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1 [2025青海中考]若$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，则$c$的值为
3
。答案
若$x=1$是一元二次方程$x^2-4x+c=0$的一个根，则$1^2-4×1+c=0$，解得$c=3$，故答案为3。
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=1代入原方程，即可得到一个只含未知数c的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出c的值。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，将x=1代入方程得：
$\begin{aligned}1^2 - 4×1 + c &= 0 \\1 - 4 + c &= 0 \\-3 + c &= 0 \\c &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题关键是熟练掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一性质，计算难度低。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=1代入原方程，即可得到一个只含未知数c的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出c的值。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，将x=1代入方程得：
$\begin{aligned}1^2 - 4×1 + c &= 0 \\1 - 4 + c &= 0 \\-3 + c &= 0 \\c &= 3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，解题关键是熟练掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一性质，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2 解方程：
(1)[2025江苏无锡中考节选]$x^2 - 2x - 2 = 0$；
(2)[2025黑龙江齐齐哈尔中考]$x^2 - 7x = -12$。
(1)[2025江苏无锡中考节选]$x^2 - 2x - 2 = 0$；
(2)[2025黑龙江齐齐哈尔中考]$x^2 - 7x = -12$。
答案
(1)$x^2-2x-2=0$,移项,得$x^2-2x=2$,配方,得$x^2-2x+1=2+1$,即$(x-1)^2=3$,开方,得$x-1=\pm\sqrt{3}$,解得$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(2)$x^2-7x=-12$,移项,得$x^2-7x+12=0$,$(x-4)(x-3)=0$,$\therefore x-4=0$或$x-3=0$,解得$x_1=4$,$x_2=3$.
(2)$x^2-7x=-12$,移项,得$x^2-7x+12=0$,$(x-4)(x-3)=0$,$\therefore x-4=0$或$x-3=0$,解得$x_1=4$,$x_2=3$.
解析
【分析】
求解一元二次方程需先观察方程特征选择最优解法：
(1) 该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方即可得解；
(2) 该方程移项后左侧二次三项式可通过十字相乘法因式分解，适合用因式分解法求解，将方程转化为两个一元一次方程分别求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 2 = 0$移项，得$x^2 - 2x = 2$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$，即$(x-1)^2 = 3$，
开方，得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$，
解得$x_1 = 1+\sqrt{3}$，$x_2 = 1-\sqrt{3}$。
(2) 对$x^2 - 7x = -12$移项，得$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解，得$(x-4)(x-3) = 0$，
$\therefore x-4=0$或$x-3=0$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 3$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$；(2)$x_1=4,x_2=3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
这两道题是一元二次方程解法的常规基础题，考查根据方程特征灵活选择合适解法的能力，配方法和因式分解法都是解一元二次方程的常用方法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
求解一元二次方程需先观察方程特征选择最优解法：
(1) 该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方即可得解；
(2) 该方程移项后左侧二次三项式可通过十字相乘法因式分解，适合用因式分解法求解，将方程转化为两个一元一次方程分别求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 2 = 0$移项，得$x^2 - 2x = 2$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$，即$(x-1)^2 = 3$，
开方，得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$，
解得$x_1 = 1+\sqrt{3}$，$x_2 = 1-\sqrt{3}$。
(2) 对$x^2 - 7x = -12$移项，得$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解，得$(x-4)(x-3) = 0$，
$\therefore x-4=0$或$x-3=0$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 3$。
【答案】
(1)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$；(2)$x_1=4,x_2=3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
这两道题是一元二次方程解法的常规基础题，考查根据方程特征灵活选择合适解法的能力，配方法和因式分解法都是解一元二次方程的常用方法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
3[2025广东广州中考]关于x的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
【解析】$x^2-x+k^2+2=0$,$\Delta=(-1)^2-4×1×(k^2+2)=1-4(k^2+2)=1-4k^2-8=-4k^2-7$. 由于$k^2≥0$,则$-4k^2≤0$,$\therefore -4k^2-7≤-7＜0$,$\therefore$ 方程无实数根. 故选 C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需用根的判别式$\Delta$判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
计算根的判别式：$\Delta=(-1)^2-4×1×(k^2+2)=1-4(k^2+2)=1-4k^2-8=-4k^2-7$。
根据平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，
可得$\Delta=-4k^2-7≤-7＜0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的正负，属于基础考点的考查。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需用根的判别式$\Delta$判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。解题时先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式计算$\Delta$，再结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
对于方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
计算根的判别式：$\Delta=(-1)^2-4×1×(k^2+2)=1-4(k^2+2)=1-4k^2-8=-4k^2-7$。
根据平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-4k^2≤0$，
可得$\Delta=-4k^2-7≤-7＜0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题核心是准确计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的正负，属于基础考点的考查。
【难度系数】
0.8
4[2025 四川广元中考]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根,则a=
-1
.答案
【解析】$\because$ 关于 x 的一元二次方程 $(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$ 有两个相等的实数根,
$\therefore \begin{cases}(a-1)^2-4×(-\frac{1}{2})(a-1)=0,\\a-1≠0,\end{cases}$ $\therefore a=-1$,故答案为-1.
