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12.如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量$AB=BC=AD=100\ \mathrm{m}$，$CD=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，且$∠ B=90°$.
(1)求$∠ DAB$的度数；
(2)若射线BA为公园的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计)，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100 m(包含100 m)，求被监控到的道路长度.
(1)求$∠ DAB$的度数；
(2)若射线BA为公园的车辆进出口道路(道路的宽度忽略不计)，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100 m(包含100 m)，求被监控到的道路长度.
答案
(1)$\because AB=BC=AD=100\ \mathrm{m}$,$∠ B=90°$,$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形,$\therefore AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$,$∠ CAB=45°$,$\because CD=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,在 $△ ACD$ 中,$AD^2+AC^2=100^2+(100\sqrt{2})^2=(100\sqrt{3})^2=CD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,$\therefore ∠ CAD=90°$,$\therefore ∠ DAB=90°+45°=135°$；
(2)过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,作点 $A$ 关于 $DE$ 的对称点 $F$,连接 $DF$,如图
,由轴对称的性质,得 $DF=DA=100\ \mathrm{m}$,$AE=EF$,由(1)知 $∠ BAD=135°$,$\therefore ∠ DAE=45°$,$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形,即 $AE=DE$.在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,有 $AE^2+DE^2=100^2$,解得 $AE=50\sqrt{2}$,$\therefore AF=100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$\therefore$被监控到的道路长度为 $100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.解析
【分析】
(1) 求$∠ DAB$的度数时，可将其拆分为$∠ CAD$和$∠ CAB$两部分分别求解：首先根据$AB=BC$、$∠ B=90°$判定$△ ABC$是等腰直角三角形，计算$AC$的长度同时得到$∠ CAB$的度数；再将$△ ACD$的三边代入勾股定理逆定理，验证$△ ACD$为直角三角形得到$∠ CAD$的度数，两个角度相加即可得$∠ DAB$。
(2) 求被监控的道路长度，本质是求射线$BA$上到点$D$的距离不超过100m的线段长度。过$D$作$DE⊥ AB$，利用轴对称找到$BA$上另一个到$D$距离为100m的点$F$，则$AF$就是所求路段；结合(1)中$∠ DAB=135°$可推出$△ ADE$是等腰直角三角形，用勾股定理求出$AE$的长度，再根据轴对称性质得$AF=2AE$即可算出结果。
【解析】
(1) $\because AB=BC=AD=100\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
根据勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$，且$∠ CAB=45°$。
在$△ ACD$中，$AD^2+AC^2=100^2+(100\sqrt{2})^2=30000$，$CD^2=(100\sqrt{3})^2=30000$，即$AD^2+AC^2=CD^2$。
根据勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
$\therefore ∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=90°+45°=135°$。
(2) 过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，作点$A$关于$DE$的对称点$F$，连接$DF$，如图。
由轴对称的性质得：$DF=DA=100\ \mathrm{m}$，$AE=EF$。
由(1)知$∠ BAD=135°$，$\therefore ∠ DAE=180°-135°=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，$AE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，代入$AD=100\ \mathrm{m}$得$2AE^2=100^2$，解得$AE=50\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AF=AE+EF=2AE=100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，即被监控到的道路长度为$100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ DAB=135°$；
(2) 被监控到的道路长度为$100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，辅助线图：
【知识点】
勾股定理及逆定理；等腰直角三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，既需要学生熟练掌握三角形边长、角度的基础计算方法，也要求学生能将实际问题转化为几何模型，解题的关键是合理构造辅助线，结合勾股定理和轴对称性质求解。
【难度系数】
0.6
(1) 求$∠ DAB$的度数时，可将其拆分为$∠ CAD$和$∠ CAB$两部分分别求解：首先根据$AB=BC$、$∠ B=90°$判定$△ ABC$是等腰直角三角形，计算$AC$的长度同时得到$∠ CAB$的度数；再将$△ ACD$的三边代入勾股定理逆定理，验证$△ ACD$为直角三角形得到$∠ CAD$的度数，两个角度相加即可得$∠ DAB$。
(2) 求被监控的道路长度，本质是求射线$BA$上到点$D$的距离不超过100m的线段长度。过$D$作$DE⊥ AB$，利用轴对称找到$BA$上另一个到$D$距离为100m的点$F$，则$AF$就是所求路段；结合(1)中$∠ DAB=135°$可推出$△ ADE$是等腰直角三角形，用勾股定理求出$AE$的长度，再根据轴对称性质得$AF=2AE$即可算出结果。
【解析】
(1) $\because AB=BC=AD=100\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
根据勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2}\ (\mathrm{m})$，且$∠ CAB=45°$。
在$△ ACD$中，$AD^2+AC^2=100^2+(100\sqrt{2})^2=30000$，$CD^2=(100\sqrt{3})^2=30000$，即$AD^2+AC^2=CD^2$。
根据勾股定理的逆定理可得$△ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
$\therefore ∠ DAB=∠ CAD+∠ CAB=90°+45°=135°$。
(2) 过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，作点$A$关于$DE$的对称点$F$，连接$DF$，如图
。由轴对称的性质得：$DF=DA=100\ \mathrm{m}$，$AE=EF$。
由(1)知$∠ BAD=135°$，$\therefore ∠ DAE=180°-135°=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，$AE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，代入$AD=100\ \mathrm{m}$得$2AE^2=100^2$，解得$AE=50\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AF=AE+EF=2AE=100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，即被监控到的道路长度为$100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ DAB=135°$；
(2) 被监控到的道路长度为$100\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，辅助线图：
【知识点】
勾股定理及逆定理；等腰直角三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，既需要学生熟练掌握三角形边长、角度的基础计算方法，也要求学生能将实际问题转化为几何模型，解题的关键是合理构造辅助线，结合勾股定理和轴对称性质求解。
【难度系数】
0.6
