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一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1 [2025陕西西安期中]下列一定是一元二次方程的是 (
A.$\frac{1}{x^2} + 2x = 1$
B.$2x = \frac{1}{5}x^2$
C.$3y^2 + 2x -5 =0$
D.$my^2 +2y=0$
1 [2025陕西西安期中]下列一定是一元二次方程的是 (
B
)A.$\frac{1}{x^2} + 2x = 1$
B.$2x = \frac{1}{5}x^2$
C.$3y^2 + 2x -5 =0$
D.$my^2 +2y=0$
答案
【解析】A选项,该方程分母含有未知数,不是一元二次方程,故A选项不符合题意;B选项,该方程是一元二次方程,故B选项符合题意;C选项,该方程含有两个未知数,不是一元二次方程,故C选项不符合题意;D选项,当 $m=0$ 时,$my^2+2y=0$ 为 $2y=0$,不是一元二次方程,故D选项不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时对照这三个条件逐一排查每个选项，即可得出正确结果。
【解析】
对照一元二次方程的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{x^2} + 2x = 1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，故A不符合题意；
B选项：方程$2x = \frac{1}{5}x^2$整理为$\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$，满足整式方程、仅含未知数$x$、$x$的最高次数为2且二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，属于一元二次方程，故B符合题意；
C选项：方程$3y^2 + 2x -5 =0$含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D选项：方程$my^2 +2y=0$中，当$m=0$时方程变为$2y=0$，是一元一次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，故D不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程定义的准确掌握，解题时要注意三个判定条件必须同时满足，尤其要注意含参数的一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，同时要区分整式方程和分式方程，避免误判。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时对照这三个条件逐一排查每个选项，即可得出正确结果。
【解析】
对照一元二次方程的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{x^2} + 2x = 1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，故A不符合题意；
B选项：方程$2x = \frac{1}{5}x^2$整理为$\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$，满足整式方程、仅含未知数$x$、$x$的最高次数为2且二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，属于一元二次方程，故B符合题意；
C选项：方程$3y^2 + 2x -5 =0$含有$x$、$y$两个未知数，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D选项：方程$my^2 +2y=0$中，当$m=0$时方程变为$2y=0$，是一元一次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，故D不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程定义的准确掌握，解题时要注意三个判定条件必须同时满足，尤其要注意含参数的一元二次方程中二次项系数不为0的隐含要求，同时要区分整式方程和分式方程，避免误判。
【难度系数】
0.8
2[2025浙江金华质检]根据下表判断关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的其中一个解的范围是（
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
C
）A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
答案
【解析】根据表中数据可知,当 $x=3.24$ 时,$ax^2+bx+c=-0.02$,当 $x=3.25$ 时,$ax^2+bx+c=0.03$,$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的其中一个解的范围是 $3.24＜x＜3.25$. 故选 C.
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确一元二次方程与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的关系：方程的解就是函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。由于二次函数的图像是连续的曲线，若两个相邻的$x$取值对应的函数值一个大于0、一个小于0，则这两个$x$之间一定存在某个值使得$y=0$，即方程的解就在该区间内。因此我们只需观察表格中函数值正负切换对应的$x$区间即可。
【解析】
观察表格数据可得：当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。结合二次函数图像的连续性可知，在$3.24＜x＜3.25$的范围内，必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的其中一个解的范围是$3.24＜x＜3.25$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程近似解估算
【点评】
本题是估算一元二次方程近似解的基础题型，核心考查二次函数的函数值变化与对应方程解的关联，解题关键是找到函数值正负切换的相邻自变量区间，掌握对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确一元二次方程与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的关系：方程的解就是函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值。由于二次函数的图像是连续的曲线，若两个相邻的$x$取值对应的函数值一个大于0、一个小于0，则这两个$x$之间一定存在某个值使得$y=0$，即方程的解就在该区间内。因此我们只需观察表格中函数值正负切换对应的$x$区间即可。
【解析】
观察表格数据可得：当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。结合二次函数图像的连续性可知，在$3.24＜x＜3.25$的范围内，必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的其中一个解的范围是$3.24＜x＜3.25$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程近似解估算
【点评】
本题是估算一元二次方程近似解的基础题型，核心考查二次函数的函数值变化与对应方程解的关联，解题关键是找到函数值正负切换的相邻自变量区间，掌握对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3[2026山东聊城期末]某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克. 通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（
