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1 如图，AB为$\odot O$的直径，直线CD与$\odot O$相切于点C，连接AC。若$∠ ACD=40°$，则$∠ BAC$的度数为 （
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1. C
解析
【分析】
遇到切线相关的角度计算问题，优先考虑连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径构造直角。本题先连接OC，由切线性质得到OC⊥CD，结合已知∠ACD的度数可算出∠OCA的度数；再根据同圆半径相等得到OA=OC，△OAC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OCD=90°，
∵∠ACD=40°，
∴∠OCA=∠OCD - ∠ACD=90°-40°=50°，
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，
∴∠BAC=∠OCA=50°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题核心是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点构造直角，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
遇到切线相关的角度计算问题，优先考虑连接圆心和切点，利用切线垂直于过切点的半径构造直角。本题先连接OC，由切线性质得到OC⊥CD，结合已知∠ACD的度数可算出∠OCA的度数；再根据同圆半径相等得到OA=OC，△OAC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OCD=90°，
∵∠ACD=40°，
∴∠OCA=∠OCD - ∠ACD=90°-40°=50°，
又
∵OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，
∴∠BAC=∠OCA=50°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，解题核心是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点构造直角，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$△ ABC$中,$AB=10$,$AC=8$,$BC=6$,经过点$C$且与边$AB$相切的动圆与$CA$,$CB$分别相交于点$P$,$Q$,则线段$PQ$长度的最小值是
4.8
.答案
2. 4.8
解析
【分析】
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，∠C=90°；再结合圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可得PQ是动圆的直径，因此PQ长度的最小值等价于动圆直径的最小值。动圆过点C且与AB相切，因此圆心到C的距离等于圆心到AB的距离（均等于半径），根据垂线段最短，当C到AB的垂线段为动圆的直径时，动圆直径最小，此时PQ的长度等于C到AB的垂线段长度，最后用面积法计算该垂线段即可。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=10，AC=8，BC=6，
∵ $BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$∠ ACB = 90°$。
2. 推导PQ与动圆的关系：
∵ $∠ PCQ = 90°$，且P、C、Q均在动圆上，
∴ 根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此PQ是动圆的直径，即$PQ = 2r$（r为动圆半径）。
3. 求PQ的最小值：
设动圆与AB的切点为D，圆心为O，连接OD，则$OD ⊥ AB$（圆的切线垂直于过切点的半径），且$OC = OD = r$，因此$PQ = OC + OD$。
根据垂线段最短，当C、O、D三点共线，且$CD ⊥ AB$时，$OC + OD$取得最小值，最小值等于CD的长度（C到AB的垂线段长度）。
4. 用面积法计算CD：
△ABC的面积可表示为$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，
解得$CD = \frac{48}{10} = 4.8$，即PQ的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理的逆定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题将圆的性质与三角形的知识点结合，解题的核心是将线段PQ的最小值转化为点到直线的垂线段长度，很好地考查了转化思想和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，∠C=90°；再结合圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，可得PQ是动圆的直径，因此PQ长度的最小值等价于动圆直径的最小值。动圆过点C且与AB相切，因此圆心到C的距离等于圆心到AB的距离（均等于半径），根据垂线段最短，当C到AB的垂线段为动圆的直径时，动圆直径最小，此时PQ的长度等于C到AB的垂线段长度，最后用面积法计算该垂线段即可。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=10，AC=8，BC=6，
∵ $BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AB^2$，
∴ 根据勾股定理的逆定理，$∠ ACB = 90°$。
2. 推导PQ与动圆的关系：
∵ $∠ PCQ = 90°$，且P、C、Q均在动圆上，
∴ 根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此PQ是动圆的直径，即$PQ = 2r$（r为动圆半径）。
3. 求PQ的最小值：
设动圆与AB的切点为D，圆心为O，连接OD，则$OD ⊥ AB$（圆的切线垂直于过切点的半径），且$OC = OD = r$，因此$PQ = OC + OD$。
根据垂线段最短，当C、O、D三点共线，且$CD ⊥ AB$时，$OC + OD$取得最小值，最小值等于CD的长度（C到AB的垂线段长度）。
4. 用面积法计算CD：
△ABC的面积可表示为$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × CD$，
解得$CD = \frac{48}{10} = 4.8$，即PQ的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理的逆定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】
本题将圆的性质与三角形的知识点结合，解题的核心是将线段PQ的最小值转化为点到直线的垂线段长度，很好地考查了转化思想和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
