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1[2026天津滨海新区质检，中]如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE=AF=CG=CH。已知AD=20 m，AB=40 m，有下列结论：①铺设草坪的面积可以是360 m²。②种花的面积的最大值为450 m²。③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432 m²。其中，正确结论有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
由题意易得$DE=BG$,$DH=BF$. $\because ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$,$AE=AF=CG=CH$,$\therefore △ DEH ≌ △ BGF$,$△ AEF ≌ △ CGH$. 设$AE=AF=x\ \mathrm{m}$,则$ED=(20-x)\ \mathrm{m}$,$BF=(40-x)\ \mathrm{m}$. 根据题意得$2×\frac{1}{2}(40-x)(20-x)+2×\frac{1}{2}x^2=360$,方程整理得$x^2-30x+220=0$,解得$x_1=15+\sqrt{5}$,$x_2=15-\sqrt{5}$,$\therefore$ 铺设草坪的面积可以是$360\ \mathrm{m}^2$,故①正确. 设种花的面积为$y\ \mathrm{m}^2$,则$y=20×40-2×\frac{1}{2}(40-x)(20-x)-2×\frac{1}{2}x^2=800-800+60x-2x^2=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$. $\because -2＜0$,$\therefore$ 当$x=15$时,$y$有最大值,最大值为$450$,故②正确. 根据题意得$-2x^2+60x=432$,解得$x_1=12$,$x_2=18$,$\therefore AF$的长有两个不同的值满足种花的面积为$432\ \mathrm{m}^2$,故③正确. 故选 D.
解析
【分析】
这是一道结合几何面积与代数知识的综合题，解题思路如下：1. 先利用矩形性质和已知边相等的条件，证得对角的两组三角形分别全等，方便统一计算面积；2. 设AE=AF=CG=CH=x m，用含x的代数式分别表示出四块草坪的面积和种花区域的面积；3. 针对三个结论逐一验证：①令草坪面积等于360m²，列一元二次方程，判断是否有符合实际取值范围的实根；②将种花面积表示为关于x的二次函数，通过配方求最值验证结论；③令种花面积等于432m²，列一元二次方程，判断符合取值范围的实根个数即可。注意x的取值范围是0＜x＜20。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=20m，AB=CD=40m。
已知AE=AF=CG=CH，可得ED=BG，DH=BF，因此△AEF≌△CGH（SAS），△DEH≌△BGF（SAS）。
设AE=AF=x m（0＜x＜20），则ED=(20-x)m，BF=(40-x)m。
1. 验证结论①：
草坪面积为$2×\frac{1}{2}x^2 + 2×\frac{1}{2}(20-x)(40-x)$，令其等于360m²，列方程：
$x^2 + (20-x)(40-x) = 360$
整理得$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x_1=15+\sqrt{5}$，$x_2=15-\sqrt{5}$，两根均满足0＜x＜20，故①正确。
2. 验证结论②：
设种花面积为y m²，矩形总面积为$20×40=800\ \mathrm{m}^2$，则：
$y=800 - [x^2 + (20-x)(40-x)]=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$
∵-2＜0，抛物线开口向下，当x=15时，y取最大值450m²，故②正确。
3. 验证结论③：
令y=432，列方程：
$-2x^2+60x=432$
整理得$x^2-30x+216=0$，解得$x_1=12$，$x_2=18$，两根均满足0＜x＜20，因此有两个不同的AF值满足条件，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的应用；图形面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算与代数方程、函数知识，解题核心是合理设未知数，准确用代数式表示各部分面积，再结合一元二次方程的性质、二次函数最值性质验证结论，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
这是一道结合几何面积与代数知识的综合题，解题思路如下：1. 先利用矩形性质和已知边相等的条件，证得对角的两组三角形分别全等，方便统一计算面积；2. 设AE=AF=CG=CH=x m，用含x的代数式分别表示出四块草坪的面积和种花区域的面积；3. 针对三个结论逐一验证：①令草坪面积等于360m²，列一元二次方程，判断是否有符合实际取值范围的实根；②将种花面积表示为关于x的二次函数，通过配方求最值验证结论；③令种花面积等于432m²，列一元二次方程，判断符合取值范围的实根个数即可。注意x的取值范围是0＜x＜20。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=20m，AB=CD=40m。
已知AE=AF=CG=CH，可得ED=BG，DH=BF，因此△AEF≌△CGH（SAS），△DEH≌△BGF（SAS）。
设AE=AF=x m（0＜x＜20），则ED=(20-x)m，BF=(40-x)m。
1. 验证结论①：
草坪面积为$2×\frac{1}{2}x^2 + 2×\frac{1}{2}(20-x)(40-x)$，令其等于360m²，列方程：
$x^2 + (20-x)(40-x) = 360$
整理得$x^2-30x+220=0$，判别式$\Delta=900-880=20＞0$，解得$x_1=15+\sqrt{5}$，$x_2=15-\sqrt{5}$，两根均满足0＜x＜20，故①正确。
2. 验证结论②：