A.$(12 - x)(100 + 20×10x) = 500$
B.$(12 - 9 - x)(100 + 20x) = 500$
C.$(9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
D.$(12 - 9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
D
）A.$(12 - x)(100 + 20×10x) = 500$
B.$(12 - 9 - x)(100 + 20x) = 500$
C.$(9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
D.$(12 - 9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
答案
【解析】根据题意可列方程为 $(12-9-x)(100+20×10x)=500$. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这个销售利润类列方程问题，需牢记总利润的核心计算公式：总利润=每千克的利润×总销售量，我们只需分别求出降价后的每千克利润和总销售量，再结合总盈利为500元的条件即可列出方程。第一步先算每千克利润：进价固定为9元，原售价12元，降价x元后，每千克的利润为原售价减进价再减降价金额；第二步算总销售量：原销量是100千克，每降0.1元多售20千克，先算x元里包含多少个0.1元，就能得出多售出的重量，加原销量就是总销量；最后将两个量相乘等于总盈利500元即可。
【解析】
第一步：计算降价后每千克的利润
已知进价为每千克9元，原售价12元，每千克降价x元，因此每千克的实际利润为：$12 - 9 - x$元。
第二步：计算降价后的日总销售量
已知每降低0.1元，每天多售出20千克，那么降价x元时，包含的0.1元的个数为$x÷0.1=10x$，因此多售出的重量为$20×10x$千克，加上原日销量100千克，总日销售量为：$100 + 20×10x$千克。
第三步：根据总利润公式列方程
总盈利=每千克利润×总销售量，已知总盈利为500元，因此可列方程：
$(12 - 9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程应用
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的核心是准确拆分总利润的两个构成要素：单件利润和总销量，尤其要注意售价降低幅度和销量增量的对应换算，避免因漏算倍数导致销量表达式错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个销售利润类列方程问题，需牢记总利润的核心计算公式：总利润=每千克的利润×总销售量，我们只需分别求出降价后的每千克利润和总销售量，再结合总盈利为500元的条件即可列出方程。第一步先算每千克利润：进价固定为9元，原售价12元，降价x元后，每千克的利润为原售价减进价再减降价金额；第二步算总销售量：原销量是100千克，每降0.1元多售20千克，先算x元里包含多少个0.1元，就能得出多售出的重量，加原销量就是总销量；最后将两个量相乘等于总盈利500元即可。
【解析】
第一步：计算降价后每千克的利润
已知进价为每千克9元，原售价12元，每千克降价x元，因此每千克的实际利润为：$12 - 9 - x$元。
第二步：计算降价后的日总销售量
已知每降低0.1元，每天多售出20千克，那么降价x元时，包含的0.1元的个数为$x÷0.1=10x$，因此多售出的重量为$20×10x$千克，加上原日销量100千克，总日销售量为：$100 + 20×10x$千克。
第三步：根据总利润公式列方程
总盈利=每千克利润×总销售量，已知总盈利为500元，因此可列方程：
$(12 - 9 - x)(100 + 20×10x) = 500$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程应用
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的核心是准确拆分总利润的两个构成要素：单件利润和总销量，尤其要注意售价降低幅度和销量增量的对应换算，避免因漏算倍数导致销量表达式错误。
【难度系数】
0.7
4[2026 陕西西安期末]已知方程 $x^2 -4x +1 = □$，“$□$”中的数字印刷不清楚. 若可以将此方程配方成$(x - m)^2 =5$的形式，则印刷不清楚的数是（
A.$-3$
B.$-2$
C.$3$
D.$2$
D
）A.$-3$
B.$-2$
C.$3$
D.$2$
答案
【解析】$(x-m)^2=5$,$x^2-2mx+m^2=5$. 由题意得 $-2m=-4$,解得 $m=2$,$\therefore x^2-4x+2^2=5$,整理得 $x^2-4x+1=2$,$\therefore$ 印刷不清楚的数是 2. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用两个等价方程的系数对应关系推导。首先把配方后的完全平方式展开，对比原方程的一次项系数先求出参数m的值，再将m代回展开后的式子，整理成和原方程左边结构一致的形式，就能得到印刷不清楚的数字。解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构，以及配方法的逆运用。
【解析】
先将配方后的方程$(x - m)^2 =5$展开，可得：
$x^2 - 2mx + m^2 = 5$
对比原方程$x^2 -4x +1 = □$的一次项系数，可得$-2m = -4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入展开后的式子，得：
$x^2 -4x + 2^2 =5$，即$x^2 -4x +4 =5$
对该式变形：等式两边同时减3，可得$x^2 -4x +1 =2$，因此印刷不清楚的数是2。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的逆用，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过系数对应求出参数m是解题的关键，整体属于一元二次方程配方的基础应用，掌握配方法的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用两个等价方程的系数对应关系推导。首先把配方后的完全平方式展开，对比原方程的一次项系数先求出参数m的值，再将m代回展开后的式子，整理成和原方程左边结构一致的形式，就能得到印刷不清楚的数字。解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构，以及配方法的逆运用。
【解析】
先将配方后的方程$(x - m)^2 =5$展开，可得：
$x^2 - 2mx + m^2 = 5$
对比原方程$x^2 -4x +1 = □$的一次项系数，可得$-2m = -4$，解得$m=2$。
将$m=2$代入展开后的式子，得：
$x^2 -4x + 2^2 =5$，即$x^2 -4x +4 =5$
对该式变形：等式两边同时减3，可得$x^2 -4x +1 =2$，因此印刷不清楚的数是2。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题考查配方法的逆用，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过系数对应求出参数m是解题的关键，整体属于一元二次方程配方的基础应用，掌握配方法的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5[2024 内蒙古赤峰中考]等腰三角形的两边长分别是方程$x^2 -10x +21=0$的两个根，则这个三角形的周长为（
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
C
）A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
答案
【解析】$x^2-10x+21=0$,$(x-3)(x-7)=0$,解得 $x_1=3$,$x_2=7$. 当等腰三角形的三边长分别是 3,3,7 时,$3+3＜7$,不符合三角形的三边关系,舍去;当等腰三角形的三边长分别是 7,7,3 时,这个三角形的周长是 $7+7+3=17$. 故选 C.
