19. 如图，在$△ ABC$中，点E在边BA上，$AD⊥ BC$，$EF⊥ BC$，垂足分别是D，F，$∠1=∠2$.
(1)DG与BA平行吗？请写出证明过程.
(2)若$∠ B=51°$，$∠ C=54°$，求$∠ CGD$的度数.

(1)DG与AB平行. 理由：
$\because AD⊥BC$，$EF⊥BC$，$\therefore AD// EF$，$\therefore ∠2=∠3$，$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠1=∠3$，$\therefore DG// BA$.
(2)$75°$

【分析】
(1)要判断DG与BA是否平行，可通过寻找角的关系证明：首先由AD、EF都垂直于BC，可推出AD与EF平行，得到∠2=∠3，结合已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠3，这组角是DG、BA被AD所截的内错角，内错角相等即可证明两直线平行。
(2)要求∠CGD的度数，先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数，再根据(1)中得到的DG//BA，利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，即可得到∠CGD=∠BAC，从而求出结果。
【解析】
(1)DG与BA平行，证明如下：
∵$AD⊥BC$，$EF⊥BC$，
∴$∠EFB=∠ADB=90°$，
∴$AD// EF$（同位角相等，两直线平行），
∴$∠2=∠3$（两直线平行，同位角相等），
又
∵$∠1=∠2$，
∴$∠1=∠3$（等量代换），
∴$DG// BA$（内错角相等，两直线平行）。
(2)在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-54°=75°$，
由(1)知$DG// BA$，
∴$∠CGD=∠BAC=75°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1)DG与BA平行，证明见上述解析；(2)$75°$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行线的判定、性质与三角形内角和知识结合考查，解题时从已知的垂直关系、角相等的条件出发，逐步推导角的数量关系，即可顺利解决问题。
【难度系数】
0.7

20. 如图，直线AB，CD交于点O，过点O作射线OE，OF，使OE平分$∠ AOC$，$∠ COF=3∠ COE$。
(1)若$∠ AOD=134°$，求$∠ BOF$的度数；
(2)若$OE⊥ OF$，求$∠ BOD$的度数。

(1)$65°$ (2)$45°$

【分析】
本题考查相交线中的角度计算，解题思路如下：
(1) 先利用邻补角和为180°，由已知∠AOD的度数求出∠AOC的度数；再根据角平分线的性质算出∠COE的度数，结合∠COF与∠COE的倍数关系得到∠COF的度数；最后根据平角为180°，用180°减去∠AOC与∠COF的和，即可求出∠BOF的度数。
(2) 先根据垂直的定义得到∠EOF=90°，结合∠COF=3∠COE的数量关系求出∠COE的度数；再由角平分线的性质算出∠AOC的度数；最后根据对顶角相等，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
(1) 解：
∵直线AB、CD交于点O，∠AOD=134°
∴∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 134° = 46°
∵OE平分∠AOC
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×46°=23°$
∵∠COF=3∠COE
∴∠COF=3×23°=69°
又
∵∠AOB是平角，即∠AOB=180°
∴∠BOF=180° - ∠AOC - ∠COF=180° - 46° - 69°=65°
(2) 解：
∵OE⊥OF
∴∠EOF=90°，即∠COE + ∠COF=90°
设∠COE=x，则∠COF=3x，代入得：
x+3x=90°
解得x=22.5°，即∠COE=22.5°
∵OE平分∠AOC
∴∠AOC=2∠COE=2×22.5°=45°
∵∠BOD与∠AOC是对顶角
∴∠BOD=∠AOC=45°
【答案】
(1) $65°$；(2) $45°$
【知识点】
对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题的关键是理清图中各个角之间的位置关系和数量关系，熟练运用邻补角、对顶角、角平分线、垂直的相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7