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13. 关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=3m, \\x-y=9m\end{cases}$的解也是方程$5x+8y=38$的一个解，则$m=$ ______ 。
答案
13.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先将m看作常数，用加减消元法解给定的二元一次方程组，得到用含m的代数式表示的x、y的值；再根据方程组的解也是方程5x+8y=38的解，将x、y代入该方程，得到只含有m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：先解二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=3m&① \\x-y=9m&②\end{cases}$
用①-②消去x，得：
$(x+2y)-(x-y)=3m-9m$
化简得$3y=-6m$，解得$y=-2m$
把$y=-2m$代入②式，得：
$x - (-2m)=9m$
解得$x=7m$
因为方程组的解也是方程$5x+8y=38$的解，将$x=7m$，$y=-2m$代入该方程：
$5×7m + 8×(-2m)=38$
计算得$35m -16m=38$
即$19m=38$，解得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解；一元一次方程的求解
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次方程结合的基础题型，考查对“方程的解”概念的理解和消元法的运用，只要掌握消元法求解方程组的步骤，结合方程解的性质代入计算即可，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先将m看作常数，用加减消元法解给定的二元一次方程组，得到用含m的代数式表示的x、y的值；再根据方程组的解也是方程5x+8y=38的解，将x、y代入该方程，得到只含有m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：先解二元一次方程组$\begin{cases}x+2y=3m&① \\x-y=9m&②\end{cases}$
用①-②消去x，得：
$(x+2y)-(x-y)=3m-9m$
化简得$3y=-6m$，解得$y=-2m$
把$y=-2m$代入②式，得：
$x - (-2m)=9m$
解得$x=7m$
因为方程组的解也是方程$5x+8y=38$的解，将$x=7m$，$y=-2m$代入该方程：
$5×7m + 8×(-2m)=38$
计算得$35m -16m=38$
即$19m=38$，解得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解法；二元一次方程的解；一元一次方程的求解
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次方程结合的基础题型，考查对“方程的解”概念的理解和消元法的运用，只要掌握消元法求解方程组的步骤，结合方程解的性质代入计算即可，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
14. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 2x + y = 8, & ① \\ x - y = 4. & ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x - 2y = 5, & ① \\ 2x + y = 1. & ② \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 2x + y = 8, & ① \\ x - y = 4. & ② \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x - 2y = 5, & ① \\ 2x + y = 1. & ② \end{cases}$
答案
14.(1) $\begin{cases} x=4, \\ y=0 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
解析
【分析】
这两个二元一次方程组均适合用加减消元法求解：(1)观察到两个方程中y的系数互为相反数，直接将两式相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意原式求出y的值；(2)观察到方程②中y的系数为1，将方程②左右两边同乘2后，y的系数变为2，和方程①中y的系数-2互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可。
【解析】
(1) 将方程①+方程②，得：
$(2x + y)+(x - y)=8 + 4$
合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入方程②，得$4 - y=4$，解得$y=0$。
(2) 将方程②两边同时乘2，得：$4x + 2y=2$ ③
将方程①+方程③，得：
$(3x - 2y)+(4x + 2y)=5 + 2$
合并同类项得$7x=7$，解得$x=1$。
把$x=1$代入方程②，得$2×1 + y=1$，解得$y=-1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=4, \\ y=0 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
这是二元一次方程组解法的基础常规题，解题时优先观察未知数系数特点，选择简便的消元方法可提升解题效率，计算完成后可将解代回原方程组验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
这两个二元一次方程组均适合用加减消元法求解：(1)观察到两个方程中y的系数互为相反数，直接将两式相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意原式求出y的值；(2)观察到方程②中y的系数为1，将方程②左右两边同乘2后，y的系数变为2，和方程①中y的系数-2互为相反数，相加即可消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可。
【解析】
(1) 将方程①+方程②，得：
$(2x + y)+(x - y)=8 + 4$
合并同类项得$3x=12$，解得$x=4$。
把$x=4$代入方程②，得$4 - y=4$，解得$y=0$。
(2) 将方程②两边同时乘2，得：$4x + 2y=2$ ③
将方程①+方程③，得：
$(3x - 2y)+(4x + 2y)=5 + 2$
合并同类项得$7x=7$，解得$x=1$。
把$x=1$代入方程②，得$2×1 + y=1$，解得$y=-1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=4, \\ y=0 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
这是二元一次方程组解法的基础常规题，解题时优先观察未知数系数特点，选择简便的消元方法可提升解题效率，计算完成后可将解代回原方程组验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
15. 关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x+y=3a-1, \\x+2y=a+2.\end{cases}$
（1）当$a=2$时，解方程组；
（2）若方程组的解满足$x+y=7$，求$a$的值。
（1）当$a=2$时，解方程组；
（2）若方程组的解满足$x+y=7$，求$a$的值。
答案
15.(1) 当$a=2$时，方程组的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
(2)$a=5$
(2)$a=5$
解析
【分析】
（1）第一小问可先将a=2代入原方程组，得到只含有x、y的二元一次方程组，再用加减消元法或代入消元法求解即可。
