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1.在下列长度的各组线段中,不能构成直角三角形的是（
A.3,4,5
B.7,24,25
C.1,1,$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$
D
）A.3,4,5
B.7,24,25
C.1,1,$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查勾股定理的逆定理的应用，解题思路为：对每个选项的三条线段，先确定最长的线段，再计算两条较短线段的平方和，将其与最长线段的平方作对比，若二者相等则可以构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证各选项：
A选项：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，可以构成直角三角形；
B选项：最长边为25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，可以构成直角三角形；
C选项：最长边为$\sqrt{2}$，$1^2+1^2=1+1=2=(\sqrt{2})^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最长边为$\sqrt{6}$，$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=3+5=8$，$(\sqrt{6})^2=6$，$8≠6$，不能构成直角三角形。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握勾股定理的逆定理，计算时注意先确定最长边，避免混淆三边的验证顺序，遇到带根号的线段要正确计算其平方值。
【难度系数】
0.8
这道题考查勾股定理的逆定理的应用，解题思路为：对每个选项的三条线段，先确定最长的线段，再计算两条较短线段的平方和，将其与最长线段的平方作对比，若二者相等则可以构成直角三角形，反之则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证各选项：
A选项：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，可以构成直角三角形；
B选项：最长边为25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，可以构成直角三角形；
C选项：最长边为$\sqrt{2}$，$1^2+1^2=1+1=2=(\sqrt{2})^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最长边为$\sqrt{6}$，$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2=3+5=8$，$(\sqrt{6})^2=6$，$8≠6$，不能构成直角三角形。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握勾股定理的逆定理，计算时注意先确定最长边，避免混淆三边的验证顺序，遇到带根号的线段要正确计算其平方值。
【难度系数】
0.8
2.下列四组数中,是勾股数的是 （
A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$5,12,13$
C.$6,8,14$
D.$7,23,26$
B
）A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$5,12,13$
C.$6,8,14$
D.$7,23,26$
答案
B
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，需牢记勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先利用条件①排除不符合的选项，再用条件②逐一验证剩余选项即可。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a,b,c$叫做勾股数。
选项A：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项B：5、12、13都是正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股数的两个条件，符合要求；
选项C：6、8、14都是正整数，但$6^2+8^2=36+64=100$，$14^2=196$，$100≠196$，不满足勾股定理，排除；
选项D：7、23、26都是正整数，但$7^2+23^2=49+529=578$，$26^2=676$，$578≠676$，不满足勾股定理，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的关键是不要忽略勾股数必须是正整数这个前提，再结合勾股定理验证即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是勾股数，需牢记勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时先利用条件①排除不符合的选项，再用条件②逐一验证剩余选项即可。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a,b,c$叫做勾股数。
选项A：$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
选项B：5、12、13都是正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股数的两个条件，符合要求；
选项C：6、8、14都是正整数，但$6^2+8^2=36+64=100$，$14^2=196$，$100≠196$，不满足勾股定理，排除；
选项D：7、23、26都是正整数，但$7^2+23^2=49+529=578$，$26^2=676$，$578≠676$，不满足勾股定理，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的关键是不要忽略勾股数必须是正整数这个前提，再结合勾股定理验证即可，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
3.五根木棒的长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是 （
D
）答案
D
解析
【分析】
要判断哪组摆放方式能得到两个直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。首先先计算五根木棒长度的平方，再分别验证每个选项中两个三角形的三边是否满足勾股定理的逆定理即可。
先计算各长度的平方：$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$，可推出两组符合要求的勾股数：①$7^2+24^2=25^2$，对应边长7、24、25的直角三角形；②$15^2+20^2=25^2$，对应边长15、20、25的直角三角形，两个三角形共用边长为25的木棒，刚好使用全部5根木棒，据此验证选项即可。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2=225+400=625≠24^2=576$，不是直角三角形，排除A；
选项B：右侧三角形三边为15、20、24，同理$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边7、20、25，$7^2+20^2=449≠25^2$，第二个三角形三边15、24、25，$15^2+24^2=801≠25^2$，均不是直角三角形，排除C；
选项D：第一个三角形三边7、24、25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，是直角三角形；第二个三角形三边15、20、25，$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，是直角三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题核心是利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题时先计算各边长的平方，再逐一验证每个三角形的三边是否满足勾股数关系即可，注意两个三角形共用一根木棒的特征，避免遗漏公共边的情况。
【难度系数】
0.7
要判断哪组摆放方式能得到两个直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。首先先计算五根木棒长度的平方，再分别验证每个选项中两个三角形的三边是否满足勾股定理的逆定理即可。
