的函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，
代入三点坐标得：$\begin{cases} c=1, \\16a+4b+c=3, \\36a+6b+c=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{1}{12}, \\b=\frac{5}{6}, \\c=1, \end{cases}$
因此改造前的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1$。
(2) 将解析式配方为顶点式：
$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1=-\frac{1}{12}(x-5)^2+\frac{37}{12}$，
∵$a=-\frac{1}{12}＜0$，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值$\frac{37}{12}$，
即改造前大棚的最大高度为$\frac{37}{12}$米。
(3) 先求改造前FG的长度：当$x=2$时，$y=-\frac{1}{12}(2-5)^2+\frac{37}{12}=\frac{7}{3}$，即$FG=\frac{7}{3}\ \mathrm{m}$。
∵$DE=BC=3\ \mathrm{m}$，$EE'=CC'$，
∴$DE'=BC'$，改造后抛物线对称轴仍为直线$x=5$，
设改造后抛物线表达式为$y=m(x-5)^2+n$，把$A(0,1)$代入得$25m+n=1$，即$n=1-25m$，
因此改造后解析式可写为$y=mx^2-10mx+1$。
当$x=2$时，$y=m×2^2-10m×2+1=-16m+1$；当$x=4$时，$y=m×4^2-10m×4+1=-24m+1$，
即$G'(2,-16m+1),E'(4,-24m+1)$，
因此单组支架增加的高度为：
$GG'+EE'=-16m+1-\frac{7}{3}+(-24m+1-3)=-40m-\frac{10}{3}$，
结合预算列不等式：$(-40m-\frac{10}{3})×200×60≤40000$，
解得$m≥-\frac{1}{6}$。
又$CC'=EE'=-24m+1-3=-24m-2$，$CC'$随$m$的减小而增大，
因此当$m=-\frac{1}{6}$时，$CC'$取最大值，最大值为$-24×(-\frac{1}{6})-2=2$米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1$
(2) $\frac{37}{12}$米
(3) 2米
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；不等式的实际应用
【点评】
本题结合大棚改造的实际场景，考查二次函数与不等式的综合应用，解题的关键是抓住改造前后抛物线的不变量（过A点、对称轴不变）建立模型，需要学生具备将实际问题转化为数学问题的能力，理清变量间的关系即可逐步求解。
【难度系数】
0.4
(1) 求改造前抛物线解析式：首先根据题干数据确定抛物线上三个已知点的坐标：A(0,1)、E(4,3)、C(6,3)，已知二次函数上三个点的坐标，可设一般式$y=ax^2+bx+c$，代入三个点坐标解三元一次方程组，即可得到解析式。
(2) 求改造前大棚最大高度：改造前抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，即大棚的最大高度，将第一问得到的解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点纵坐标。
(3) 求$CC'$的最大值：调整后$EE'=CC'$，说明$E'$和$C'$纵坐标仍相等，因此改造后抛物线的对称轴与原抛物线一致，为直线$x=5$，可设改造后抛物线的顶点式，代入已知点A(0,1)得到参数关系；再分别求出改造后x=2、x=4处的函数值，计算单组FG、DE增加的高度，结合支架数量、单价和预算列出不等式，求出参数的取值范围，最后将$CC'$表示为关于参数的代数式，结合参数范围即可求出$CC'$的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知$A(0,1),E(4,3),C(6,3)$，设改造前的抛物线的函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，
代入三点坐标得：$\begin{cases} c=1, \\16a+4b+c=3, \\36a+6b+c=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{1}{12}, \\b=\frac{5}{6}, \\c=1, \end{cases}$
因此改造前的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1$。
(2) 将解析式配方为顶点式：
$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1=-\frac{1}{12}(x-5)^2+\frac{37}{12}$，
∵$a=-\frac{1}{12}＜0$，
∴当$x=5$时，$y$取得最大值$\frac{37}{12}$，
即改造前大棚的最大高度为$\frac{37}{12}$米。
(3) 先求改造前FG的长度：当$x=2$时，$y=-\frac{1}{12}(2-5)^2+\frac{37}{12}=\frac{7}{3}$，即$FG=\frac{7}{3}\ \mathrm{m}$。
∵$DE=BC=3\ \mathrm{m}$，$EE'=CC'$，
∴$DE'=BC'$，改造后抛物线对称轴仍为直线$x=5$，
设改造后抛物线表达式为$y=m(x-5)^2+n$，把$A(0,1)$代入得$25m+n=1$，即$n=1-25m$，
因此改造后解析式可写为$y=mx^2-10mx+1$。
当$x=2$时，$y=m×2^2-10m×2+1=-16m+1$；当$x=4$时，$y=m×4^2-10m×4+1=-24m+1$，
即$G'(2,-16m+1),E'(4,-24m+1)$，
因此单组支架增加的高度为：
$GG'+EE'=-16m+1-\frac{7}{3}+(-24m+1-3)=-40m-\frac{10}{3}$，
结合预算列不等式：$(-40m-\frac{10}{3})×200×60≤40000$，
解得$m≥-\frac{1}{6}$。
又$CC'=EE'=-24m+1-3=-24m-2$，$CC'$随$m$的减小而增大，
因此当$m=-\frac{1}{6}$时，$CC'$取最大值，最大值为$-24×(-\frac{1}{6})-2=2$米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{5}{6}x+1$
(2) $\frac{37}{12}$米
(3) 2米
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的最值；不等式的实际应用
【点评】
本题结合大棚改造的实际场景，考查二次函数与不等式的综合应用，解题的关键是抓住改造前后抛物线的不变量（过A点、对称轴不变）建立模型，需要学生具备将实际问题转化为数学问题的能力，理清变量间的关系即可逐步求解。
【难度系数】
0.4