解析
【分析】
解决本题可按三步思路推导：第一步先求解一元二次方程，得到等腰三角形已知两边的长度；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为3、底为7和腰长为7、底为3两种情况分类讨论；第三步对每种情况的三边长验证是否满足三角形三边关系，不符合的情况舍去，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
先解方程$x^2 -10x +21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$。
分情况讨论：
①当等腰三角形的三边长为3、3、7时，$3+3=6＜7$，不符合三角形三边关系，该情况舍去；
②当等腰三角形的三边长为7、7、3时，满足三角形三边关系，此时周长为$7+7+3=17$。
综上，这个三角形的周长为17，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何结合的常规题型，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是求解边长后忽略验证三角形三边关系，导致误选包含错误情况的选项，解题时要注意对分类结果的合理性验证。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思路推导：第一步先求解一元二次方程，得到等腰三角形已知两边的长度；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为3、底为7和腰长为7、底为3两种情况分类讨论；第三步对每种情况的三边长验证是否满足三角形三边关系，不符合的情况舍去，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
先解方程$x^2 -10x +21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$。
分情况讨论：
①当等腰三角形的三边长为3、3、7时，$3+3=6＜7$，不符合三角形三边关系，该情况舍去；
②当等腰三角形的三边长为7、7、3时，满足三角形三边关系，此时周长为$7+7+3=17$。
综上，这个三角形的周长为17，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何结合的常规题型，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是求解边长后忽略验证三角形三边关系，导致误选包含错误情况的选项，解题时要注意对分类结果的合理性验证。
【难度系数】
0.7
6[2025河北保定校级质检]关于$x$的方程$m(x+h)^2 +k=0$($m,h,k$均为常数，$m≠0$)的解是$x_1=-3$，$x_2=2$，则方程$m(x+h-3)^2 +k=0$的解是（
A.$x_1=-6,x_2=-1$
B.$x_1=0,x_2=5$
C.$x_1=-3,x_2=5$
D.$x_1=-6,x_2=2$
B
）A.$x_1=-6,x_2=-1$
B.$x_1=0,x_2=5$
C.$x_1=-3,x_2=5$
D.$x_1=-6,x_2=2$
答案
【解析】把方程 $m(x+h-3)^2+k=0$ 看成关于 $(x-3)$ 的一元二次方程. $\because$ 关于 $x$ 的方程 $m(x+h)^2+k=0$($m,h,k$ 均为常数,$m≠0$) 的解是 $x_1=-3$,$x_2=2$,$\therefore x-3=-3$ 或 $x-3=2$,$\therefore x=0$ 或 $x=5$,即方程 $m(x+h-3)^2+k=0$ 的解是 $x_1=0$,$x_2=5$. 故选 B.
解析
【分析】本题可通过观察两个方程的结构特征，利用整体代换思想求解。两个方程形式完全一致，仅第二个方程中x的位置被替换为(x-3)，因此无需计算m、h、k的具体值，只需将(x-3)看作第一个方程中的未知数x，结合已知的第一个方程的解，即可列出关于x的等式求出新方程的解。
【解析】将方程 $m(x+h-3)^2+k=0$ 变形为 $m[(x-3)+h]^2 +k=0$，可将其看作关于 $(x-3)$ 的一元二次方程。
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $m(x+h)^2 +k=0$（$m,h,k$ 均为常数，$m≠0$）的解是 $x_1=-3$，$x_2=2$，
$\therefore$ 可得 $x-3=-3$ 或 $x-3=2$，
分别解得 $x=0$ 或 $x=5$，即方程 $m(x+h-3)^2 +k=0$ 的解是 $x_1=0$，$x_2=5$。
故选：B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解；整体换元思想
【点评】本题重点考查方程解的定义和整体代换的解题思路，通过对比两个方程的结构特点，跳过参数计算直接求解，能大幅提升解题效率，是方程类题型的常用解题技巧。
【难度系数】0.75
【解析】将方程 $m(x+h-3)^2+k=0$ 变形为 $m[(x-3)+h]^2 +k=0$，可将其看作关于 $(x-3)$ 的一元二次方程。
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $m(x+h)^2 +k=0$（$m,h,k$ 均为常数，$m≠0$）的解是 $x_1=-3$，$x_2=2$，
$\therefore$ 可得 $x-3=-3$ 或 $x-3=2$，