设种花面积为y m²，矩形总面积为$20×40=800\ \mathrm{m}^2$，则：
$y=800 - [x^2 + (20-x)(40-x)]=-2x^2+60x=-2(x-15)^2+450$
∵-2＜0，抛物线开口向下，当x=15时，y取最大值450m²，故②正确。
3. 验证结论③：
令y=432，列方程：
$-2x^2+60x=432$
整理得$x^2-30x+216=0$，解得$x_1=12$，$x_2=18$，两根均满足0＜x＜20，因此有两个不同的AF值满足条件，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的应用；图形面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算与代数方程、函数知识，解题核心是合理设未知数，准确用代数式表示各部分面积，再结合一元二次方程的性质、二次函数最值性质验证结论，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
2[2026河北沧州质检,中]九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏(全部用完,不计损耗),准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图),最佳方案是 (
A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.面积都一样
C
)A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.面积都一样
答案
方案1: 如图(1),设$AD=x$米,则$AB=(8-2x)$米,则菜园面积为$x(8-2x)=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8$,$\therefore$ 当$x=2$时,菜园面积最大,为8平方米.
方案2: 如图(2),过点$B$作$BH ⊥ AC$于$H$,则$BH≤ AB$. 由题意知$AB=AC=4$米. $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH$,$\therefore$ 当$BH=4$米,即$△ ABC$是等腰直角三角形时,$△ ABC$的面积最大为$\frac{1}{2}×4×4=8$(平方米).
方案3: 半圆的半径为$\frac{8}{π}$米,$\therefore$ 半圆的面积为$\frac{π×(\frac{8}{π})^2}{2}=\frac{32}{π}$(平方米). $\because \frac{32}{π}＞8$,$\therefore$ 方案3的菜园面积最大,$\therefore$ 在这三种方案中,最佳方案是方案3. 故选 C.
解析
【分析】
要选出最佳方案，只需分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小即可：
1. 方案1为矩形菜园，靠墙一侧不需要围栏，因此8米围栏对应矩形的2条宽加1条长，设宽为未知数可表示出长，再通过二次函数配方法求最值得到最大面积；
2. 方案2为等腰三角形菜园，底边靠墙，因此8米围栏对应等腰三角形的两条腰，可得每条腰长为4米，三角形面积为底乘高的一半，当高取最大值时面积最大，据此计算最大面积；
3. 方案3为半圆形菜园，直径靠墙，因此8米围栏对应半圆的弧长，先由弧长求出半径，再计算半圆的面积；
最后对比三个最大面积，面积最大的方案即为最佳方案。
【解析】
方案1：设矩形的宽$AD=x$米，则长$AB=(8-2x)$米，菜园面积为$x(8-2x)=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8$，
$\therefore$ 当$x=2$时，菜园面积最大，为8平方米。
方案2：过点$B$作$BH ⊥ AC$于$H$，则$BH≤ AB$。由题意知$AB=AC=4$米。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH$，
$\therefore$ 当$BH=4$米，即$△ ABC$是等腰直角三角形时，$△ ABC$的面积最大为$\frac{1}{2}×4×4=8$平方米。
方案3：半圆的弧长为8米，设半圆半径为$r$，则$π r=8$，解得$r=\frac{8}{π}$米，
$\therefore$ 半圆的面积为$\frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2=\frac{32}{π}$平方米。
$\because \frac{32}{π}＞8$，
$\therefore$ 方案3的菜园面积最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，三角形面积计算，圆的相关计算
【点评】
本题结合实际种植场景，融合了二次函数最值、等腰三角形性质、圆的弧长与面积计算多个考点，需要学生分别推导不同方案的最大面积再对比，能够锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
要选出最佳方案，只需分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小即可：
1. 方案1为矩形菜园，靠墙一侧不需要围栏，因此8米围栏对应矩形的2条宽加1条长，设宽为未知数可表示出长，再通过二次函数配方法求最值得到最大面积；
2. 方案2为等腰三角形菜园，底边靠墙，因此8米围栏对应等腰三角形的两条腰，可得每条腰长为4米，三角形面积为底乘高的一半，当高取最大值时面积最大，据此计算最大面积；
3. 方案3为半圆形菜园，直径靠墙，因此8米围栏对应半圆的弧长，先由弧长求出半径，再计算半圆的面积；
最后对比三个最大面积，面积最大的方案即为最佳方案。
【解析】
方案1：设矩形的宽$AD=x$米，则长$AB=(8-2x)$米，菜园面积为$x(8-2x)=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8$，
$\therefore$ 当$x=2$时，菜园面积最大，为8平方米。
方案2：过点$B$作$BH ⊥ AC$于$H$，则$BH≤ AB$。由题意知$AB=AC=4$米。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH$，
