7.小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发现$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，$∠ DBC=90°$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$.根据设计要求需保证$AD// BC$.请判断该尾翼是否符合设计要求，并说明理由.

该尾翼符合设计要求.理由如下:$\because ∠ DBC=90°$,$BC=16\ \mathrm{cm}$,$CD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12(\mathrm{cm})$.在$△ ABD$中,$AB=13\ \mathrm{cm}$,$AD=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore AD^2+BD^2=5^2+12^2=13^2=AB^2$,$\therefore △ ABD$是直角三角形,且$∠ ADB=90°$,$\therefore ∠ ADB=∠ DBC$,$\therefore AD// BC$,$\therefore$该尾翼符合设计要求.

【分析】
要判断尾翼是否符合设计要求，本质是判断AD是否平行于BC，可通过平行线的判定定理推导：已知∠DBC是直角，只需证明∠ADB也为直角，即可通过内错角相等推出两直线平行。首先在Rt△DBC中利用勾股定理计算BD的长度，再将BD长度代入△ABD，用勾股定理的逆定理判断△ABD是否为直角三角形，验证∠ADB是否为直角即可。
【解析】
该尾翼符合设计要求，理由如下：
$\because ∠DBC=90°$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，$CD=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△DBC$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CD^2-BC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12(\mathrm{cm})$。
在$△ABD$中，$AB=13\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，
$\because AD^2+BD^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=AB^2$，
$\therefore$根据勾股定理的逆定理，$△ABD$是直角三角形，且$∠ADB=90°$，
$\therefore ∠ADB=∠DBC=90°$，
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行），
因此该尾翼符合设计要求。
【答案】
该尾翼符合设计要求。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题结合了勾股相关定理与平行线判定的知识，解题核心是先求出BD的长度，再通过逆定理推导直角相等，进而得到平行关系，考查几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A.$a:b:c=2:2:3$
B.$b^2=a^2 - c^2$
C.$∠A:∠B:∠C=3:4:7$
D.$∠A=∠B - ∠C$

A

【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，可从两个方向入手：一是利用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方；二是利用三角形内角和为180°，推导是否存在90°的内角。我们逐一分析每个选项即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项分别判断：
1. 选项A：设$a=2k$，$b=2k$，$c=3k$（$k＞0$），两条短边的平方和为$(2k)^2 + (2k)^2 = 8k^2$，最长边的平方为$(3k)^2=9k^2$，显然$8k^2≠9k^2$，不符合勾股定理的逆定理，不能判定是直角三角形。
2. 选项B：对$b^2=a^2 - c^2$移项得$b^2 + c^2 = a^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定是直角三角形，不符合题意。
3. 选项C：已知$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$，三角形内角和为180°，最大角$∠ C = 180° × \frac{7}{3+4+7} = 90°$，可判定是直角三角形，不符合题意。
4. 选项D：由$∠ A=∠ B - ∠ C$可得$∠ A + ∠ C = ∠ B$，结合内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，可判定是直角三角形，不符合题意。
综上，只有A不能判定△ABC是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的边、角两类判定方法，需熟练掌握勾股定理逆定理的计算，以及利用内角和关系推导角度的技巧，做题时逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.75

9.如图,在等边△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC边的中点,BC=8.在AD上有一动点Q,则QC+QE的最小值为.

$4\sqrt{3}$

【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：首先利用等边三角形的性质确定AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，可将QC转化为QB，此时QC+QE转化为QB+QE；根据两点之间线段最短，可知QB+QE的最小值为线段BE的长度，最后计算BE的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，即点C与点B关于AD对称，
∴QC=QB，
∴QC+QE=QB+QE，
根据两点之间线段最短，当B、Q、E三点共线时，QB+QE取得最小值，最小值为BE的长度。
∵E是AC的中点，等边△ABC边长BC=8，
∴BE是AC边上的高，AC=BC=8，CE=½AC=4，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2 - CE^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∴QC+QE的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
轴对称最短路径，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是将军饮马模型的典型应用，解题关键是通过轴对称将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质和勾股定理计算求解，需要熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的特征。
【难度系数】
0.6

10.分类讨论思想 如图，等腰$△ ABC$的底边长为16 cm，腰长为10 cm，D是BC上一动点，当DA与腰垂直时，则$BD=$ cm.