分别解得 $x=0$ 或 $x=5$，即方程 $m(x+h-3)^2 +k=0$ 的解是 $x_1=0$，$x_2=5$。
故选：B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解；整体换元思想
【点评】本题重点考查方程解的定义和整体代换的解题思路，通过对比两个方程的结构特点，跳过参数计算直接求解，能大幅提升解题效率，是方程类题型的常用解题技巧。
【难度系数】0.75
7[2026江苏宿迁期中]若关于$x$的方程$x^2 -4ax +3a^2=0$有两个互不相等的实数根$x_1,x_2$，且满足$x_1＜6＜x_2$，则所有可能的整数$a$的和是（
A.3
B.7
C.12
D.18
C
）A.3
B.7
C.12
D.18
答案
【解析】$x^2-4ax+3a^2=0$,$(x-3a)(x-a)=0$,$x-3a=0$ 或 $x-a=0$. 当 $a＜0$ 时,$x_1=3a$,$x_2=a$,不符合 $x_1＜6＜x_2$,舍去;当 $a＞0$ 时,$x_1=a$,$x_2=3a$,$\because x_1＜6＜x_2$,$\therefore a＜6＜3a$,解得 $2＜a＜6$,$\therefore$ 整数 $a$ 为 3,4,5,$\therefore$ 所有可能的整数 $a$ 的和为 $3+4+5=12$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察一元二次方程的左边，可通过十字相乘法因式分解求出两个根的表达式；再结合两根互不相等的条件，分类讨论a的正负判断两根的大小，排除不符合$x_1＜6＜x_2$的情况；随后根据根的大小关系列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围；最后找出范围内的整数a，求和即可得到结果。
【解析】
先对一元二次方程因式分解：
$x^2-4ax+3a^2=0$
$(x-3a)(x-a)=0$
解得$x=3a$或$x=a$。
∵方程有两个互不相等的实数根，
∴$3a≠a$，即$a≠0$。
①当$a＜0$时，$3a＜a$，此时$x_1=3a$，$x_2=a$，两根均为负数，不可能满足$6＜x_2$，舍去；
②当$a＞0$时，$a＜3a$，此时$x_1=a$，$x_2=3a$，结合$x_1＜6＜x_2$可得不等式组：
$\begin{cases}a＜6 \\3a＞6\end{cases}$
解得$2＜a＜6$。
则符合条件的整数a为3、4、5，它们的和为$3+4+5=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程与不等式的综合题，解题核心是先求出方程的根，再结合根的取值限制列不等式求解，需要注意分类讨论a的正负对两根大小关系的影响，避免因忽略分类导致列式错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察一元二次方程的左边，可通过十字相乘法因式分解求出两个根的表达式；再结合两根互不相等的条件，分类讨论a的正负判断两根的大小，排除不符合$x_1＜6＜x_2$的情况；随后根据根的大小关系列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围；最后找出范围内的整数a，求和即可得到结果。
【解析】
先对一元二次方程因式分解：
$x^2-4ax+3a^2=0$
$(x-3a)(x-a)=0$
解得$x=3a$或$x=a$。
∵方程有两个互不相等的实数根，
∴$3a≠a$，即$a≠0$。
①当$a＜0$时，$3a＜a$，此时$x_1=3a$，$x_2=a$，两根均为负数，不可能满足$6＜x_2$，舍去；
②当$a＞0$时，$a＜3a$，此时$x_1=a$，$x_2=3a$，结合$x_1＜6＜x_2$可得不等式组：
$\begin{cases}a＜6 \\3a＞6\end{cases}$
解得$2＜a＜6$。
则符合条件的整数a为3、4、5，它们的和为$3+4+5=12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式的整数解
【点评】
本题是一元二次方程与不等式的综合题，解题核心是先求出方程的根，再结合根的取值限制列不等式求解，需要注意分类讨论a的正负对两根大小关系的影响，避免因忽略分类导致列式错误。
【难度系数】
0.6
8[2026浙江台州期中]对于一元二次方程,我国古代数学家曾研究过其几何解法.以方程$x(x+6)=72$为例加以说明.如图,
,将四个长为$x+6$,宽为$x$的长方形拼成一个大正方形,则大正方形的边长是$x+6+x$,面积是四个长方形的面积与中间小正方形的面积之和,即$4×72+6^2$,据此易得$x=\frac{18-6}{2}=6$.小明用此方法解关于$x$的方程$x(3x-n)=24$,其中$3x-n＞x$,构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则$n$的值为 (
A.2
B.4
C.6
D.8
,将四个长为$x+6$,宽为$x$的长方形拼成一个大正方形,则大正方形的边长是$x+6+x$,面积是四个长方形的面积与中间小正方形的面积之和,即$4×72+6^2$,据此易得$x=\frac{18-6}{2}=6$.小明用此方法解关于$x$的方程$x(3x-n)=24$,其中$3x-n＞x$,构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则$n$的值为 (C
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