$\therefore \begin{cases}(a-1)^2-4×(-\frac{1}{2})(a-1)=0,\\a-1≠0,\end{cases}$ $\therefore a=-1$,故答案为-1.
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个核心解题依据：第一，题目明确为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不符合题意；第二，一元二次方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。我们先根据判别式公式列方程求解，再结合二次项系数不为0的限制排除错误解，即可得到a的取值。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数不为0：$a-1≠0$，即$a≠1$；
2. 根的判别式$\Delta=0$：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，$\Delta=B^2-4AC$，代入本题系数$A=a-1$，$B=a-1$，$C=-\frac{1}{2}$得：
$\begin{aligned}(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})&=0\\(a-1)^2 + 2(a-1)&=0\\(a-1)(a-1+2)&=0\\(a-1)(a+1)&=0\end{aligned}$
解得$a=1$或$a=-1$，结合$a≠1$的限制，最终得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，误把a=1当作正确解，解题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需明确两个核心解题依据：第一，题目明确为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程退化为一次方程，不符合题意；第二，一元二次方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ=0。我们先根据判别式公式列方程求解，再结合二次项系数不为0的限制排除错误解，即可得到a的取值。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+(a-1)x-\frac{1}{2}=0$有两个相等的实数根，
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 二次项系数不为0：$a-1≠0$，即$a≠1$；
2. 根的判别式$\Delta=0$：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，$\Delta=B^2-4AC$，代入本题系数$A=a-1$，$B=a-1$，$C=-\frac{1}{2}$得：
$\begin{aligned}(a-1)^2 - 4×(a-1)×(-\frac{1}{2})&=0\\(a-1)^2 + 2(a-1)&=0\\(a-1)(a-1+2)&=0\\(a-1)(a+1)&=0\end{aligned}$
解得$a=1$或$a=-1$，结合$a≠1$的限制，最终得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的典型考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，误把a=1当作正确解，解题时要先明确方程类型对应的限制条件，再结合判别式计算。
【难度系数】
0.6
5[2025广西中考]已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根,则$x_1+x_2=$ (
A.-25
B.-20
C.20
D.25
C
)A.-25
B.-20
C.20
D.25
答案
【解析】$\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2-20x-25=0$ 的两个实数根,$\therefore$ 根据根与系数的关系可得 $x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$,故选 C.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题时首先回忆韦达定理内容：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中找出二次项系数$a$和一次项系数$b$，代入公式计算即可，注意不要看错系数的符号。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入数值计算得：$x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的应用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，牢记两根之和的计算公式，避免符号出错即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题时首先回忆韦达定理内容：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。接下来只需从给定方程中找出二次项系数$a$和一次项系数$b$，代入公式计算即可，注意不要看错系数的符号。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，该方程的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入数值计算得：$x_1+x_2=-\frac{-20}{1}=20$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，核心考查韦达定理的应用，解题关键是准确识别一元二次方程的各项系数，牢记两根之和的计算公式，避免符号出错即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
6 新考法[2025河北中考]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
【解析】方程 $x(x+2)-3=0$,整理得 $x^2+2x-3=0$,$\therefore$ 两根之和 $m=-2＜0$,两根之积 $n=-3＜0$,$\therefore$ 点 $(m,n)$ 在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题可分三步思考：第一步，先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，为应用根与系数的关系做准备；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别算出两根之和$m$、两根之积$n$的取值；第三步，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x(x+2)-3=0$展开整理得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，
可得$m＜0$，$n＜0$，
根据象限坐标特征，横、纵坐标均为负数的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题关键是准确运用韦达定理求出两根的和与积，牢记各象限内点的坐标符号特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可分三步思考：第一步，先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，为应用根与系数的关系做准备；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别算出两根之和$m$、两根之积$n$的取值；第三步，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x(x+2)-3=0$展开整理得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，
可得$m＜0$，$n＜0$，
根据象限坐标特征，横、纵坐标均为负数的点位于第三象限，因此点$(m,n)$在第三象限。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程与平面直角坐标系的知识点结合考查，解题关键是准确运用韦达定理求出两根的和与积，牢记各象限内点的坐标符号特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7[2025江苏宿迁中考]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，则$(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026) =$
-4 048
。答案
【解析】$\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$,$\therefore m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,$\therefore m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$,故答案为-4 048.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，若直接求解方程的根再代入计算，因数值较大运算会非常繁琐。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含$m^2$、$n^2$的项降次变形，再把待求式化简为仅含两根之和与两根之积的形式，最后结合根与系数的关系整体代入计算即可。
