关灯
对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。(关熄状态的灯即是拨奇数次的开关所控制的灯，所以只能是平方数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.)

关熄状态的灯即是拨奇数次的开关所控制的灯，所以只能是平方数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.

【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：第一步先明确灯的状态和拨动次数的关系：初始所有灯都是开启状态，拨动1次变为关闭，拨动2次变回开启，因此最后熄灭的灯一定是被拨动了奇数次。第二步找灯的编号和拨动次数的对应关系：编号为x的灯，每次操作i的倍数时，只要i是x的因数，就会被拨动一次，因此x被拨动的总次数等于x的正因数的总个数。第三步判断什么数的因数个数是奇数：普通数的因数都是成对出现的，总个数为偶数；只有完全平方数存在重复的平方根因数，总因数个数为奇数。最后找出1~100范围内的完全平方数即可得到答案。
【解析】
解：1. 分析开关状态规律：初始所有灯为开启状态，开关被拨动奇数次后变为关闭，被拨动偶数次后仍为开启，因此最终熄灭的灯对应被拨动奇数次的灯。
2. 分析拨动次数的含义：编号为m的灯，每次操作“i的倍数拨开关”时，若i是m的因数，就会拨动该灯，因此编号m的灯被拨动的总次数等于m的所有正因数的个数。
3. 分析因数个数的奇偶性：非完全平方数的因数都是成对出现的，总个数为偶数；完全平方数的平方根属于重复因数，因此总因数个数为奇数，只有完全平方数对应的灯被拨动奇数次。
4. 列举1~100的完全平方数：$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49$，$8^2=64$，$9^2=81$，$10^2=100$。
【答案】
关熄状态的灯即是拨奇数次的开关所控制的灯，所以只能是平方数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.
【知识点】
因数的性质，完全平方数特征，奇偶性应用
【点评】
这道题将实际操作问题转化为数学因数计数问题，解题核心是建立开关拨动次数与编号因数个数的对应关系，需要灵活运用数的因数特点和完全平方数的性质，能有效锻炼逻辑推理和问题转化的思维能力。
【难度系数】
0.3