【解析】由题意可知,将四个长为 $3x-n$,宽为 $x$ 的长方形拼成一个大正方形,则大正方形的边长是 $3x-n+x$,面积是四个长方形的面积与中间小正方形的面积之和. $\because x(3x-n)=24$,小正方形的面积为 4,$\therefore$ 大正方形的面积为 $4×24+4=100$,$\therefore$ 大正方形的边长为 10,$\therefore 3x-n+x=4x-n=10$,$\therefore n=4x-10$. $\because$ 小正方形的边长为 $3x-n-x=2x-n=2x-(4x-10)=10-2x$,$\therefore (10-2x)^2=4$,$\therefore 10-2x=\pm2$. $\because 10-2x＞0$,$\therefore 10-2x=2$,$\therefore x=4$,$\therefore n=4×4-10=6$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要明确几何拼接的对应关系：四个相同的长方形拼成大正方形时，大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，中间小正方形的边长=长方形的长-长方形的宽。解题步骤可分为：①先根据已知的单个长方形面积和小正方形面积，求出大正方形的总面积，进而得到大正方形的边长，得到长+宽的表达式；②再根据小正方形面积得到小正方形边长，得到长-宽的表达式；③联立两个表达式求解x的值，最后代入求出n的值即可。
【解析】
解：由题意可知，长方形的长为$3x-n$，宽为$x$。
1. 求大正方形面积与边长：
每个长方形面积为$x(3x-n)=24$，小正方形面积为4，因此大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，即：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×24 + 4=100$
因为大正方形边长为正数，所以大正方形边长为$\sqrt{100}=10$。
又因为大正方形边长=长方形长+长方形宽，即$(3x-n)+x=4x-n$，因此可得：
$4x-n=10$，整理得$n=4x-10$ ①
2. 结合小正方形边长列方程：
小正方形边长=长方形长-长方形宽，即$(3x-n)-x=2x-n$，已知小正方形面积为4，因此：
$(2x-n)^2=4$
将①代入上式得：$(2x-(4x-10))^2=(10-2x)^2=4$
因为$3x-n＞x$，即小正方形边长$2x-n＞0$，所以$10-2x＞0$，因此开方得：
$10-2x=2$，解得$x=4$
3. 求n的值：
将$x=4$代入①得：$n=4×4 -10=6$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代一元二次方程的几何解法命题，需要准确梳理拼接图形中边长、面积的对应关系，将几何条件转化为代数方程求解，既考察了方程计算能力，也体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确几何拼接的对应关系：四个相同的长方形拼成大正方形时，大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，中间小正方形的边长=长方形的长-长方形的宽。解题步骤可分为：①先根据已知的单个长方形面积和小正方形面积，求出大正方形的总面积，进而得到大正方形的边长，得到长+宽的表达式；②再根据小正方形面积得到小正方形边长，得到长-宽的表达式；③联立两个表达式求解x的值，最后代入求出n的值即可。
【解析】
解：由题意可知，长方形的长为$3x-n$，宽为$x$。
1. 求大正方形面积与边长：
每个长方形面积为$x(3x-n)=24$，小正方形面积为4，因此大正方形面积=4个长方形面积+小正方形面积，即：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×24 + 4=100$
因为大正方形边长为正数，所以大正方形边长为$\sqrt{100}=10$。
又因为大正方形边长=长方形长+长方形宽，即$(3x-n)+x=4x-n$，因此可得：
$4x-n=10$，整理得$n=4x-10$ ①
2. 结合小正方形边长列方程：
小正方形边长=长方形长-长方形宽，即$(3x-n)-x=2x-n$，已知小正方形面积为4，因此：
$(2x-n)^2=4$
将①代入上式得：$(2x-(4x-10))^2=(10-2x)^2=4$
因为$3x-n＞x$，即小正方形边长$2x-n＞0$，所以$10-2x＞0$，因此开方得：
$10-2x=2$，解得$x=4$
3. 求n的值：
将$x=4$代入①得：$n=4×4 -10=6$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，正方形面积计算，数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代一元二次方程的几何解法命题，需要准确梳理拼接图形中边长、面积的对应关系，将几何条件转化为代数方程求解，既考察了方程计算能力，也体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
9[2025宁夏银川期末]若关于x的一元二次方程$2x^2+(k+9)x-(2k-3)=0$的二次项系数、一次项系数、常数项之和是0,则k=
9[2025宁夏银川期末]若关于x的一元二次方程$2x^2+(k+9)x-(2k-3)=0$的二次项系数、一次项系数、常数项之和是0,则k=
14
.答案
【解析】根据题意,得 $2+k+9-(2k-3)=0$,解得 $k=14$.