【解析】
$\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$，
$\therefore$ 根据根的定义可得：$m^2-2024m-2025=0$，$n^2-2024n-2025=0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$，
$\therefore$ 变形得 $m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$，
将上述式子代入待求式：
$\begin{split}&(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)\\=&(m-1)(n-1)\\=&mn-(m+n)+1\end{split}$
将$m+n=2024$，$mn=-2025$代入得：
原式$=-2025-2024+1=-4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程应用的常见题型，核心是运用整体思想，通过根的定义降次简化代数式，结合韦达定理整体代入求解，避免了大数值的复杂运算，侧重考察对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，若直接求解方程的根再代入计算，因数值较大运算会非常繁琐。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含$m^2$、$n^2$的项降次变形，再把待求式化简为仅含两根之和与两根之积的形式，最后结合根与系数的关系整体代入计算即可。
【解析】
$\because$ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$，
$\therefore$ 根据根的定义可得：$m^2-2024m-2025=0$，$n^2-2024n-2025=0$，
根据根与系数的关系可得：$m+n=2024$，$mn=-2025$，
$\therefore$ 变形得 $m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$，
将上述式子代入待求式：
$\begin{split}&(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)\\=&(m-1)(n-1)\\=&mn-(m+n)+1\end{split}$
将$m+n=2024$，$mn=-2025$代入得：
原式$=-2025-2024+1=-4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程应用的常见题型，核心是运用整体思想，通过根的定义降次简化代数式，结合韦达定理整体代入求解，避免了大数值的复杂运算，侧重考察对知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
8[2025四川南充中考]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1)把 $x_1=-1$ 代入方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 得 $m^2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$,$(x-1)(x-2)=6$,即 $x^2-3x-4=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=4$,故 $x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根. 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2≤0$,$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(2)证明:方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 可化为 $x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根. 由根与系数的关系得 $x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2≤0$,$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 已知$x_1$是方程的根，根据方程的根的定义，将$x_1=-1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代回原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
展开整理得：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because$ 判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$=(2-m^2)-3+1=-m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明成立
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心知识点设题，第一问侧重基础运算能力的考查，第二问需要熟练运用韦达定理对代数式进行变形推导，是一元二次方程板块的典型考法，兼顾基础和能力的检验。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1$是方程的根，根据方程的根的定义，将$x_1=-1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，解一元二次方程就能得到另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代回原方程，得$(x-1)(x-2)=6$，
展开整理得：$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
$\because$ 判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$=(2-m^2)-3+1=-m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$
(2) 证明成立
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心知识点设题，第一问侧重基础运算能力的考查，第二问需要熟练运用韦达定理对代数式进行变形推导，是一元二次方程板块的典型考法，兼顾基础和能力的检验。
【难度系数】
0.7
9 新考向传统文化[2025辽宁中考]中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
）A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
【解析】利用矩形面积公式即可列出方程为 $x(60-x)=864$,故选 A.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：矩形田地面积为864平方步，长与宽的和为60步，题目已设宽为x步。第一步推导长的表达式：因为长+宽=60步，所以长=长宽和 - 宽，即(60 - x)步；第二步回忆等量关系：矩形面积=长×宽；第三步将已知量、未知量代入等量关系即可得到方程。也可通过排除法验证错误选项：B选项中(x-60)为负数不符合长度实际意义，C选项的(60+x)超出长宽和，D选项是矩形周长公式，和面积条件无关，均可直接排除。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积=长×宽，且田地面积为864平方步，
∴ 可列方程：$x(60-x)=864$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 矩形面积公式
【点评】
本题结合古代数学文化考查列方程的能力，解题核心是找准题目中的等量关系，属于基础题，掌握矩形面积公式和列方程的基本方法即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：矩形田地面积为864平方步，长与宽的和为60步，题目已设宽为x步。第一步推导长的表达式：因为长+宽=60步，所以长=长宽和 - 宽，即(60 - x)步；第二步回忆等量关系：矩形面积=长×宽；第三步将已知量、未知量代入等量关系即可得到方程。也可通过排除法验证错误选项：B选项中(x-60)为负数不符合长度实际意义，C选项的(60+x)超出长宽和，D选项是矩形周长公式，和面积条件无关，均可直接排除。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积=长×宽，且田地面积为864平方步，
∴ 可列方程：$x(60-x)=864$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用 2. 矩形面积公式
【点评】
本题结合古代数学文化考查列方程的能力，解题核心是找准题目中的等量关系，属于基础题，掌握矩形面积公式和列方程的基本方法即可正确解答。
【难度系数】
0.9
10[2025四川泸州中考]某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为 $x$. 由题意得,$125(1-x)^2=80$,解得 $x=0.2=20\%$ 或 $x=1.8$(舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进甲种商品 $m$ 件,则购进乙种商品 $(100-m)$ 件.
