5. 如图,已知点 E 在△ABC 的外部,点 D 在 BC边上,DE 交 AC 于点 F.若 ∠1 = ∠2 = ∠3,AC = AE,则有 ()


A.△ABD≌△AFD
B.△AFE≌△ADC
C.△AEF≌△DFC
D.△ABC≌△ADE

D $\because ∠ 1 = ∠ 2$,$\therefore ∠ 1 + ∠ DAC = ∠ 2 + ∠ DAC$,即$∠ BAC = ∠ DAE$. $\because ∠ 2 = ∠ 3$,$∠ AFE = ∠ DFC$,$\therefore ∠ E = ∠ C$. 在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} ∠ BAC = ∠ DAE, \\ AC = AE, \\ ∠ C = ∠ E, \end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$.

【分析】
要判断哪组三角形全等，需从已知的等角、等边条件入手推导：第一步，由∠1=∠2，两角同时加公共角∠DAC，可得到∠BAC=∠DAE；第二步，已知∠2=∠3，结合对顶角∠AFE=∠DFC，根据三角形内角和为180°，可推出∠E=∠C；第三步，结合已知AC=AE，观察选项可知△ABC和△ADE恰好满足全等判定条件，其余选项无足够的对应边、对应角相等的依据，无法判定全等。
【解析】
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠DAC = ∠2 + ∠DAC，即∠BAC = ∠DAE。
∵ ∠2 = ∠3，∠AFE = ∠DFC（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠E = 180°-∠2-∠AFE，∠C = 180°-∠3-∠DFC，
∴ ∠E = ∠C。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}∠BAC = ∠DAE, \\AC = AE, \\∠C = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC≌△ADE（ASA）。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形ASA判定，角的和差计算，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题核心是通过已知等角进行等量代换，推导出全等判定所需的对应角相等，做题时要注意挖掘图形中公共角、对顶角等隐含条件。
【难度系数】
0.7

6. 一题多解 如图,已知$AB// DE$,$AC=DF$,$∠ CFB=∠ FCE$.求证:$AB=DE$.

通解 $\because ∠ CFB = ∠ FCE$,$\therefore ∠ AFB = ∠ DCE$.
$\because AB// DE$,$\therefore ∠ A = ∠ D$.
$\because AC = DF$,$\therefore AC - FC = DF - FC$,即$AF = CD$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,$\begin{cases} ∠ A = ∠ D, \\ AF = DC, \\ ∠ AFB = ∠ DCE, \end{cases}$
$\therefore △ AFB≌△ DCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB = DE$.
另解 $\because AB// DE$,$\therefore ∠ A = ∠ D$.
$\because ∠ CFB = ∠ FCE$,$∠ CFB = ∠ A + ∠ ABF$,
$∠ FCE = ∠ D + ∠ DEC$,
$\therefore ∠ ABF = ∠ DEC$.
$\because AC = DF$,$\therefore AC - FC = DF - FC$,即$AF = DC$.
在$△ AFB$和$△ DCE$中,$\begin{cases} ∠ A = ∠ D, \\ ∠ ABF = ∠ DEC, \\ AF = DC, \end{cases}$
$\therefore △ AFB≌△ DCE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB = DE$.

【分析】
要证明线段$AB=DE$，可通过证明两条线段所在的$△ AFB$与$△ DCE$全等来实现。解题时先从已知条件逐步推导全等需要的边角条件：①由$AB// DE$，利用平行线的性质可得一组对应角相等；②由$AC=DF$，同时减去公共线段$FC$，可得到一组对应边相等；③结合给出的$∠CFB=∠FCE$，既可以利用邻补角的性质得到另一组对应角相等，用ASA判定全等，也可以利用三角形外角的性质推出另一组对应角相等，用AAS判定全等，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
通解（ASA判定）
$\because ∠CFB = ∠FCE$，$∠AFB+∠CFB=180°$，$∠DCE+∠FCE=180°$，$\therefore ∠AFB = ∠DCE$。
$\because AB// DE$，$\therefore ∠A = ∠D$（两直线平行，同位角相等）。
$\because AC = DF$，$\therefore AC - FC = DF - FC$，即$AF = CD$。
在$△ AFB$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠A = ∠D, \\ AF = DC, \\ ∠AFB = ∠DCE, \end{cases}$
$\therefore △ AFB≌△ DCE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB = DE$（全等三角形对应边相等）。
另解（AAS判定）
$\because AB// DE$，$\therefore ∠A = ∠D$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠CFB$是$△ AFB$的外角，$\therefore ∠CFB = ∠A + ∠ABF$；
同理$∠FCE$是$△ DCE$的外角，$\therefore ∠FCE = ∠D + ∠DEC$。
又$\because ∠CFB = ∠FCE$，$\therefore ∠ABF = ∠DEC$。
$\because AC = DF$，$\therefore AC - FC = DF - FC$，即$AF = DC$。
在$△ AFB$和$△ DCE$中，
$\begin{cases} ∠A = ∠D, \\ ∠ABF = ∠DEC, \\ AF = DC, \end{cases}$
$\therefore △ AFB≌△ DCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB = DE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AB=DE$，得证。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型应用类题目，核心是通过证明三角形全等来推导对应边相等，解题时要善于挖掘邻补角、公共线段等隐含条件，同时可以从不同角度寻找全等判定的条件，锻炼一题多解的思维能力。
【难度系数】
0.7

