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8. (营口中考)如图,点A,B,C,D在⊙O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为 (
A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4$
A
)A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4$
答案
8. A 解析:连接AB,可得△ABC是直角三角形,利用圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=30°,在Rt△ABC中,BC=4√3.
9. (泰安中考)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD = ∠ CAB$，$AD = 2$，$AC = 4$，则$\odot O$的半径为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
D
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
9. D 解析:解法一:如图①,连接BC,
∵ AB是直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠ACD=∠CAB,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ AD=BC=2.又
∵ AC=4,
∴ 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=2√5,
∴ ⊙O的半径为√5.
解法二:如图②,连接CO并延长CO,交⊙O于点E,连接AE,
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ ∠ACD=∠CAB,
∴ ∠ACD=∠ACO,
∴ AE=AD=2.
∵ CE是直径,
∴ ∠EAC=90°.在Rt△AEC中,由勾股定理得EC=2√5,
∴ ⊙O的半径为√5.
10. 如图，AB为$\odot O$的直径，且$AB=10$，C为$\odot O$上一点，AC平分$∠ DAB$，DA交$\odot O$于点E，$AE=6$，$AD ⊥ CD$于点D，F为半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，EF交AC于点G.
(1)求CD的长；
(2)求EG的长.
(1)求CD的长；
(2)求EG的长.
答案
10. (1)如图,连接EB,OC交于点M,
∵ AC平分∠DAB,DA交⊙O于点E,
∴ ∠DAC = ∠BAC,
∴ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ OC⊥BE.
∵ AB为⊙O的直径,
∴ BE⊥AD.
∵ AD⊥CD于点D,
∴ 四边形MCDE是矩形.由条件得OM=3,OB=5,
∴ CD=EM=BM=$\sqrt{OB^2-OM^2}$=4.
(2)如图,过点G作GR⊥AD于点R,GS⊥BE于点S,设GR=x.
∵ F为半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ ∠AEF=∠BEF=45°,
∴ GR=GS.
∵ $S_{△AEB} = \frac{1}{2}×6×8=24$,
∴ $\frac{1}{2}×(6+8+10)·x=24$,
∴ x=2,
∴ EG=2√2.
11. (牡丹江中考)如图, 四边形ABCD内接于$\odot O$, 连接BD. 若$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$, $∠ BDC = 50°$, 则$∠ ADC$的度数是 (
A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
B
)A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
答案
11. B 解析:如图,连接OA,OB,OC,
∵ ∠BDC = 50°,
∴ ∠BOC=2∠BDC=100°.
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ ∠BOC=∠AOC=100°,
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$ ∠AOC = 50°,
∴ ∠ADC = 180°−∠ABC=130°.故选B.
12. (福建中考)已知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AC是$\odot O$的直径，$DE ⊥ AB$，垂足为E.
(1)延长DE交$\odot O$于点F，延长DC，FB交于点P，如图①.求证：$PC=PB$.
(2)过点B作$BG ⊥ AD$，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图②.若$AB=\sqrt{3}$，$DH=1$，$∠ OHD=80°$，求$∠ BDE$的大小.
(1)延长DE交$\odot O$于点F，延长DC，FB交于点P，如图①.求证：$PC=PB$.
(2)过点B作$BG ⊥ AD$，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图②.若$AB=\sqrt{3}$，$DH=1$，$∠ OHD=80°$，求$∠ BDE$的大小.
答案
12. (1)
∵ AC是⊙O的直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵ DE⊥AB,
∴ ∠DEA=90°,
∴ ∠DEA=∠ABC,
∴ BC//DF,
∴ ∠F=∠PBC.
∵ 四边形BCDF是圆内接四边形,
∴ ∠F+∠DCB=180°.
∵ ∠PCB+∠DCB=180°,
∴ ∠F=∠PCB,
∴ ∠PBC=∠PCB,
∴ PC=PB.
(2)连接OD,
∵ AC是⊙O的直径,
∴ ∠ADC=90°.
∵ BG⊥AD,
∴ ∠AGB=90°,
∴ ∠ADC=∠AGB,
∴ BG//DC.
∵ BC//DE,
∴ 四边形DHBC是平行四边形,
∴ BC=DH=1.
在Rt△ABC中,AB=√3,由勾股定理得AC=2,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AC=OD,
∴ ∠BAC=30°,
∴ DH=OD.在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴ ∠ODH=20°.设DE交AC于点N,
∵ BC//DE,
∴ ∠ONH=∠ACB=60°,
∴ ∠NOH=180°−(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴ ∠DOC=∠DOH−∠NOH=40°.
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$ ∠DOC = 20°,
∴ ∠CBD=∠OAD=20°.
∵ BC//DE,
∴ ∠BDE=∠CBD=20°.
∵ AC是⊙O的直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵ DE⊥AB,
∴ ∠DEA=90°,
∴ ∠DEA=∠ABC,
∴ BC//DF,
∴ ∠F=∠PBC.
∵ 四边形BCDF是圆内接四边形,
∴ ∠F+∠DCB=180°.
∵ ∠PCB+∠DCB=180°,
∴ ∠F=∠PCB,
∴ ∠PBC=∠PCB,
∴ PC=PB.
(2)连接OD,
∵ AC是⊙O的直径,
∴ ∠ADC=90°.
∵ BG⊥AD,
∴ ∠AGB=90°,
∴ ∠ADC=∠AGB,
∴ BG//DC.
∵ BC//DE,
∴ 四边形DHBC是平行四边形,
∴ BC=DH=1.
在Rt△ABC中,AB=√3,由勾股定理得AC=2,
∴ BC=$\frac{1}{2}$AC=OD,
∴ ∠BAC=30°,
∴ DH=OD.在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴ ∠ODH=20°.设DE交AC于点N,
∵ BC//DE,
∴ ∠ONH=∠ACB=60°,
∴ ∠NOH=180°−(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴ ∠DOC=∠DOH−∠NOH=40°.
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$ ∠DOC = 20°,
∴ ∠CBD=∠OAD=20°.
∵ BC//DE,
∴ ∠BDE=∠CBD=20°.