先计算各长度的平方：$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$，可推出两组符合要求的勾股数：①$7^2+24^2=25^2$，对应边长7、24、25的直角三角形；②$15^2+20^2=25^2$，对应边长15、20、25的直角三角形，两个三角形共用边长为25的木棒，刚好使用全部5根木棒，据此验证选项即可。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2=225+400=625≠24^2=576$，不是直角三角形，排除A；
选项B：右侧三角形三边为15、20、24，同理$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边7、20、25，$7^2+20^2=449≠25^2$，第二个三角形三边15、24、25，$15^2+24^2=801≠25^2$，均不是直角三角形，排除C；
选项D：第一个三角形三边7、24、25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，是直角三角形；第二个三角形三边15、20、25，$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，是直角三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题核心是利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题时先计算各边长的平方，再逐一验证每个三角形的三边是否满足勾股数关系即可，注意两个三角形共用一根木棒的特征，避免遗漏公共边的情况。
【难度系数】
0.7
4.如图,若$AB=10$,$BC=6$,$AC=8$,则边$AC$上的中线$BD$的长为 （
A.5
B.4
C.$2\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{10}$
C
）A.5
B.4
C.$2\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{10}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，且∠C为直角。接下来BD是AC边上的中线，根据中线定义可知D是AC中点，可求出CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：第一步，判断△ABC的形状：
已知$AB=10$，$BC=6$，$AC=8$，
计算得$BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$，
因此$BC^2 + AC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ C = 90°$。
第二步，求CD的长度：
因为BD是AC边上的中线，所以D为AC的中点，
则$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
第三步，在Rt△BCD中计算BD的长度：
根据勾股定理，$BD^2 = BC^2 + CD^2$，
代入数值得$BD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$，
所以$BD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；中线的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是先利用三边关系确定直角，再结合中线的性质，通过勾股定理求解线段长度，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，且∠C为直角。接下来BD是AC边上的中线，根据中线定义可知D是AC中点，可求出CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：第一步，判断△ABC的形状：
已知$AB=10$，$BC=6$，$AC=8$，
计算得$BC^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$AB^2 = 10^2 = 100$，
因此$BC^2 + AC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ C = 90°$。
第二步，求CD的长度：
因为BD是AC边上的中线，所以D为AC的中点，
则$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
第三步，在Rt△BCD中计算BD的长度：
根据勾股定理，$BD^2 = BC^2 + CD^2$，
代入数值得$BD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$，
所以$BD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；中线的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是先利用三边关系确定直角，再结合中线的性质，通过勾股定理求解线段长度，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
5.图①是北京第24届国际数学家大会的会标，它的设计源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为
44
。答案
44
解析
【分析】
解题时先结合图①的已知条件，设直角三角形的短直角边为a、长直角边为b：首先利用大正方形的面积结合勾股定理得到$a^2+b^2$的数值；再根据小正方形的面积得到两条直角边的差，通过完全平方公式变形求出$2ab$的值；最后观察图②可知其大正方形边长为$a+b$，将面积表达式展开后代入已求数值即可得到结果。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 图①中大正方形的面积为24，大正方形边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 24$；
2. 图①中小正方形的面积为4，因此小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，由弦图的边长关系可得$b - a = 2$，将等式两边平方得：$(b-a)^2 = 4$，展开后为$a^2 - 2ab + b^2 = 4$；
3. 将$a^2 + b^2 = 24$代入上式，可得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab = 20$；
4. 观察图②，其大正方形的边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$，展开得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
5. 代入$a^2 + b^2 = 24$、$2ab=20$，可得图②大正方形面积为$24 + 20 = 44$。
【答案】
44
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学弦图设计，考查数形结合思想的应用，解题核心是找到两个图形中直角三角形直角边的数量关系，通过代数变形即可快速求出面积，属于几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图①的已知条件，设直角三角形的短直角边为a、长直角边为b：首先利用大正方形的面积结合勾股定理得到$a^2+b^2$的数值；再根据小正方形的面积得到两条直角边的差，通过完全平方公式变形求出$2ab$的值；最后观察图②可知其大正方形边长为$a+b$，将面积表达式展开后代入已求数值即可得到结果。
【解析】
设直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$：
1. 图①中大正方形的面积为24，大正方形边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = 24$；
2. 图①中小正方形的面积为4，因此小正方形边长为$\sqrt{4}=2$，由弦图的边长关系可得$b - a = 2$，将等式两边平方得：$(b-a)^2 = 4$，展开后为$a^2 - 2ab + b^2 = 4$；
3. 将$a^2 + b^2 = 24$代入上式，可得$24 - 2ab = 4$，解得$2ab = 20$；
4. 观察图②，其大正方形的边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2$，展开得$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
5. 代入$a^2 + b^2 = 24$、$2ab=20$，可得图②大正方形面积为$24 + 20 = 44$。
【答案】
44
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学弦图设计，考查数形结合思想的应用，解题核心是找到两个图形中直角三角形直角边的数量关系，通过代数变形即可快速求出面积，属于几何与代数结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,每个小方格的边长都为1.