7. 以△ABC的边AB,AC为边作△ABD和△ACE，且AE=AB,AC=AD,CE与BD相交于点M，∠EAB=∠CAD=α.
(1)如图1,求证:△AEC≅△ABD;
(2)在图1中∠EMB=;(用含α的式子表示)
(3)如图2,若α=50°,G,H分别是EC,BD的中点,连接GH,AH,求∠AHG的度数.

(1)证明:$\because ∠ EAB = ∠ CAD = α$,$\therefore ∠ EAC = ∠ BAD$.
在$△ AEC$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AE = AB, \\ ∠ EAC = ∠ BAD, \\ AC = AD, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ABD(\mathrm{SAS})$.
(2)$α$ 设$AB$交$CE$于点$L$. 由(1)知$△ AEC≌△ ABD$,
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABD$,$\therefore ∠ EMB = ∠ ELB - ∠ ABD = ∠ ELB - ∠ AEC = ∠ EAB = α$.
(3)解:如图,连接$AG$.
由(1)知$△ AEC≌△ ABD$,$\therefore ∠ AEG = ∠ ABH$,$EC = BD$.
$\because G,H$分别是$EC$,$BD$的中点,
$\therefore EG = BH$.

在$△ AEG$和$△ ABH$中,$\begin{cases} AE = AB, \\ ∠ AEG = ∠ ABH, \\ EG = BH, \end{cases}$
$\therefore △ AEG≌△ ABH(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AG = AH$,$∠ EAG = ∠ BAH$,
$\therefore ∠ GAH = ∠ GAB + ∠ BAH = ∠ GAB + ∠ EAG = ∠ EAB = α = 50°$.
又$\because AG = AH$,$\therefore ∠ AHG = 65°$.

【分析】
(1) 要证明△AEC≅△ABD，已知两组对应边相等：AE=AB、AC=AD，只需证明两边的夹角相等即可。由已知∠EAB=∠CAD，两个角同时加公共角∠BAC，即可得到夹角∠EAC=∠BAD，满足SAS全等判定条件。
(2) 求∠EMB的度数，可利用(1)中全等得到的对应角∠AEC=∠ABD，再结合三角形外角的性质，将∠EMB转化为已知角∠EAB，即可得出结果。
(3) 求∠AHG的度数，先由(1)的全等得EC=BD、∠AEG=∠ABH，结合G、H是中点可推出EG=BH，进而证明△AEG≅△ABH，得到AG=AH且∠GAH=∠EAB=α，最后利用等腰三角形底角相等的性质计算∠AHG即可。
【解析】
(1)证明:$\because ∠ EAB = ∠ CAD = α$,$\therefore ∠ EAC = ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC = ∠ BAD$.
在$△ AEC$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AE = AB, \\ ∠ EAC = ∠ BAD, \\ AC = AD, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ABD(\mathrm{SAS})$.
(2)设$AB$交$CE$于点$L$. 由(1)知$△ AEC≌△ ABD$,
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABD$,
根据三角形外角性质，$∠ELB$是$△ EAL$的外角，故$∠ELB = ∠AEC + ∠EAB$；同时$∠ELB$也是$△ MBL$的外角，故$∠ELB = ∠ABD + ∠EMB$，
$\therefore ∠ AEC + ∠EAB = ∠ABD + ∠EMB$，代入$∠ AEC = ∠ ABD$，可得$∠EMB = ∠EAB = α$.
(3)解:如图,连接$AG$.

由(1)知$△ AEC≌△ ABD$,$\therefore ∠ AEG = ∠ ABH$,$EC = BD$.
$\because G,H$分别是$EC$,$BD$的中点,
$\therefore EG = \frac{1}{2}EC$，$BH = \frac{1}{2}BD$，即$EG = BH$.
在$△ AEG$和$△ ABH$中,$\begin{cases} AE = AB, \\ ∠ AEG = ∠ ABH, \\ EG = BH, \end{cases}$
$\therefore △ AEG≌△ ABH(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AG = AH$,$∠ EAG = ∠ BAH$,
$\therefore ∠ GAH = ∠ GAB + ∠ BAH = ∠ GAB + ∠ EAG = ∠ EAB = α = 50°$.
又$\because AG = AH$，$△ AGH$是等腰三角形，
$\therefore ∠ AHG = \frac{180° - ∠GAH}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°$.
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\boldsymbol{α}$；
(3) $\boldsymbol{65°}$，辅助线如下：
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 角度和差计算
【点评】
本题属于三角形全等的综合应用题型，解题核心是通过已知条件推导全等的判定要素，利用全等实现边、角关系的转化，第三问构造全等得到等腰三角形是解题的突破口，能够较好地考察学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6