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9.已知$A(x_1,2026),B(x_2,2026)$是二次函数$y=a(x+h)^2(a≠0)$图象上不同的两点,则当$x=\frac{1}{2}(x_1+x_2)$时,$y=$ (
A.$\frac{2h^2}{a}$
B.$0$
C.$2026$
D.无法确定
B
)A.$\frac{2h^2}{a}$
B.$0$
C.$2026$
D.无法确定
答案
9. B
10. 已知点$A(-3,y_1),B(-2,y_2),C(1,y_3)$都在二次函数$y=a(x-1)^2(a＞0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
A
）A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
10. A
变式训练
点在对称轴同侧→点在对称轴异侧
已知点$A(-4,y_{1}),B(-3,y_{2}),C(3,y_{3})$在抛物线$y=2(x+2)^{2}$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为
点在对称轴同侧→点在对称轴异侧
已知点$A(-4,y_{1}),B(-3,y_{2}),C(3,y_{3})$在抛物线$y=2(x+2)^{2}$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为
$y_2＜y_1＜y_3$
.(用“＜”连接)答案
【变式训练】$y_2＜y_1＜y_3$
11. 关于x的两个函数$y=(x+h)^2$和$y=hx-h$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）答案
11. C
12.[分类讨论思想][2024·马鞍山校级期中]
已知二次函数$y=-(x+h)^2$($h$为常数),当$2≤ x≤5$时,函数的最大值为$-1$,则$h$的值为
已知二次函数$y=-(x+h)^2$($h$为常数),当$2≤ x≤5$时,函数的最大值为$-1$,则$h$的值为
$-1$或$-6$
.答案
12. $-1$或$-6$
13.已知抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
答案
13. 解:(1)易知点 $A(5,0),B(0,5)$.
$\because$抛物线对称轴为直线 $x=5$,$\therefore$点 $C(10,5)$.
(2)$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×5=25$.
(3)$△ ABC$ 是等腰直角三角形.
理由:易得 $AB=AC=5\sqrt{2}$,$BC=10$,
$\because(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=10^2$,$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,
$\therefore△ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\because$抛物线对称轴为直线 $x=5$,$\therefore$点 $C(10,5)$.
(2)$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×5=25$.
(3)$△ ABC$ 是等腰直角三角形.
理由:易得 $AB=AC=5\sqrt{2}$,$BC=10$,
$\because(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=10^2$,$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$,
$\therefore△ ABC$ 是等腰直角三角形.
14. 如图,抛物线 $ C_1 $ 的顶点是坐标原点 $ O $,且经过点 $ A(-1,2) $,将抛物线 $ C_1 $ 向左平移使它恰好经过点 $ A $,记平移后的抛物线为 $ C_2 $,平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 与两条抛物线从左至右的四个交点依次记为 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $.
(1)求抛物线 $ C_1 $ 的函数表达式;
(2)求抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式;
(3)若 $ P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 $,分别求点 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 的坐标.
(1)求抛物线 $ C_1 $ 的函数表达式;
(2)求抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式;
(3)若 $ P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 $,分别求点 $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ 的坐标.
答案
14. 解:(1)抛物线 $ C_1 $ 的函数表达式为 $ y=2x^2 $.
(2)由(1)设抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式为 $ y=2(x+t)^2(t＞0) $,
把点 $ A(-1,2) $ 代入,得 $ 2=2(-1+t)^2 $,解得 $ t=2 $,
$\therefore$抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式为 $ y=2(x+2)^2 $.
(3)易知抛物线 $ C_1 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,
抛物线 $ C_2 $ 的对称轴是直线 $ x=-2 $.
$\because P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4$,
$\therefore$点 $ P_2 $ 在抛物线 $ C_2 $ 的对称轴上,点 $ P_3 $ 在抛物线$ C_1 $ 的对称轴上.
设点 $ P_2(-2,b) $,且在抛物线 $ C_1 $ 上,
$\therefore b=2×(-2)^2=8$,$\therefore$点 $ P_2(-2,8) $.
$\because$点 $ P_2,P_4 $ 关于 $ y $ 轴对称,
$\therefore$点 $ P_4(2,8) $,$\therefore$点 $ P_3(0,8) $.
$\because$点 $ P_1,P_3 $ 关于直线 $ x=-2 $ 对称,
$\therefore$点 $ P_1(-4,8) $.
综上所述,点 $ P_1(-4,8) $,点 $ P_2(-2,8) $,点 $ P_3(0,8) $,点 $ P_4(2,8) $.
(2)由(1)设抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式为 $ y=2(x+t)^2(t＞0) $,
把点 $ A(-1,2) $ 代入,得 $ 2=2(-1+t)^2 $,解得 $ t=2 $,
$\therefore$抛物线 $ C_2 $ 的函数表达式为 $ y=2(x+2)^2 $.
(3)易知抛物线 $ C_1 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,
抛物线 $ C_2 $ 的对称轴是直线 $ x=-2 $.
$\because P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4$,
$\therefore$点 $ P_2 $ 在抛物线 $ C_2 $ 的对称轴上,点 $ P_3 $ 在抛物线$ C_1 $ 的对称轴上.
设点 $ P_2(-2,b) $,且在抛物线 $ C_1 $ 上,
$\therefore b=2×(-2)^2=8$,$\therefore$点 $ P_2(-2,8) $.
$\because$点 $ P_2,P_4 $ 关于 $ y $ 轴对称,
$\therefore$点 $ P_4(2,8) $,$\therefore$点 $ P_3(0,8) $.
$\because$点 $ P_1,P_3 $ 关于直线 $ x=-2 $ 对称,
$\therefore$点 $ P_1(-4,8) $.
综上所述,点 $ P_1(-4,8) $,点 $ P_2(-2,8) $,点 $ P_3(0,8) $,点 $ P_4(2,8) $.