$\therefore$ 当$BH=4$米，即$△ ABC$是等腰直角三角形时，$△ ABC$的面积最大为$\frac{1}{2}×4×4=8$平方米。
方案3：半圆的弧长为8米，设半圆半径为$r$，则$π r=8$，解得$r=\frac{8}{π}$米，
$\therefore$ 半圆的面积为$\frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2=\frac{32}{π}$平方米。
$\because \frac{32}{π}＞8$，
$\therefore$ 方案3的菜园面积最大。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，三角形面积计算，圆的相关计算
【点评】
本题结合实际种植场景，融合了二次函数最值、等腰三角形性质、圆的弧长与面积计算多个考点，需要学生分别推导不同方案的最大面积再对比，能够锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
3[2026江西赣州质检,中]如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,动点E从点D出发向终点A运动,连接BE,以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中,阴影部分面积的最小值为
(第3题图)
(第4题图)
15
.(第3题图)
(第4题图)
答案
设$AE=x$. $\because$ 四边形$ABCD$为矩形,$AB=4$,$AD=6$,$\therefore ∠ BAD=90°$,$\therefore BE^2=AE^2+AB^2=x^2+4^2=x^2+16$. $\because S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· AE=\frac{1}{2}×4× x=2x$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}BEFG}-S_{△ ABE}=x^2+16-2x=(x-1)^2+15$,$\therefore$ 当$x=1$时,阴影部分的面积有最小值,为$15$,故答案为$15$.
解析
【分析】
要求阴影部分面积的最小值，首先观察图形可知阴影面积等于正方形BEFG的面积减去△ABE的面积。我们可以先设AE的长度为x，结合矩形的性质和勾股定理表示出BE的平方（即正方形的面积），再写出△ABE的面积，进而得到阴影面积关于x的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意要验证x的取值是否在动点的运动范围内。
【解析】
设$AE=x$，
∵四边形$ABCD$为矩形，$AB=4$，$AD=6$，
∴$∠BAD=90°$，且$x$的取值范围为$0≤ x≤6$，
由勾股定理得：$BE^2=AE^2+AB^2=x^2+4^2=x^2+16$，即正方形$BEFG$的面积为$x^2+16$。
又$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·AE=\frac{1}{2}×4×x=2x$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}BEFG}-S_{△ABE}=x^2+16-2x$，
将二次函数配方得：$S_{\mathrm{阴影}}=(x-1)^2+15$，
∵二次项系数为1＞0，函数图象开口向上，且$x=1$在$0≤ x≤6$范围内，
∴当$x=1$时，阴影部分的面积取得最小值，最小值为15。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题属于动点与面积结合的常规题型，解题关键是通过设未知数将阴影部分面积表示为关于变量的二次函数，再利用二次函数的性质求解最值，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分面积的最小值，首先观察图形可知阴影面积等于正方形BEFG的面积减去△ABE的面积。我们可以先设AE的长度为x，结合矩形的性质和勾股定理表示出BE的平方（即正方形的面积），再写出△ABE的面积，进而得到阴影面积关于x的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意要验证x的取值是否在动点的运动范围内。
【解析】
设$AE=x$，
∵四边形$ABCD$为矩形，$AB=4$，$AD=6$，
∴$∠BAD=90°$，且$x$的取值范围为$0≤ x≤6$，
由勾股定理得：$BE^2=AE^2+AB^2=x^2+4^2=x^2+16$，即正方形$BEFG$的面积为$x^2+16$。
又$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·AE=\frac{1}{2}×4×x=2x$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}BEFG}-S_{△ABE}=x^2+16-2x$，
将二次函数配方得：$S_{\mathrm{阴影}}=(x-1)^2+15$，
∵二次项系数为1＞0，函数图象开口向上，且$x=1$在$0≤ x≤6$范围内，
∴当$x=1$时，阴影部分的面积取得最小值，最小值为15。
【答案】
$\boxed{15}$
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题属于动点与面积结合的常规题型，解题关键是通过设未知数将阴影部分面积表示为关于变量的二次函数，再利用二次函数的性质求解最值，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4[2026 陕西西安调研,中]在一块三角形钢板ABC中裁出一个面积最大的三角形,裁剪方案如图所示,顶点F在边BC上,顶点D,E分别在边AB,AC上,已知AB=AC=5,BC=6,DE//BC,则当三角形DEF的面积最大时,DE的长为
3
.答案
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$,交$DE$于点$H$. $\because DE// BC$,$\therefore$ 易得$△ ADE ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AH}{AG}$.