解析
【分析】
解题时首先要准确识别一元二次方程的各项系数：二次项系数是x²项前面的数字，一次项系数是x项前面的数字（包含符号），常数项是不含未知数的项（包含符号）。本题先分别找出该方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据“三者之和为0”的条件列出关于k的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤计算即可，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【解析】
由一元二次方程的定义可知，该方程的二次项系数为2，一次项系数为$k+9$，常数项为$-(2k-3)$。
根据题意，三项系数之和为0，可列方程：
$2 + (k+9) - (2k-3) = 0$
去括号得：$2 + k + 9 - 2k + 3 = 0$
合并同类项得：$14 - k = 0$
解得：$k = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，易错点是容易忽略常数项的符号，掌握基本概念和一元一次方程解法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确识别一元二次方程的各项系数：二次项系数是x²项前面的数字，一次项系数是x项前面的数字（包含符号），常数项是不含未知数的项（包含符号）。本题先分别找出该方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据“三者之和为0”的条件列出关于k的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤计算即可，计算时要注意去括号的符号规则，避免符号错误。
【解析】
由一元二次方程的定义可知，该方程的二次项系数为2，一次项系数为$k+9$，常数项为$-(2k-3)$。
根据题意，三项系数之和为0，可列方程：
$2 + (k+9) - (2k-3) = 0$
去括号得：$2 + k + 9 - 2k + 3 = 0$
合并同类项得：$14 - k = 0$
解得：$k = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的项与系数；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，易错点是容易忽略常数项的符号，掌握基本概念和一元一次方程解法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
10 新考向 开放性试题 已知关于x的一元二次方程$x^2 -2x +k=0$有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的k的值:
-1(答案不唯一)
.答案
【解析】$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+k=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(-2)^2-4k=4-4k＞0$,解得 $k＜1$. 故答案为-1(答案不唯一).
解析
【分析】
解决本题的核心是利用一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系求解参数范围。首先回忆：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先从给定方程中提取$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围后，在范围内任选一个数值即为符合要求的答案。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta＞0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得$\Delta=(-2)^2-4×1× k=4-4k＞0$，
解得$k＜1$。
只需选取小于1的数即可，例如$k=-1$（答案不唯一）。
【答案】
-1（答案不唯一，小于1即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对一元二次方程根的判别式的理解与应用，只要掌握根的个数和判别式的对应关系，正确求解不等式就能顺利解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用一元二次方程根的个数与根的判别式的对应关系求解参数范围。首先回忆：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们先从给定方程中提取$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围后，在范围内任选一个数值即为符合要求的答案。
【解析】
$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta＞0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=k$，
代入得$\Delta=(-2)^2-4×1× k=4-4k＞0$，
解得$k＜1$。
只需选取小于1的数即可，例如$k=-1$（答案不唯一）。
【答案】
-1（答案不唯一，小于1即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于开放性基础题，考查对一元二次方程根的判别式的理解与应用，只要掌握根的个数和判别式的对应关系，正确求解不等式就能顺利解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
11 如图，一条长64 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形. 若两个正方形的面积和等于160 cm²，则其中较小正方形的边长为
cm.
cm.答案
【解析】设一个正方形的边长为 $x$ cm. $\because$ 正方形的四边相等,$\therefore$ 此正方形的周长是 $4x$ cm,另一个正方形的边长是 $\frac{64-4x}{4}$ cm. 根据题意得 $x^2 + (\frac{64-4x}{4})^2 = 160$,解得 $x_1=12$,$x_2=4$. 当 $x=12$ 时,$\frac{64-4x}{4}=4$;当 $x=4$ 时,$\frac{64-4x}{4}=12$. $\therefore$ 两个正方形的边长为 4 cm 和 12 cm,其中较小正方形的边长为 4 cm. 故答案为 4.
