1.(真题·宁波镇海)阅读材料:我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例。杨辉三角,又称贾宪三角,是用图中的三角形解释二项式$(a+b)^n$的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”,这个三角形的构造法则是:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a+b)^n$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律。例如:第三行的三个数1,2,1,对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开式中的系数;第四行的数1,3,3,1,对应$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$展开式中的系数。
根据你观察的杨辉三角的排列规律,完成下列问题。
(1)$(2x-1)^6$的展开式中含$x^3$项的系数是________;$(a+b)^n$($n＞3$)的展开式中含$a^{n-2}b^2$的系数是________。
(2)若$(x+1)^5·(ax^2+8x-3)$($a$为常数)的展开式中不含$x^2$项,求$a$的值。
(3)已知$m$为整数,求证:$(m+3)^3-(m-3)^3$能被18整除。
(4)你在杨辉三角中还发现什么不同的结论,请写出一个________。

1.(1)按照前三行规律,得到如图后几行:
1 ——→ $n=0$
1 1 ——→ $n=1$
1 2 1 ——→ $n=2$
1 3 3 1 ——→ $n=3$
1 4 6 4 1 ——→ $n=4$
1 5 10 10 5 1 ——→ $n=5$
1 6 15 20 15 6 1 ——→ $n=6$
从$n=6$看出含$x^3$项的是$20 × (2x)^3 × (-1)^3 = -160x^3$,故含$x^3$项的系数是$-160$。$a^{n-2}b^2$位于$(a+b)^n$的展开式中第三项,观察图形知:每一行的第三项的系数等于前面所有行的第二项之和,所以第$n$行的第三项的系数$=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n^2-n}{2}$。
(2)$(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$,所以$(x+1)^5 · (ax^2 + 8x - 3) = (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1)(ax^2 + 8x - 3)$,故含$x^2$项应该是:$10x^2 × (-3) + 5x · 8x + 1 · ax^2 = (10+a)x^2$,所以$10+a=0$,所以$a=-10$。
(3)因为$(m+3)^3 = m^3 + 9m^2 + 27m + 27$,$(m-3)^3 = m^3 - 9m^2 + 27m - 27$,所以$(m+3)^3 - (m-3)^3 = 18m^2 + 54 = 18(m^2 + 3)$,故$(m+3)^3 - (m-3)^3$能被18整除。
(4)第$n(n＞3)$行的第三项的系数为$\frac{n^2-n}{2}$(答案不唯一)