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10.(2024·绍兴嵊州)分解因式：
(1)$4a^2 - 1$；
(2)$2(a + b)^2 - a - b$。
(1)$4a^2 - 1$；
(2)$2(a + b)^2 - a - b$。
答案
(1)原式=$(2a+1)(2a-1)$。
(2)原式=$(a+b)(2a+2b-1)$。
(2)原式=$(a+b)(2a+2b-1)$。
11.已知:整式$A=m+1,B=m-1,m$为任意有理数。
(1)$A· B+1$的值可能为负数吗?请说明理由。
(2)请通过因式分解说明:当$m$是整数时,$A^2-B^2$的值一定能被4整除。
(1)$A· B+1$的值可能为负数吗?请说明理由。
(2)请通过因式分解说明:当$m$是整数时,$A^2-B^2$的值一定能被4整除。
答案
(1)$A· B+1$的值不可能为负数。理由如下:因为$A· B+1=(m+1)(m-1)+1=m^2-1+1=m^2$,因为$m^2\ge0$,所以$A· B+1$的值不可能为负数。
(2)$A^2-B^2=(m+1)^2-(m-1)^2=(m^2+2m+1)-(m^2-2m+1)=4m$,因为$m$是整数,所以$4m$一定能被4整除,所以当$m$是整数时,$A^2-B^2$的值一定能被4整除。
(2)$A^2-B^2=(m+1)^2-(m-1)^2=(m^2+2m+1)-(m^2-2m+1)=4m$,因为$m$是整数,所以$4m$一定能被4整除,所以当$m$是整数时,$A^2-B^2$的值一定能被4整除。
12. 甲、乙两位同学在对多项式 $x^2 + bx + c$ 分解因式时，甲看错了 $b$ 的值，分解的结果是 $(x - 4)(x + 5)$，乙看错了 $c$ 的值，分解的结果是 $(x + 3)(x - 4)$，那么 $c - 5b$ 的值为 ………………（
A.15
B.-15
C.25
D.-25
B
）A.15
B.-15
C.25
D.-25
答案
B 解析:$(x-4)(x+5)=x^2+x-20$,$(x+3)(x-4)=x^2-x-12$,因为甲看错了$b$的值,分解的结果是$(x-4)(x+5)$,所以$c=-20$,因为乙看错了$c$的值,分解的结果是$(x+3)(x-4)$,所以$b=-1$,所以$c-5b=-20-5×(-1)=-15$。故选B。
13.在日常生活中如取款、上网等都需要密码。有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆,如:对于多项式$x^4 - y^4$,因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)$,若取$x=9,y=8$时,则各个因式的值为$(x-y)=1,(x+y)=17,(x^2 + y^2)=145$,于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码。对于多项式$x^3 - xy^2$,取$x=16,y=6$时,用上述方法产生的密码共有
6
种。答案
6 解析:$x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x+y)(x-y)$,因为$x=16,y=6$,所以$x+y=22,x-y=10$,所以可产生的密码为:162210,221610,221016,161022,101622,102216;共6种。
