12 教材变式题（易错题）如图，正方形ABCD剪去四个角后成为一个边长为1的正八边形，则正方形ABCD的周长为 （）

A.4
B.$2+2\sqrt{2}$
C.8
D.$4+4\sqrt{2}$

12. D
学生易忽视“剪去的部分均为等腰直角三角形”而找不到边长关系.

13 如图，正三角形和正六边形有公共的外接圆$\odot O$，则这个正三角形和正六边形边长的比为（）

A.$\sqrt{6}:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$2:1$

13. C

14 如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为.

14. $12°$

15 [2025烟台]如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心、AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中涂色部分的面积为。

15. $\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【解析】如图,连接OA,OE,OF,记扇形的两条半径分别与AB,EF交于点G,H,过点O作OM⊥AF于点M.
∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴OA=OE=OF,
$∠ AOF=∠ EOF=\frac{360°}{6}=60°$,$∠ BAF=120°$.
∴$△ OAF$和$△ OEF$为等边三角形,$∠ AOE=60°+60°=120°$.
∴$∠ OEF=∠ OAF=60°$.
∵$OM⊥ AF$,
∴$AM=FM=\frac{1}{2}AF=2$.
∴$OM=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
∴$S_{△ OAF}=\frac{1}{2}AF· OM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
∵$∠ BAF=120°$,
∴$∠ OAG=120°-60°=60°$.
∴$∠ OAG=∠ OEH$.
∵$∠ GOA+∠ AOH=∠ AOH+∠ EOH=120°$,
∴$∠ GOA=∠ EOH$.
∴易证$△ GOA≌△ HOE$.
∴$S_{△ GOA}=S_{△ HOE}$.
∴$S_{△ GOA}+S_{四边形AOHF}=S_{△ HOE}+S_{四边形AOHF}$.
∴$S_{五边形AGOHF}=S_{四边形AOEF}=2S_{△ OAF}=8\sqrt{3}$.
∴$S_{涂色}=S_{扇形}-S_{五边形AGOHF}=\frac{120π×4^2}{360}-8\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$.

16 如图①，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，并解答下列问题。作法：如图②，作直径AF，以点F为圆心、FO长为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N，连接AM，MN，NA。
（1）求$∠ ABC$的度数。
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由。
（3）连接DN，从点A开始，以DN的长为半径，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些点，得到正n边形，求n的值。

16. （1）
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
（2）$△ AMN$是正三角形 理由:如图,连接ON,NF.由题意,易得FN=OF=ON,
∴$△ FON$是正三角形.
∴$∠ NFA=60°$.
∴$∠ NMA=60°$.同理,可得$∠ ANM=60°$,
∴$∠ MAN=60°$.
∴$△ AMN$是正三角形.
（3）如图,连接OD.
∵$∠ AMN = 60°$,
∴$∠ AON = 2∠ AMN = 120°$.
∵$∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$,
∴$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$.
∵$360°÷24°=15$,
∴n的值是15

17（1）如图①，$△ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，P为$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证：$PA=PB+PC$.
（2）如图②，四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，P为$\overset{\frown}{BC}$上一动点.求证：$PA=PC+\sqrt{2}PB$.

17. （1）如图①,延长BP至点E,使PE=PC,连接CE.
∵$△ ABC$是正三角形,
∴$∠ BAC=∠ ACB=60°$,BC=AC.
∵A,B,P,C四点共圆,
∴$∠ BAC+∠ BPC=180°$.
∵$∠ BPC+∠ EPC=180°$,
∴$∠ BAC=∠ EPC=60°$.
∵PE=PC,
∴$△ PCE$是正三角形.
∴PE=EC=PC,$∠ PCE=60°$.又
∵$∠ BCE=60°+∠ BCP$,$∠ ACP=60°+∠ BCP$,
∴$∠ BCE=∠ ACP$.在$△ BEC$和$△ APC$中,$\begin{cases} EC=PC, \\ ∠ BCE=∠ ACP, \\ BC=AC, \end{cases}$
∴$△ BEC≌△ APC$.
∴EB=PA=PB+PE=PB+PC
（2）如图②,过点B作$BE⊥ PB$交PA于点E,连接OA,OB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$∠ AOB=∠ ABC=90°$,AB=CB.
∵$BE⊥ PB$,
∴$∠ EBP=90°$.
∴$∠1+∠ EBC = ∠ EBC + ∠2 = 90°$.
∴$∠1=∠2$.
∵$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$,
∴易得BE=BP,$PE=\sqrt{2}PB$.在$△ ABE$和$△ CBP$中,$\begin{cases} BE=BP, \\ ∠1=∠2, \\ AB=CB, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ CBP$.
∴EA=PC.
∴PA=EA+PE=PC+$\sqrt{2}$PB