3 [2024福建]如图,点A,B在$\odot O$上,$∠ AOB=72°$,直线MN与$\odot O$相切,切点为C,且C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$的度数为 (
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
(第3题) (第4题)
A
)A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
(第3题) (第4题)
答案
3. A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先连接辅助线OC，根据切线性质可知切线垂直于过切点的半径，得到OC⊥MN；再结合C是弧AB中点的条件，可知弧AC与弧BC相等，对应圆心角∠AOC是∠AOB的一半，可算出∠AOC的度数；接着利用OA、OC都是半径，△OAC为等腰三角形，可算出底角∠OCA的度数；最后用直角∠OCM减去∠OCA的度数，即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线MN与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=72°$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$，
又
∵ $OA=OC$（均为$\odot O$的半径），
∴ $△ OAC$是等腰三角形，
∴ $∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴ $∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是添加过切点的半径这条常用辅助线，结合圆的基本性质和等腰三角形性质推导角度，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先连接辅助线OC，根据切线性质可知切线垂直于过切点的半径，得到OC⊥MN；再结合C是弧AB中点的条件，可知弧AC与弧BC相等，对应圆心角∠AOC是∠AOB的一半，可算出∠AOC的度数；接着利用OA、OC都是半径，△OAC为等腰三角形，可算出底角∠OCA的度数；最后用直角∠OCM减去∠OCA的度数，即可得到∠ACM的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线MN与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=72°$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$，
又
∵ $OA=OC$（均为$\odot O$的半径），
∴ $△ OAC$是等腰三角形，
∴ $∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∴ $∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是添加过切点的半径这条常用辅助线，结合圆的基本性质和等腰三角形性质推导角度，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
4 如图,木工用角尺的短边紧靠$\odot O$于点A,长边与$\odot O$相切于点B,角尺的直角顶点为C.若$AC=6\ \mathrm{cm}$,$CB=8\ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径为
$\frac{25}{3}$
cm.答案
4. $\frac{25}{3}$
解析
【分析】
遇到圆的切线相关计算问题，优先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解半径：1. 连接OA、OB，过点A作AE⊥OB于点E，可得到矩形ACBE和直角三角形OAE；2. 用含半径r的代数式表示出Rt△OAE的各边长度；3. 代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接$OA$、$OB$，过点$A$作$AE⊥ OB$于点$E$。
∵ 长边与$\odot O$相切于点$B$，由切线的性质可得$OB⊥ BC$。
又
∵ $∠ C=90°$，$AE⊥ OB$，
∴ 四边形$ACBE$是矩形，
∴ $AE=BC=8\ \mathrm{cm}$，$BE=AC=6\ \mathrm{cm}$。
∵ $OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB=r$，$OE=OB-BE=r-6$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，根据勾股定理得：
$OA^2 = OE^2 + AE^2$
代入数据得：$r^2=(r-6)^2+8^2$
展开整理得：$r^2=r^2-12r+36+64$
即$12r=100$，解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\frac{25}{3}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线性质结合几何计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用方程思想求解未知量，能很好地考查学生的几何辅助线构造能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.65
遇到圆的切线相关计算问题，优先考虑切线的性质：切线垂直于过切点的半径。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解半径：1. 连接OA、OB，过点A作AE⊥OB于点E，可得到矩形ACBE和直角三角形OAE；2. 用含半径r的代数式表示出Rt△OAE的各边长度；3. 代入勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，连接$OA$、$OB$，过点$A$作$AE⊥ OB$于点$E$。
∵ 长边与$\odot O$相切于点$B$，由切线的性质可得$OB⊥ BC$。
又
∵ $∠ C=90°$，$AE⊥ OB$，
∴ 四边形$ACBE$是矩形，
∴ $AE=BC=8\ \mathrm{cm}$，$BE=AC=6\ \mathrm{cm}$。
∵ $OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB=r$，$OE=OB-BE=r-6$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，根据勾股定理得：
$OA^2 = OE^2 + AE^2$
代入数据得：$r^2=(r-6)^2+8^2$
展开整理得：$r^2=r^2-12r+36+64$
即$12r=100$，解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\frac{25}{3}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线性质结合几何计算的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用方程思想求解未知量，能很好地考查学生的几何辅助线构造能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.65