由题意,得 $(125-25×2)m+80(100-m)≤7800$,
$\therefore 75m+8000-80m≤7800$,解得 $m≥40$,$\therefore m$ 的最小值为 40,即最少购进甲种商品 40 件.
答:最少购进甲种商品 40 件.
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 20%.
(2)设购进甲种商品 $m$ 件,则购进乙种商品 $(100-m)$ 件.
由题意,得 $(125-25×2)m+80(100-m)≤7800$,
$\therefore 75m+8000-80m≤7800$,解得 $m≥40$,$\therefore m$ 的最小值为 40,即最少购进甲种商品 40 件.
答:最少购进甲种商品 40 件.
解析
【分析】
(1) 第一问为平均下降率问题，可套用平均变化率公式：初始值×(1-下降率)^变化年数=最终值。已知乙商品2022年进价125元为初始值，2024年进价80元为最终值，间隔2年，设下降率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意下降率需小于1，要舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为不等式应用问题，首先先算2024年甲商品的进价：甲每年进价下降25元，2022到2024共2年，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。题目限制总资金不超过7800元，即甲商品总进价+乙商品总进价≤7800，设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，代入不等关系列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即为最少购进甲的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，由题意得：
$125(1-x)^2=80$
解得 $x=0.2=20\%$ 或 $x=1.8$（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。
(2) 设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100-m)$件，2024年甲商品进价为$125-25×2=75$元，由题意得：
$75m+80(100-m)≤7800$
$\therefore 75m+8000-80m≤7800$
解得 $m≥40$，$\therefore m$ 的最小值为40。
答：最少购进甲种商品40件。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进甲种商品40件。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合实际消费场景命题，分别考查了一元二次方程、一元一次不等式的实际应用，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，同时注意实际问题的解要符合现实意义，是典型的应用类基础题。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问为平均下降率问题，可套用平均变化率公式：初始值×(1-下降率)^变化年数=最终值。已知乙商品2022年进价125元为初始值，2024年进价80元为最终值，间隔2年，设下降率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意下降率需小于1，要舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为不等式应用问题，首先先算2024年甲商品的进价：甲每年进价下降25元，2022到2024共2年，因此2024年甲进价为125-25×2=75元。题目限制总资金不超过7800元，即甲商品总进价+乙商品总进价≤7800，设购进甲商品m件，则乙商品为(100-m)件，代入不等关系列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即为最少购进甲的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，由题意得：
$125(1-x)^2=80$
解得 $x=0.2=20\%$ 或 $x=1.8$（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。
(2) 设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100-m)$件，2024年甲商品进价为$125-25×2=75$元，由题意得：
$75m+80(100-m)≤7800$
$\therefore 75m+8000-80m≤7800$
解得 $m≥40$，$\therefore m$ 的最小值为40。
答：最少购进甲种商品40件。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
(2) 最少购进甲种商品40件。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 实际问题解的检验
【点评】
本题结合实际消费场景命题，分别考查了一元二次方程、一元一次不等式的实际应用，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，同时注意实际问题的解要符合现实意义，是典型的应用类基础题。
【难度系数】
0.75