(1)求图中格点四边形ABCD的面积；
(2)请探究AD与CD的位置关系,并说明理由.
(1)求图中格点四边形ABCD的面积；
(2)请探究AD与CD的位置关系,并说明理由.
答案
(1) $\because S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×5×2=5$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×3=7.5$,$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=5+7.5=12.5$；
(2) $AD⊥ CD$.理由:由勾股定理,得 $AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$CD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore AD^2+CD^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=AC^2$.$\therefore △ ACD$ 为直角三角形,且$∠ ADC=90°$,$\therefore AD⊥ CD$.
(2) $AD⊥ CD$.理由:由勾股定理,得 $AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$CD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore AD^2+CD^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=AC^2$.$\therefore △ ACD$ 为直角三角形,且$∠ ADC=90°$,$\therefore AD⊥ CD$.
解析
【分析】
（1）求格点四边形的面积可采用分割法，将四边形ABCD拆分为△ADC和△ABC两个三角形，先确定公共边AC的长度，再分别找到两个三角形以AC为底时对应的高，利用三角形面积公式分别计算两个三角形面积后求和，即可得到四边形的总面积。
（2）判断AD和CD的位置关系时，可先借助勾股定理求出AD、CD、AC的长度，再通过勾股定理的逆定理验证△ACD是否为直角三角形，若两边的平方和等于第三边的平方，则对应夹角为直角，即可得到两条线段的位置关系。
【解析】
（1）观察格点图可得，AC长为5，△ADC中AC边上的高为2，△ABC中AC边上的高为3：
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×5×2=5$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=5+7.5=12.5$。
（2）$AD⊥CD$，理由如下：
根据勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=5$
计算边长平方可得：
$AD^2+CD^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$AC^2=5^2=25$
即$AD^2+CD^2=AC^2$，由勾股定理的逆定理可知△ACD为直角三角形，且$∠ ADC=90°$，因此$AD⊥CD$。
【答案】
(1) 格点四边形ABCD的面积为12.5；
(2) $AD⊥CD$，理由见解析。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于典型的格点几何基础题，解题核心是熟练掌握格点问题中常用的割补法和勾股定理及逆定理的应用，这类方法是解决格点图形面积、线段位置关系等问题的常用技巧，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
（1）求格点四边形的面积可采用分割法，将四边形ABCD拆分为△ADC和△ABC两个三角形，先确定公共边AC的长度，再分别找到两个三角形以AC为底时对应的高，利用三角形面积公式分别计算两个三角形面积后求和，即可得到四边形的总面积。
（2）判断AD和CD的位置关系时，可先借助勾股定理求出AD、CD、AC的长度，再通过勾股定理的逆定理验证△ACD是否为直角三角形，若两边的平方和等于第三边的平方，则对应夹角为直角，即可得到两条线段的位置关系。
【解析】
（1）观察格点图可得，AC长为5，△ADC中AC边上的高为2，△ABC中AC边上的高为3：
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×5×2=5$
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×3=7.5$
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=5+7.5=12.5$。
（2）$AD⊥CD$，理由如下：
根据勾股定理计算各边长度：
$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=5$
计算边长平方可得：
$AD^2+CD^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$AC^2=5^2=25$
即$AD^2+CD^2=AC^2$，由勾股定理的逆定理可知△ACD为直角三角形，且$∠ ADC=90°$，因此$AD⊥CD$。
【答案】
(1) 格点四边形ABCD的面积为12.5；
(2) $AD⊥CD$，理由见解析。
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于典型的格点几何基础题，解题核心是熟练掌握格点问题中常用的割补法和勾股定理及逆定理的应用，这类方法是解决格点图形面积、线段位置关系等问题的常用技巧，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