（2）第二小问有两种解题思路：思路一，先把a当作常数，解出x、y关于a的表达式，再代入x+y=7得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；思路二，观察原方程组两个方程的系数特点，将两个方程直接相加，可直接得到x+y与a的关系，再结合x+y=7求解，该方法更简便。
【解析】
（1）当$a=2$时，把$a=2$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x + y = 3×2 - 1 \\x + 2y = 2 + 2\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2x + y = 5 ①\\x + 2y = 4 ②\end{cases}$
用加减消元法求解：将①×2得$4x + 2y = 10$ ③
用③-②得$3x = 6$，解得$x = 2$
把$x=2$代入①，得$2×2 + y =5$，解得$y=1$
（2）用整体法求解：原方程组为$\begin{cases}2x+y=3a-1 ①\\x+2y=a+2 ②\end{cases}$
将①+②，得$3x + 3y = 4a + 1$，两边同时除以3，得$x + y = \frac{4a + 1}{3}$
已知$x + y =7$，代入得$\frac{4a + 1}{3}=7$
两边同乘3得$4a + 1 =21$，解得$a=5$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
（2）$a=5$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二元一次方程组解的应用
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，第一问考察方程组的基本求解能力，第二问既可按常规方法求解，也可通过观察系数用整体思想简化计算，有助于培养灵活解题的思维。
【难度系数】
0.8
（1）第一小问可先将a=2代入原方程组，得到只含有x、y的二元一次方程组，再用加减消元法或代入消元法求解即可。
（2）第二小问有两种解题思路：思路一，先把a当作常数，解出x、y关于a的表达式，再代入x+y=7得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；思路二，观察原方程组两个方程的系数特点，将两个方程直接相加，可直接得到x+y与a的关系，再结合x+y=7求解，该方法更简便。
【解析】
（1）当$a=2$时，把$a=2$代入原方程组，得：
$\begin{cases}2x + y = 3×2 - 1 \\x + 2y = 2 + 2\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2x + y = 5 ①\\x + 2y = 4 ②\end{cases}$
用加减消元法求解：将①×2得$4x + 2y = 10$ ③
用③-②得$3x = 6$，解得$x = 2$
把$x=2$代入①，得$2×2 + y =5$，解得$y=1$
（2）用整体法求解：原方程组为$\begin{cases}2x+y=3a-1 ①\\x+2y=a+2 ②\end{cases}$
将①+②，得$3x + 3y = 4a + 1$，两边同时除以3，得$x + y = \frac{4a + 1}{3}$
已知$x + y =7$，代入得$\frac{4a + 1}{3}=7$
两边同乘3得$4a + 1 =21$，解得$a=5$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
（2）$a=5$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二元一次方程组解的应用
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，第一问考察方程组的基本求解能力，第二问既可按常规方法求解，也可通过观察系数用整体思想简化计算，有助于培养灵活解题的思维。
【难度系数】
0.8
16. 在解方程组$\begin{cases}ax + 4y = 21, \\3x - by = 6\end{cases}$时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的$a$，得到的解为$\begin{cases}x = 4, \\y = 3;\end{cases}$乙同学看错了方程组中的$b$，得到的解为$\begin{cases}x = 1, \\y = 4.\end{cases}$求原方程组的解。
答案
16.原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心思路是：甲虽然看错了a，但他没有看错b，所以他得到的解满足第二个不含看错参数a的方程，可代入求出正确的b值；同理，乙虽然看错了b，但没有看错a，他得到的解满足第一个不含看错参数b的方程，可代入求出正确的a值。得到正确的a、b后，代入原方程组，再用二元一次方程组的解法求解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
甲看错了a，因此$\begin{cases}x = 4, \\y = 3\end{cases}$满足方程$3x - by = 6$，代入得：
$3×4 - 3b = 6$
$12 - 3b = 6$
解得$b=2$
第二步：求正确的a值
乙看错了b，因此$\begin{cases}x = 1, \\y = 4\end{cases}$满足方程$ax + 4y = 21$，代入得：
$a×1 + 4×4 = 21$
$a + 16 = 21$
解得$a=5$
第三步：解正确的原方程组
将$a=5$，$b=2$代入原方程组，得：
$\begin{cases}5x + 4y = 21&① \\3x - 2y = 6&②\end{cases}$
用加减消元法，将②$×2$得：$6x - 4y = 12$ ③
①+③得：$11x = 33$，解得$x=3$
将$x=3$代入②得：$3×3 - 2y = 6$
$9 - 2y = 6$，解得$y=\dfrac{3}{2}$
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 解二元一次方程组
3. 待定系数法求参数
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题的关键是理解“看错某一参数时，解仍然满足不含该参数的方程”这一逻辑，既考察了对二元一次方程解的定义的理解，也锻炼了学生的计算能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路是：甲虽然看错了a，但他没有看错b，所以他得到的解满足第二个不含看错参数a的方程，可代入求出正确的b值；同理，乙虽然看错了b，但没有看错a，他得到的解满足第一个不含看错参数b的方程，可代入求出正确的a值。得到正确的a、b后，代入原方程组，再用二元一次方程组的解法求解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
甲看错了a，因此$\begin{cases}x = 4, \\y = 3\end{cases}$满足方程$3x - by = 6$，代入得：
$3×4 - 3b = 6$
$12 - 3b = 6$
解得$b=2$
第二步：求正确的a值
乙看错了b，因此$\begin{cases}x = 1, \\y = 4\end{cases}$满足方程$ax + 4y = 21$，代入得：
$a×1 + 4×4 = 21$
$a + 16 = 21$
解得$a=5$
第三步：解正确的原方程组
将$a=5$，$b=2$代入原方程组，得：
$\begin{cases}5x + 4y = 21&① \\3x - 2y = 6&②\end{cases}$
用加减消元法，将②$×2$得：$6x - 4y = 12$ ③
①+③得：$11x = 33$，解得$x=3$
将$x=3$代入②得：$3×3 - 2y = 6$
$9 - 2y = 6$，解得$y=\dfrac{3}{2}$
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 解二元一次方程组
3. 待定系数法求参数
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题的关键是理解“看错某一参数时，解仍然满足不含该参数的方程”这一逻辑，既考察了对二元一次方程解的定义的理解，也锻炼了学生的计算能力。
【难度系数】
0.7