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的两个等量关系：①两个正方形的周长总和为64cm；②两个正方形的面积之和为160cm²。我们可以先设其中一个正方形的边长为$x$ cm，根据正方形周长公式可得其周长为$4x$ cm，那么另一段铁丝的长度就是$(64-4x)$ cm，对应正方形的边长就是$\frac{64-4x}{4}$ cm，再根据面积和的等量关系列出一元二次方程，求解后得到两个边长，取较小值即可。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$x$ cm，根据正方形四边相等的性质，该正方形的周长为$4x$ cm，则另一段铁丝折成的正方形的边长为$\frac{64-4x}{4}$ cm。
根据两个正方形的面积和等于160 cm²，列方程得：
$x^2 + (\frac{64-4x}{4})^2 = 160$
化简方程：
$x^2 + (16-x)^2 = 160$
展开得：$x^2 + 256 -32x +x^2 =160$
整理得：$x^2 -16x +48=0$
因式分解得：$(x-12)(x-4)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=4$。
当$x=12$时，另一个正方形边长为$\frac{64-4×12}{4}=4$ cm；
当$x=4$时，另一个正方形边长为$\frac{64-4×4}{4}=12$ cm。
因此两个正方形的边长分别为4 cm和12 cm，较小正方形的边长为4 cm。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是准确找到周长和、面积和两个等量关系列方程，求解后要结合题目要求筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目中的两个等量关系：①两个正方形的周长总和为64cm；②两个正方形的面积之和为160cm²。我们可以先设其中一个正方形的边长为$x$ cm，根据正方形周长公式可得其周长为$4x$ cm，那么另一段铁丝的长度就是$(64-4x)$ cm，对应正方形的边长就是$\frac{64-4x}{4}$ cm，再根据面积和的等量关系列出一元二次方程，求解后得到两个边长，取较小值即可。
【解析】
设其中一个正方形的边长为$x$ cm，根据正方形四边相等的性质，该正方形的周长为$4x$ cm，则另一段铁丝折成的正方形的边长为$\frac{64-4x}{4}$ cm。
根据两个正方形的面积和等于160 cm²，列方程得：
$x^2 + (\frac{64-4x}{4})^2 = 160$
化简方程：
$x^2 + (16-x)^2 = 160$
展开得：$x^2 + 256 -32x +x^2 =160$
整理得：$x^2 -16x +48=0$
因式分解得：$(x-12)(x-4)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=4$。
当$x=12$时，另一个正方形边长为$\frac{64-4×12}{4}=4$ cm；
当$x=4$时，另一个正方形边长为$\frac{64-4×4}{4}=12$ cm。
因此两个正方形的边长分别为4 cm和12 cm，较小正方形的边长为4 cm。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，解题关键是准确找到周长和、面积和两个等量关系列方程，求解后要结合题目要求筛选符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
12[2026江西宜春期末]已知$m,n$是方程$x^2 + 3x - 2023 = 0$的两根，则$m^2 + 4m + mn + n$的值是
-3
.答案
【解析】$\because m,n$ 是方程 $x^2+3x-2023=0$ 的两根,$\therefore m^2+3m-2023=0$,即 $m^2+3m=2023$,$m+n=-3$,$mn=-2023$,$\therefore m^2+4m+mn+n=(m^2+3m)+(m+n)+mn=2023+(-3)+(-2023)=-3$. 故答案为-3.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题，首先可根据方程根的定义，将根代入原方程得到对应等式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后观察所求代数式的结构，将其拆分为包含上述已知式子的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
$\because m,n$ 是方程 $x^2+3x-2023=0$ 的两根，
$\therefore$ 根据方程根的定义得：$m^2+3m-2023=0$，即 $m^2+3m=2023$，
根据根与系数的关系得：$m+n=-3$，$mn=-2023$，
$\therefore m^2+4m+mn+n=(m^2+3m)+(m+n)+mn=2023+(-3)+(-2023)=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，解题核心是合理拆分所求代数式，采用整体代入的思路计算，避免求解m、n的具体值，减少计算量，同时要注意根与系数关系中各项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
遇到已知一元二次方程两根求代数式值的问题，首先可根据方程根的定义，将根代入原方程得到对应等式，再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后观察所求代数式的结构，将其拆分为包含上述已知式子的形式，整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
$\because m,n$ 是方程 $x^2+3x-2023=0$ 的两根，
$\therefore$ 根据方程根的定义得：$m^2+3m-2023=0$，即 $m^2+3m=2023$，
根据根与系数的关系得：$m+n=-3$，$mn=-2023$，
$\therefore m^2+4m+mn+n=(m^2+3m)+(m+n)+mn=2023+(-3)+(-2023)=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合应用，解题核心是合理拆分所求代数式，采用整体代入的思路计算，避免求解m、n的具体值，减少计算量，同时要注意根与系数关系中各项的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
13[2026吉林长春质检]如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。以下关于“倍根方程”的说法，正确的有
①方程$x^2 - x - 2 = 0$是“倍根方程”；②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是“倍根方程”，则$4m^2 + 5mn + n^2 = 0$；③若$p,q$满足$pq = 2$，则关于$x$的方程$px^2 + 3x + q = 0$是“倍根方程”；④若方程$ax^2 + bx + c = 0$是“倍根方程”，则必有$2b^2 = 9ac$。
②③④
(填序号)。①方程$x^2 - x - 2 = 0$是“倍根方程”；②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是“倍根方程”，则$4m^2 + 5mn + n^2 = 0$；③若$p,q$满足$pq = 2$，则关于$x$的方程$px^2 + 3x + q = 0$是“倍根方程”；④若方程$ax^2 + bx + c = 0$是“倍根方程”，则必有$2b^2 = 9ac$。
答案
【解析】①$\because x^2-x-2=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=-1$. $\because x_1≠2x_2$,$\therefore$ 方程 $x^2-x-2=0$ 不是“倍根方程”,故①不正确,不符合题意. ②$\because (x-2)(mx+n)=0$ 是“倍根方程”,且 $x_1=2$,$\therefore x_2=1$ 或 $x_2=4$. 当 $x_2=1$ 时,$m+n=0$;当 $x_2=4$ 时,$4m+n=0$,$\therefore 4m^2+5mn+n^2=(m+n)(4m+n)=0$,故②正确,符合题意. ③$\because pq=2$,$\therefore px^2+3x+q=(px+1)(x+q)=0$,$\therefore x_1=-\frac{1}{p}$,$x_2=-q$,$\therefore x_2=-q=-\frac{2}{p}=2x_1$,因此 $px^2+3x+q=0$ 是“倍根方程”,故③正确,符合题意. ④方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,若 $x_1=2x_2$,则 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = 2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,即 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} - 2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,$\therefore \frac{b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,$\therefore b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,$\therefore 3\sqrt{b^2-4ac}=-b$,$\therefore 9(b^2-4ac)=b^2$,$\therefore 2b^2=9ac$;若 $2x_1=x_2$,则 $2×\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$\therefore \frac{-b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,$\therefore -b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,$\therefore b=3\sqrt{b^2-4ac}$,$\therefore b^2=9(b^2-4ac)$,$\therefore 2b^2=9ac$,故④正确,符合题意. 故答案为②③④.
