12.综合与实践
小明同学在课上进行了项目式学习实践探究,并绘制了如下记录表格:
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型抽象
测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15 m
②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线AB的长为17 m
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6 m
说明 点A,B,E,D在同一平面内
请根据表格信息,解答下列问题.
(1)求线段AD的长;
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12 m,则在ED长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米风筝线?

12.解:(1)过点$B$作$BC⊥ AD$于点$C$.在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠ACB=90°$,$BC=15\ \mathrm{m}$,$AB=17\ \mathrm{m}$.由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$,$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m})$;
(2)风筝沿$DA$方向再上升12 m后,风筝距点$C$处水平线的高度为20 m,则此时风筝线的长为$\sqrt{15^2+20^2}=25(\mathrm{m})$,$25-17=8(\mathrm{m})$.答:小明同学应该再放出8 m风筝线.

【分析】
（1）要求垂直高度AD，首先通过作辅助线$BC⊥AD$，构造出矩形BCDE和直角三角形ABC，利用矩形性质得到$BC=ED=15\mathrm{m}$、$CD=BE=1.6\mathrm{m}$，再在直角三角形ABC中用勾股定理求出AC的长度，最后将AC与CD相加即可得到AD的长度。
（2）风筝上升12m后，其到水平线BC的垂直高度变为原来AC的长度加12m，水平距离BC保持15m不变，再次用勾股定理求出新的风筝线长度，减去原有风筝线长度就能得到需要再放出的线长。
【解析】
(1) 过点$B$作$BC⊥ AD$于点$C$。
∵$BE⊥ED$，$AD⊥ED$，$BC⊥AD$，
∴四边形BCDE是矩形，
∴$BC=ED=15\ \mathrm{m}$，$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AB=17\ \mathrm{m}$，$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$，
∴$AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m})$。
(2) 风筝沿$DA$方向再上升12 m后，风筝到$BC$所在水平线的垂直高度为$8+12=20(\mathrm{m})$，
此时水平距离仍为15 m，由勾股定理得新的风筝线长度为$\sqrt{15^2+20^2}=25(\mathrm{m})$，
则需要再放出的风筝线长度为$25-17=8(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9.6\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形构造，实际测量应用
【点评】
本题结合生活场景考察几何知识的实际应用，解题核心是通过辅助线将实际问题转化为直角三角形计算问题，侧重考察学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75