登录
【变式4】在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠COD=90°，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是
60°或120°
。答案
分以下两种情况：
①如图
，当射线OC，OD在直线AB的同一侧时。因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠BOD=180°−90°−∠AOC=180°−90°−30°=60°。
②如图
，当射线OC，OD在直线AB的两侧时。因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠AOD=90°−∠AOC=90°−30°=60°，所以∠BOD=180°−∠AOD=180°−60°=120°。
综上所述，∠BOD的度数是60°或120°。
解析
【分析】
这道题没有给出固定图形，首先要考虑射线OC、OD的位置关系，存在两种可能：①两条射线在直线AB的同侧；②两条射线在直线AB的两侧。我们结合平角为180°、已知∠COD=90°和∠AOC=30°的条件，分别对两种情况利用角的和差关系计算∠BOD的度数即可，注意不要漏算任意一种情况。
【解析】
分以下两种情况：
①如图，当射线OC，OD在直线AB的同一侧时。
因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠BOD=180°−90°−∠AOC=180°−90°−30°=60°。
②如图，当射线OC，OD在直线AB的两侧时。
因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠AOD=90°−∠AOC=90°−30°=60°，所以∠BOD=180°−∠AOD=180°−60°=120°。
综上所述，∠BOD的度数是60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
角的和差运算，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型考法，解题的关键是具备分类讨论的意识，考虑到所有可能的图形位置，再结合角的基本和差关系计算即可，易错点是遗漏其中一种位置情况导致答案不全。
【难度系数】
0.6
这道题没有给出固定图形，首先要考虑射线OC、OD的位置关系，存在两种可能：①两条射线在直线AB的同侧；②两条射线在直线AB的两侧。我们结合平角为180°、已知∠COD=90°和∠AOC=30°的条件，分别对两种情况利用角的和差关系计算∠BOD的度数即可，注意不要漏算任意一种情况。
【解析】
分以下两种情况：
①如图
，当射线OC，OD在直线AB的同一侧时。因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠BOD=180°−90°−∠AOC=180°−90°−30°=60°。
②如图
，当射线OC，OD在直线AB的两侧时。因为∠COD=90°，∠AOC=30°，所以∠AOD=90°−∠AOC=90°−30°=60°，所以∠BOD=180°−∠AOD=180°−60°=120°。
综上所述，∠BOD的度数是60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
角的和差运算，平角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型考法，解题的关键是具备分类讨论的意识，考虑到所有可能的图形位置，再结合角的基本和差关系计算即可，易错点是遗漏其中一种位置情况导致答案不全。
【难度系数】
0.6
【典例5】若C是线段AB上的任意一点，且$AB=a$，$BC=b$，M，N分别是AB，BC的中点，求线段MN的长.(用含$a$，$b$的代数式表示)
[答案]因为$AB=a$，M是AB的中点，所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为$BC=b$，N是BC的中点，所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$，
所以$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b$，即线段MN的长为$\frac{a-b}{2}$。
[答案]因为$AB=a$，M是AB的中点，所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为$BC=b$，N是BC的中点，所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$，
所以$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b$，即线段MN的长为$\frac{a-b}{2}$。
答案
解：
因为M是AB的中点，AB=a，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为N是BC的中点，BC=b，
所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
根据线段的和差关系可得：
$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$。
即线段MN的长为$\frac{a-b}{2}$。
因为M是AB的中点，AB=a，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为N是BC的中点，BC=b，
所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
根据线段的和差关系可得：
$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$。
即线段MN的长为$\frac{a-b}{2}$。
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：首先观察线段图，能发现MN的长度等于BM的长度减去BN的长度，因此需要先求出BM和BN的长度。已知M、N分别是AB、BC的中点，根据线段中点的性质，中点会把原线段分成两段长度相等的线段，每段长度都是原线段的一半，我们就可以先用a、b分别表示出BM和BN的长度，再作差就能得到MN的长度。
【解析】
因为M是AB的中点，$AB=a$，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为N是BC的中点，$BC=b$，
所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
根据线段的和差关系可得：
$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$。
【答案】
$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是利用线段中点的性质得到相关线段的数量关系，再结合线段的和差规则计算未知线段长度，解题时结合图形梳理各线段的位置关系，能有效避免搞错加减逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时可按照以下思路推导：首先观察线段图，能发现MN的长度等于BM的长度减去BN的长度，因此需要先求出BM和BN的长度。已知M、N分别是AB、BC的中点，根据线段中点的性质，中点会把原线段分成两段长度相等的线段，每段长度都是原线段的一半，我们就可以先用a、b分别表示出BM和BN的长度，再作差就能得到MN的长度。
【解析】
因为M是AB的中点，$AB=a$，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$。
因为N是BC的中点，$BC=b$，
