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1. 在半径为12 cm的圆中，长为$4π$ cm的弧所对的圆心角的度数为（
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
B
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
1. B 解析:设长为$4π$ cm的弧所对圆心角的度数为n, 由题意,得$\frac{n×π×12}{180°}=4π$,解得$n=60°$.故选B.
2. (2026·延边期末)如图,正方形ABCD内接于$\odot O$,连接OA,OB,OC,OD.若$OA=2$,则图中阴影部分的面积为 (
A.$\frac{1}{2}π$
B.$π$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}π$
B
)A.$\frac{1}{2}π$
B.$π$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}π$
答案
2. B 解析:
∵正方形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠AOD=90°$,
∴阴影部分的面积为$\frac{90×π×2^2}{360}=π$.故选B.
∵正方形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠AOD=90°$,
∴阴影部分的面积为$\frac{90×π×2^2}{360}=π$.故选B.
3. (2026·宜春月考)如图,在$△ ABC$中,$BC=2\sqrt{3}$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ A'B'C$,则点$B$转过的路径长为 (
A.$\sqrt{3}π$
B.$2π$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$
D
)A.$\sqrt{3}π$
B.$2π$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{3}π}{3}$
答案
3. D 解析:
∵将$△ABC$绕点C逆时针旋转$60°$得到$△A'B'C$,
∴$∠BCB'=60°$,
∴点B转过的路径长为$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$.
故选D.
∵将$△ABC$绕点C逆时针旋转$60°$得到$△A'B'C$,
∴$∠BCB'=60°$,
∴点B转过的路径长为$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{2\sqrt{3}π}{3}$.
故选D.
4. (1)若圆的半径为4,则120°的圆心角所对的弧长为
(2)在$\odot O$中,如果120°的圆心角所对的弧长是4π cm,那么$\odot O$的半径是
(3)(2026·杭州月考)三个正方形方格在扇形中的位置如图所示,点O为扇形的圆心,格点A,B,C分别在扇形的两条半径和弧上,已知每个方格的边长为1,则$\overset{\frown}{EF}$的长为
$\frac{8}{3}π$
.(2)在$\odot O$中,如果120°的圆心角所对的弧长是4π cm,那么$\odot O$的半径是
6
cm.(3)(2026·杭州月考)三个正方形方格在扇形中的位置如图所示,点O为扇形的圆心,格点A,B,C分别在扇形的两条半径和弧上,已知每个方格的边长为1,则$\overset{\frown}{EF}$的长为
$\frac{\sqrt{10}π}{4}$
.答案
4. (1)$\frac{8}{3}π$ 解析:
∵圆的半径为4,圆心角为$120°$,
∴弧长为$\frac{120×π×4}{180}=\frac{8π}{3}$.
(2)6 解析:根据题意得$\frac{120πr}{180}=4π$,解得$r=6$.
(3)$\frac{\sqrt{10}π}{4}$ 解析:如图所示,连接OC,取格点H,
由网格的特点可得$OH=AH=BC=1$,$OB=3$,$∠OHA=∠OBC=90°$,
∴$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{10}$,$△AOH$是等腰直角三角形,
∴$∠AOH=45°$,
∴$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{45×π×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}π}{4}$.
5. (2026·北京月考)一个扇形原有的面积记为S.
(1)如果圆心角不变,半径扩大到原来的2倍,此时面积为
(2)如果半径不变,弧长变为原来的2倍,此时面积为
(1)如果圆心角不变,半径扩大到原来的2倍,此时面积为
4S
;(2)如果半径不变,弧长变为原来的2倍,此时面积为
2S
.(均用含S的式子表示)答案
5. (1)4S (2)2S 解析:设原扇形的半径为r,圆心角为θ,弧长为l,则原面积$S=\frac{θ}{360°}πr^2=\frac{1}{2}lr$.(1)圆心角θ不变,半径变为2r,新面积$S_1=\frac{θ}{360°}π(2r)^2=4×\frac{θ}{360°}πr^2=4S$.(2)半径r不变,弧长变为2l,新面积$S_2=\frac{1}{2}×2l×r=lr=2S$.
6. 如图,已知菱形ABCD的边长为2 cm,B,C两点在以点A为圆心的$\overset{\frown}{EF}$上,求$\overset{\frown}{BC}$的长度和扇形ABC的面积.(结果保留π)
答案
6.
∵菱形ABCD的边长为2 cm,B,C两点在$\overset{\frown}{EF}$上,
∴$AB=BC=AC=2$ cm,
∴$△ABC$是等边三角形,
∴$∠BAC=60°$,
∴$\overset{\frown}{BC}$的长$l=\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π$(cm),
∴$S_{扇形ABC}=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}π×2=\frac{2}{3}π$(cm²).
∵菱形ABCD的边长为2 cm,B,C两点在$\overset{\frown}{EF}$上,
∴$AB=BC=AC=2$ cm,
∴$△ABC$是等边三角形,
∴$∠BAC=60°$,
∴$\overset{\frown}{BC}$的长$l=\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π$(cm),
∴$S_{扇形ABC}=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}π×2=\frac{2}{3}π$(cm²).
7. 如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径作$\overset{\frown}{BE}$,$\overset{\frown}{CE}$,若AB=1,则阴影部分图形的周长是（
A.$\frac{6}{5}π +1$
B.$\frac{6}{5}π$
C.$π +1$
D.$π$
A
）A.$\frac{6}{5}π +1$
B.$\frac{6}{5}π$
C.$π +1$
D.$π$
答案
7. A 解析:由题意得$AB=BC=CD=DE=EA=1$,$∠A=∠D=108°$,
∴$\overset{\frown}{BE}$的长=$\overset{\frown}{CE}$的长=$\frac{108π·AB}{180}=\frac{3}{5}π$,
∴阴影部分图形的周长=$\overset{\frown}{BE}$的长+$\overset{\frown}{CE}$的长+$BC=\frac{6}{5}π+1$.
∴$\overset{\frown}{BE}$的长=$\overset{\frown}{CE}$的长=$\frac{108π·AB}{180}=\frac{3}{5}π$,
∴阴影部分图形的周长=$\overset{\frown}{BE}$的长+$\overset{\frown}{CE}$的长+$BC=\frac{6}{5}π+1$.
8.（宜昌中考改编）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为2 cm，则该莱洛三角形的周长为
2π
cm，面积为$(2π-2\sqrt{3})$
cm².(圆周率用π表示)答案
8. 2π $(2π-2\sqrt{3})$ 解析:莱洛三角形的周长=$3×\frac{60π×2}{180}=2π$(cm),莱洛三角形的面积等于三块扇形的面积相加,再减去两个等边三角形的面积,即$S=3×\frac{60π×2^2}{360}-2\sqrt{3}=(2π-2\sqrt{3})$cm².