3.5 或 12.5

【分析】
首先，等腰△ABC的腰有AB、AC两条，DA与腰垂直需要分两种情况讨论：①AD⊥AC；②AD⊥AB。解题时先利用等腰三角形三线合一作出底边的高，求出高的长度，再在两种垂直的情况中，分别利用勾股定理列方程计算对应BD的长度即可。
【解析】
过点A作AE⊥BC于点E。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=10cm，BC=16cm，
∴由等腰三角形三线合一得：$BE=EC=\frac{1}{2}BC=8\mathrm{cm}$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当AD⊥AC时：
设BD=x cm，则$DC=(16-x)\mathrm{cm}$，$DE=BE-BD=(8-x)\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2=6^2+(8-x)^2$。
在Rt△ADC中，$AD^2=DC^2-AC^2=(16-x)^2-10^2$。
联立等式得：$6^2+(8-x)^2=(16-x)^2-10^2$
展开化简：$100-16x=156-32x$
解得：$x=3.5$，即$BD=3.5\mathrm{cm}$。
2. 当AD⊥AB时：
设BD=y cm，$DE=BD-BE=(y-8)\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，$AD^2=AE^2+DE^2=6^2+(y-8)^2$。
在Rt△ABD中，$AD^2=BD^2-AB^2=y^2-10^2$。
联立等式得：$6^2+(y-8)^2=y^2-10^2$
展开化简：$100-16y=-100$
解得：$y=12.5$，即$BD=12.5\mathrm{cm}$。
综上，BD的长为3.5cm或12.5cm。
【答案】
3.5 或 12.5
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的核心是分类讨论思想的应用，易错点是容易忽略DA分别垂直两条腰的两种情况，造成漏解。解题时先利用等腰三角形三线合一求出底边上的高，再结合勾股定理列方程求解即可。
【难度系数】
0.6

11.如图,海中有一小岛 P,它的周围 12 n mile 内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在 M 处测得小岛 P 在北偏东 $60°$方向上,航行 16 n mile 到 N 处,这时测得小岛 P 在北偏东 $30°$方向上.
(1)如果渔船不改变航线继续向东航行,是否有触礁危险? 说明理由;
(2)求 M 点与小岛 P 的距离.

(1)如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁危险,理由:过点 $P$ 作 $PQ⊥ MN$ 于点 $Q$,$\therefore ∠ PQN=90°$,$\because ∠ PMN=30°$,$∠ PNQ=60°$,$\therefore ∠ MPN=∠ PNQ-∠ PMN=60°-30°=30°$,$\therefore ∠ MPN=∠ PMN$,$\therefore PN=MN=16\ \mathrm{n\ mile}$,$∠ NPQ=30°$,$\therefore NQ=\frac{1}{2}PN=8(\mathrm{n\ mile})$,$\therefore PQ=\sqrt{PN^2-QN^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile})$,$\because 8\sqrt{3}=\sqrt{192}＞\sqrt{144}=12$,$\therefore$如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁危险；
(2)在$\mathrm{Rt}△ PMQ$中,$\because ∠ PQM=90°$,$∠ PMQ=30°$,$\therefore PM=2PQ=2×8\sqrt{3}=16\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile})$,答:$M$点与小岛 $P$ 的距离为 $16\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$.

【分析】
要解决本题，首先明确判断是否触礁的核心是计算小岛P到航线MN的最短距离（即P到MN的垂线段长度），再和暗礁范围12 n mile比较即可。解题思路如下：①过点P作PQ垂直MN于Q，构造直角三角形；②将方位角转化为三角形内角，利用三角形外角性质推出∠MPN=∠PMN，得到PN=MN；③在Rt△PNQ中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出PQ的长度，比较PQ与12的大小即可解答第一问；④在Rt△PMQ中利用含30°角的直角三角形性质求出PM的长度，解答第二问。
【解析】
(1) 渔船不改变航线继续向东航行没有触礁危险，理由如下：
过点 $P$ 作 $PQ⊥ MN$ 于点 $Q$，$\therefore ∠ PQN=90°$。
由方位角可得：$∠ PMN=90°-60°=30°$，$∠ PNQ=90°-30°=60°$，
根据三角形外角性质：$∠ MPN=∠ PNQ-∠ PMN=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ MPN=∠ PMN$，$\therefore PN=MN=16\ \mathrm{n\ mile}$。
在$\mathrm{Rt}△PNQ$中，$∠ NPQ=90°-∠PNQ=30°$，
$\therefore NQ=\frac{1}{2}PN=8\ \mathrm{n\ mile}$，
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PN^2-NQ^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$，
$\because 8\sqrt{3}=\sqrt{192}＞\sqrt{144}=12$，
$\therefore$ 渔船不改变航线继续向东航行没有触礁危险。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ PMQ$中，$\because ∠ PQM=90°$，$∠ PMQ=30°$，
根据含30°角的直角三角形性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，
$\therefore PM=2PQ=2×8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
(1) 没有触礁危险，理由见解析；
(2) $16\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$
【知识点】
方位角应用；等腰三角形判定；解直角三角形
【点评】
本题是典型的航海类实际应用问题，解题关键是作垂线构造直角三角形，结合三角形的角的性质、直角三角形相关性质求解，考查了将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7