$\because AB=AC=5$,$BC=6$,$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=3$. 在$\mathrm{Rt}△ ABG$中,$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 设$GH=x$,则$AH=4-x$,$\therefore \frac{DE}{6}=\frac{4-x}{4}$,$\therefore DE=6-\frac{3}{2}x$,$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· GH=\frac{1}{2}(6-\frac{3}{2}x)x=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3$,$\therefore$ 当$x=2$时,$S_{△ DEF}$有最大值,此时$DE=6-\frac{3}{2}×2=3$. 故答案为$3$.
$\because AB=AC=5$,$BC=6$,$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=3$. 在$\mathrm{Rt}△ ABG$中,$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 设$GH=x$,则$AH=4-x$,$\therefore \frac{DE}{6}=\frac{4-x}{4}$,$\therefore DE=6-\frac{3}{2}x$,$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· GH=\frac{1}{2}(6-\frac{3}{2}x)x=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3$,$\therefore$ 当$x=2$时,$S_{△ DEF}$有最大值,此时$DE=6-\frac{3}{2}×2=3$. 故答案为$3$.
解析
【分析】
要解决△DEF面积最大时DE的长度问题，首先观察到DE//BC，可利用相似三角形的性质建立DE与△DEF的高的关系；再将△DEF的面积表示为关于变量的二次函数，利用二次函数的最值性质求解即可。第一步先求等腰△ABC底边上的高，第二步通过相似比用变量表示DE的长度，第三步写出面积的函数表达式求最值，最后反算DE的长度。
【解析】
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$，交$DE$于点$H$。
$\because AB=AC$，$AG⊥BC$，$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because DE// BC$，$\therefore AH⊥DE$，且$△ ADE ∽ △ ABC$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AH}{AG}$。
设$GH=x$（即△DEF中DE边上的高为$x$），则$AH=4-x$，代入相似比得：
$\frac{DE}{6}=\frac{4-x}{4}$，解得$DE=6-\frac{3}{2}x$。
△DEF的面积$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· GH=\frac{1}{2}(6-\frac{3}{2}x)x$，整理得：
$S=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3$。
$\because -\frac{3}{4}＜0$，$\therefore$当$x=2$时，$S_{△ DEF}$取得最大值，此时$DE=6-\frac{3}{2}×2=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
相似三角形的性质、二次函数的最值、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何面积最值问题，将几何性质与函数知识结合考查，解题的核心是利用相似三角形的比例关系建立边长和高的联系，将面积转化为二次函数后求最值，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决△DEF面积最大时DE的长度问题，首先观察到DE//BC，可利用相似三角形的性质建立DE与△DEF的高的关系；再将△DEF的面积表示为关于变量的二次函数，利用二次函数的最值性质求解即可。第一步先求等腰△ABC底边上的高，第二步通过相似比用变量表示DE的长度，第三步写出面积的函数表达式求最值，最后反算DE的长度。
【解析】
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$，交$DE$于点$H$。
$\because AB=AC$，$AG⊥BC$，$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because DE// BC$，$\therefore AH⊥DE$，且$△ ADE ∽ △ ABC$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AH}{AG}$。
设$GH=x$（即△DEF中DE边上的高为$x$），则$AH=4-x$，代入相似比得：
$\frac{DE}{6}=\frac{4-x}{4}$，解得$DE=6-\frac{3}{2}x$。
△DEF的面积$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· GH=\frac{1}{2}(6-\frac{3}{2}x)x$，整理得：
$S=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3$。
$\because -\frac{3}{4}＜0$，$\therefore$当$x=2$时，$S_{△ DEF}$取得最大值，此时$DE=6-\frac{3}{2}×2=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
相似三角形的性质、二次函数的最值、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何面积最值问题，将几何性质与函数知识结合考查，解题的核心是利用相似三角形的比例关系建立边长和高的联系，将面积转化为二次函数后求最值，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
5[2026广东珠海期中,中]课题研究:现有边长为120厘米的正方形铁皮,准备将它设计并制成一个开口的水槽,使水槽能通过的水的流量最大.