解析
【分析】
解题首先要明确“倍根方程”的定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则为倍根方程。我们逐个分析四个说法：①先解出方程的两个根，直接判断是否满足2倍关系；②先求出已知方程的一个根为2，结合倍根定义得到另一个根的两种可能，再推导m、n的关系，验证代数式是否为0；③已知pq=2，将方程因式分解求出两根，验证两根是否满足2倍关系；④利用求根公式表示出方程的两根，分两种倍根情况推导系数关系，验证结论是否成立。
【解析】
①解方程$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，两个根不存在2倍关系，因此该方程不是“倍根方程”，故①错误。
②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是“倍根方程”，已知一个根为$x_1=2$，则另一个根为$x_2=1$或$x_2=4$：当$x_2=1$时，代入$mx+n=0$得$m+n=0$；当$x_2=4$时，代入得$4m+n=0$。而$4m^2 + 5mn + n^2=(m+n)(4m+n)$，因此值为0，故②正确。
③已知$pq=2$，将方程$px^2 + 3x + q = 0$因式分解得$(px+1)(x+q)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{p}$，$x_2=-q$，结合$pq=2$得$x_2=-q=-\frac{2}{p}=2×(-\frac{1}{p})=2x_1$，满足倍根关系，因此该方程是“倍根方程”，故③正确。
④若方程$ax^2 + bx + c = 0$是倍根方程，设两根为$x_1$、$x_2$，分两种情况：
情况1：$x_1=2x_2$，由求根公式得$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简得$b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$，两边平方整理得$2b^2=9ac$；
情况2：$2x_1=x_2$，即$2×\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简得$-b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$，两边平方整理仍得$2b^2=9ac$。因此必有$2b^2=9ac$，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解方程；根与系数的关系
【点评】
本题是新定义类题型，核心是准确理解“倍根方程”的定义，结合一元二次方程的求解、系数与根的关系等知识逐一判断，考查对新概念的应用能力和代数推理能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确“倍根方程”的定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则为倍根方程。我们逐个分析四个说法：①先解出方程的两个根，直接判断是否满足2倍关系；②先求出已知方程的一个根为2，结合倍根定义得到另一个根的两种可能，再推导m、n的关系，验证代数式是否为0；③已知pq=2，将方程因式分解求出两根，验证两根是否满足2倍关系；④利用求根公式表示出方程的两根，分两种倍根情况推导系数关系，验证结论是否成立。
【解析】
①解方程$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，两个根不存在2倍关系，因此该方程不是“倍根方程”，故①错误。
②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是“倍根方程”，已知一个根为$x_1=2$，则另一个根为$x_2=1$或$x_2=4$：当$x_2=1$时，代入$mx+n=0$得$m+n=0$；当$x_2=4$时，代入得$4m+n=0$。而$4m^2 + 5mn + n^2=(m+n)(4m+n)$，因此值为0，故②正确。
③已知$pq=2$，将方程$px^2 + 3x + q = 0$因式分解得$(px+1)(x+q)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{p}$，$x_2=-q$，结合$pq=2$得$x_2=-q=-\frac{2}{p}=2×(-\frac{1}{p})=2x_1$，满足倍根关系，因此该方程是“倍根方程”，故③正确。
④若方程$ax^2 + bx + c = 0$是倍根方程，设两根为$x_1$、$x_2$，分两种情况：
情况1：$x_1=2x_2$，由求根公式得$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简得$b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$，两边平方整理得$2b^2=9ac$；
情况2：$2x_1=x_2$，即$2×\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，化简得$-b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$，两边平方整理仍得$2b^2=9ac$。因此必有$2b^2=9ac$，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解方程；根与系数的关系
【点评】
本题是新定义类题型，核心是准确理解“倍根方程”的定义，结合一元二次方程的求解、系数与根的关系等知识逐一判断，考查对新概念的应用能力和代数推理能力。
【难度系数】
0.6