所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$。
根据线段的和差关系可得：
$MN=BM-BN=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=\frac{a-b}{2}$。
【答案】
$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是利用线段中点的性质得到相关线段的数量关系，再结合线段的和差规则计算未知线段长度，解题时结合图形梳理各线段的位置关系，能有效避免搞错加减逻辑。
【难度系数】
0.8
【变式5】如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点。
(1)若AC=a cm，CB=b cm，则线段MN的长为
(2)若C为线段AB上的任意一点，且AB=n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请说明理由，并简单描述你发现的结论。
(1)若AC=a cm，CB=b cm，则线段MN的长为
$\frac{a+b}{2}$
cm。(2)若C为线段AB上的任意一点，且AB=n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？请说明理由，并简单描述你发现的结论。
答案
解：(1)因为M，N分别是AC，BC的中点，AC=a cm，CB=b cm，
所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}a$ cm，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}b$ cm，
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$(cm)。
故答案为$\frac{a+b}{2}$。
(2)猜想：MN=$\frac{1}{2}n$ cm。理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，AB=n cm，
所以CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC+BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}n$ cm。
发现的结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB。
所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}a$ cm，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}b$ cm，
所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$(cm)。
故答案为$\frac{a+b}{2}$。
(2)猜想：MN=$\frac{1}{2}n$ cm。理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，AB=n cm，
所以CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，所以MN=MC+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC+BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}n$ cm。
发现的结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB。
解析
【分析】
解题时先抓住已知条件“M，N分别是AC，BC的中点”，回忆线段中点的定义：中点将线段分为长度相等的两部分，每部分长度是原线段的$\frac{1}{2}$。
(1) 要求MN的长度，观察图形可知MN=MC+CN，我们可以先分别求出MC、CN的长度，再相加即可得到结果。
(2) 已知AB总长度，不知道AC、BC各自的长度，我们可以将MN的表达式提取公因式$\frac{1}{2}$，转化为$\frac{1}{2}$(AC+BC)，结合AC+BC=AB，即可得到MN和AB的关系，该关系和C的位置无关，由此总结出通用结论。
【解析】
(1) 因为M，N分别是AC，BC的中点，AC=a cm，CB=b cm，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$ cm，
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$ cm。
(2) 猜想：$MN=\frac{1}{2}n$ cm。理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，AB=n cm，
所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$ cm。
发现的结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{2}$
(2) 猜想MN的长度为$\frac{1}{2}n$ cm，结论为：若C为线段AB上任意一点，M、N分别是AC、BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、线段规律推导
【点评】
本题是线段运算的经典题型，核心是利用线段中点的性质转化线段长度关系，第二问用到的整体代换思想是解决线段、角度运算类问题的常用思路，掌握本题结论可快速求解同类型的线段长度问题。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住已知条件“M，N分别是AC，BC的中点”，回忆线段中点的定义：中点将线段分为长度相等的两部分，每部分长度是原线段的$\frac{1}{2}$。
(1) 要求MN的长度，观察图形可知MN=MC+CN，我们可以先分别求出MC、CN的长度，再相加即可得到结果。
(2) 已知AB总长度，不知道AC、BC各自的长度，我们可以将MN的表达式提取公因式$\frac{1}{2}$，转化为$\frac{1}{2}$(AC+BC)，结合AC+BC=AB，即可得到MN和AB的关系，该关系和C的位置无关，由此总结出通用结论。
【解析】
(1) 因为M，N分别是AC，BC的中点，AC=a cm，CB=b cm，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$ cm，$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}b$ cm，
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+b}{2}$ cm。
(2) 猜想：$MN=\frac{1}{2}n$ cm。理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，AB=n cm，
所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}n$ cm。
发现的结论：若C为线段AB上的任意一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{2}$
(2) 猜想MN的长度为$\frac{1}{2}n$ cm，结论为：若C为线段AB上任意一点，M、N分别是AC、BC的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、线段规律推导
【点评】
本题是线段运算的经典题型，核心是利用线段中点的性质转化线段长度关系，第二问用到的整体代换思想是解决线段、角度运算类问题的常用思路，掌握本题结论可快速求解同类型的线段长度问题。
【难度系数】
0.8