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,则通过水槽的水的流量越大.为此,他们对水槽的横截面进行了如下探索:
(1)方案①:把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图(1)).
若∠ACB=90°,设AC=x厘米,该水槽的横截面面积为y平方厘米,请你写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值又是多少.
方案②:把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图(2)).
若∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y的最大值比较大小.
(2)假如你是该兴趣小组中的成员,通过两个方案的研究,你能得出什么结论?
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论:在水流速度一定的情况下,水槽的横截面面积越大,则通过水槽的水的流量越大.为此,他们对水槽的横截面进行了如下探索:
(1)方案①:把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图(1)).
若∠ACB=90°,设AC=x厘米,该水槽的横截面面积为y平方厘米,请你写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求出当x取何值时,y的值最大,最大值又是多少.
方案②:把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图(2)).
若∠ABC=120°,请你求出该水槽的横截面面积的最大值,并与方案①中的y的最大值比较大小.
(2)假如你是该兴趣小组中的成员,通过两个方案的研究,你能得出什么结论?
答案
(1)方案①:由题意得$BC=(120-x)$厘米,$\therefore y=\frac{1}{2}x(120-x)=-\frac{1}{2}x^2+60x=-\frac{1}{2}(x-60)^2+1\ 800$,$\therefore$ 当$x=60$时,$y$取得最大值,最大值为$1\ 800$.
方案②:如图,过点$B$作$BE ⊥ AD$于$E$,过点$C$作$CF ⊥ AD$于$F$.
在等腰梯形$ABCD$中,$∠ A=∠ D=60°$,$\therefore ∠ ABE=∠ DCF=30°$.
设$AB=CD=a$厘米,等腰梯形$ABCD$的面积为$S$平方厘米,则$BC=EF=(120-2a)$厘米.
又$\because ∠ ABE=∠ DCF=30°$,$\therefore AE=DF=\frac{1}{2}a$厘米,
$\therefore BE=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$厘米,$AD=(120-a)$厘米,
$\therefore S=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}a(120-2a+120-a)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2+60\sqrt{3}a=-\frac{3\sqrt{3}}{4}(a-40)^2+1\ 200\sqrt{3}$,$\therefore$ 当$a=40$时,$S$有最大值,$S_{\mathrm{最大值}}=1\ 200\sqrt{3}$.
$\because 1\ 200\sqrt{3}＞1\ 800$,$\therefore S_{\mathrm{最大值}}＞y_{\mathrm{最大值}}$.
(2)由(1)的结果大致可推断出折的边数越多,横截面面积越大,因此折的边数无限多,即折的图形为半圆时,横截面面积最大.
解析
【分析】
要解决水槽横截面最大面积问题，核心是将面积表示为关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最值：
1. 方案①：直角三角形两直角边之和为120cm，设其中一边为x，即可表示出另一边，结合三角形面积公式得到二次函数，配方后即可求最值。
2. 方案②：等腰梯形的腰长与下底之和为120cm，已知底角为120°，通过作高将梯形分割为矩形和直角三角形，用腰长表示出梯形的上底和高，结合梯形面积公式得到二次函数，配方求最值后与方案①的最大值比较。
3. 第二问根据两个方案的面积大小规律，总结合理结论即可。
【解析】
(1)方案①：
由题意得，折成直角三角形时两直角边之和为120厘米，若$AC=x$厘米，则$BC=(120-x)$厘米。
根据直角三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2}x(120-x)=-\frac{1}{2}x^2+60x$
配方得$y=-\frac{1}{2}(x-60)^2+1800$，
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当$x=60$时，$y$取得最大值，最大值为1800平方厘米。
方案②：
如图，过点$B$作$BE ⊥ AD$于$E$，过点$C$作$CF ⊥ AD$于$F$。
在等腰梯形$ABCD$中，$∠ABC=120°$，
∴$∠ A=∠ D=60°$，$∠ ABE=∠ DCF=30°$。
设$AB=CD=a$厘米，等腰梯形$ABCD$的面积为$S$平方厘米，则$BC=EF=(120-2a)$厘米。
又
∵$∠ ABE=∠ DCF=30°$，
∴$AE=DF=\frac{1}{2}a$厘米，
∴$BE=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$厘米，$AD=AE+EF+DF=120-a$厘米，
∴$S=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}a(120-2a+120-a)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2+60\sqrt{3}a=-\frac{3\sqrt{3}}{4}(a-40)^2+1200\sqrt{3}$，
∵二次项系数$-\frac{3\sqrt{3}}{4}＜0$，
∴当$a=40$时，$S$有最大值，最大值为$1200\sqrt{3}$平方厘米。
比较大小：$1200\sqrt{3}\approx2078＞1800$，
∴方案②的横截面面积最大值大于方案①的最大值。
(2)由两个方案的结果可推断：相同周长下，折成的横截面边数越多，横截面面积越大，当折成的图形为半圆时，横截面面积最大。
【答案】
(1)方案①：$y=-\frac{1}{2}x^2+60x$，当$x=60$时，$y$的最大值为$1800$；
方案②：横截面面积最大值为$1200\sqrt{3}$，大于方案①的最大值；
(2)相同周长下，折成的横截面边数越多，横截面面积越大，折为半圆时横截面面积最大。
【知识点】
二次函数的最值，等腰梯形的性质，图形面积计算
【点评】
本题以实际水槽设计为背景，将几何面积问题和二次函数最值结合，既考查了常见几何图形的面积计算方法，又考查了二次函数配方求最值的技能，要求学生能将实际问题转化为数学函数模型求解。
【难度系数】
0.6
要解决水槽横截面最大面积问题，核心是将面积表示为关于边长的二次函数，利用二次函数的性质求最值：
1. 方案①：直角三角形两直角边之和为120cm，设其中一边为x，即可表示出另一边，结合三角形面积公式得到二次函数，配方后即可求最值。
2. 方案②：等腰梯形的腰长与下底之和为120cm，已知底角为120°，通过作高将梯形分割为矩形和直角三角形，用腰长表示出梯形的上底和高，结合梯形面积公式得到二次函数，配方求最值后与方案①的最大值比较。
3. 第二问根据两个方案的面积大小规律，总结合理结论即可。
【解析】
(1)方案①：
由题意得，折成直角三角形时两直角边之和为120厘米，若$AC=x$厘米，则$BC=(120-x)$厘米。
根据直角三角形面积公式：
$y=\frac{1}{2}x(120-x)=-\frac{1}{2}x^2+60x$
配方得$y=-\frac{1}{2}(x-60)^2+1800$，
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当$x=60$时，$y$取得最大值，最大值为1800平方厘米。
方案②：
如图，过点$B$作$BE ⊥ AD$于$E$，过点$C$作$CF ⊥ AD$于$F$。
在等腰梯形$ABCD$中，$∠ABC=120°$，
∴$∠ A=∠ D=60°$，$∠ ABE=∠ DCF=30°$。
设$AB=CD=a$厘米，等腰梯形$ABCD$的面积为$S$平方厘米，则$BC=EF=(120-2a)$厘米。
又
∵$∠ ABE=∠ DCF=30°$，
∴$AE=DF=\frac{1}{2}a$厘米，
∴$BE=CF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$厘米，$AD=AE+EF+DF=120-a$厘米，
∴$S=\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}a(120-2a+120-a)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2+60\sqrt{3}a=-\frac{3\sqrt{3}}{4}(a-40)^2+1200\sqrt{3}$，
∵二次项系数$-\frac{3\sqrt{3}}{4}＜0$，
∴当$a=40$时，$S$有最大值，最大值为$1200\sqrt{3}$平方厘米。
比较大小：$1200\sqrt{3}\approx2078＞1800$，
∴方案②的横截面面积最大值大于方案①的最大值。
(2)由两个方案的结果可推断：相同周长下，折成的横截面边数越多，横截面面积越大，当折成的图形为半圆时，横截面面积最大。
【答案】
(1)方案①：$y=-\frac{1}{2}x^2+60x$，当$x=60$时，$y$的最大值为$1800$；
方案②：横截面面积最大值为$1200\sqrt{3}$，大于方案①的最大值；
(2)相同周长下，折成的横截面边数越多，横截面面积越大，折为半圆时横截面面积最大。
【知识点】
二次函数的最值，等腰梯形的性质，图形面积计算
【点评】
本题以实际水槽设计为背景，将几何面积问题和二次函数最值结合，既考查了常见几何图形的面积计算方法，又考查了二次函数配方求最值的技能，要求学生能将实际问题转化为数学函数模型求解。
【难度系数】
0.6
