【变式2】如图，射线OD是∠BOC的平分线，射线OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC=3：2.若∠BOE=13°，则∠DOE的度数为。

因为∠AOB：∠BOC=3：2，所以设∠AOB=3x，∠BOC=2x，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x。因为射线OE是∠AOC的平分线，所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{5}{2}x$，所以∠BOE=∠AOB−∠AOE=$3x-\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}x$。因为∠BOE=13°，所以$\frac{1}{2}x=13°$，解得$x=26°$。因为射线OD是∠BOC的平分线，所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$x=26°$，所以∠DOE=∠DOB+∠BOE=26°+13°=39°。

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出了∠AOB和∠BOC的比例关系、两条角平分线，以及∠BOE的具体度数，目标是求∠DOE。我们可以先根据比例关系设未知数，将两个相关角用含同一未知数的式子表示，再结合角平分线的定义表示出其他相关角的大小，利用∠BOE的度数求出未知数的值，最后将∠DOE拆分为两个可求角的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知∠AOB:∠BOC=3:2，设∠AOB=3x，∠BOC=2x，
则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 3x + 2x = 5x。
因为射线OE是∠AOC的平分线，根据角平分线的定义：
∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×5x = $\frac{5}{2}$x，
所以∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 3x - $\frac{5}{2}$x = $\frac{1}{2}$x。
又因为∠BOE=13°，因此$\frac{1}{2}$x = 13°，解得x=26°。
因为射线OD是∠BOC的平分线，所以∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×2x = x = 26°，
因此∠DOE = ∠BOD + ∠BOE = 26° + 13° = 39°。
【答案】
39°
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算，比例的应用
【点评】
本题是角度计算的典型题型，结合了方程思想与角的基本性质考查，解题的突破口是根据角度比例设未知数，结合已知角的大小求出未知参数，再拆分目标角计算，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

【典例3】已知线段AB=8 cm,在直线AB上有一点C,且BC=4 cm,M是线段AC的中点,求线段BM的长.(请同学们先画出符合题意的图形,再解答该问题.)
[思路导引]应考虑到A,B,C三点之间的位置关系的多种可能,即点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上.
[答案]解:分以下两种情况.
①如图,当点C在线段AB上时.
因为AB=8 cm,BC=4 cm,所以AC=AB-BC=8-4=4(cm).
因为M是AC的中点,所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2(cm),所以BM=CM+BC=2+4=6(cm).
②如图,当点C在线段AB的延长线上时.
因为AB=8 cm,BC=4 cm,所以AC=AB+BC=8+4=12(cm),
所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6(cm),所以BM=CM-BC=6-4=2(cm).
综上,线段BM的长是2 cm或6 cm.

解：分以下两种情况讨论。
①当点C在线段AB上时，
因为AB=8 cm，BC=4 cm，
所以$AC=AB-BC=8-4=4(\mathrm{cm})$。
因为M是线段AC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM+BC=2+4=6(\mathrm{cm})$。
②当点C在线段AB的延长线上时，
因为AB=8 cm，BC=4 cm，
所以$AC=AB+BC=8+4=12(\mathrm{cm})$，
因为M是线段AC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM-BC=6-4=2(\mathrm{cm})$。
综上，线段BM的长是2 cm或6 cm。

【分析】
题目中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时先分两种情况画出对应示意图，再结合线段的和差关系、线段中点的性质分别计算BM的长度，最后汇总结果即可。
【解析】
分以下两种情况讨论：
①当点C在线段AB上时，
因为AB=8 cm，BC=4 cm，
所以$AC=AB-BC=8-4=4(\mathrm{cm})$。
因为M是线段AC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM+BC=2+4=6(\mathrm{cm})$。
②当点C在线段AB的延长线上时，
因为AB=8 cm，BC=4 cm，
所以$AC=AB+BC=8+4=12(\mathrm{cm})$，
因为M是线段AC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$，
所以$BM=CM-BC=6-4=2(\mathrm{cm})$。
综上，线段BM的长是2 cm或6 cm。
【答案】
2 cm或6 cm
【知识点】
线段和差计算、线段中点定义、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算类的典型易错题，核心考查思维的严谨性，易错点是忽略直线上点的位置的多样性，只计算其中一种情况。解题时借助画图分析不同位置下各线段的数量关系，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.6

【变式3】已知线段$AB=6$，在直线$AB$上取一点$P$，恰好使得$AP=2PB$.若$Q$为$PB$的中点，则线段$AQ$的长为.

分以下两种情况：
①如图，当点P在线段AB上时。
因为AP=2PB，且AB=6，所以AP=4，BP=2。
因为Q为PB的中点，所以PQ=1，所以AQ=AP+PQ=5。
②如图，当点P在线段AB的延长线上时。
因为AP=2PB，所以B是AP的中点，所以BP=AB=6。因为Q是PB的中点，所以BQ=QP=3，所以AQ=AB+BQ=9。
综上所述，AQ的长为5或9。

【分析】
题目中说明点P在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点P的位置有两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段AB的延长线上，需分类讨论求解。解题时先结合AP=2PB和AB的长度求出PB的长度，再根据Q是PB中点的性质算出对应小段的长度，最后通过线段的和差关系计算AQ的长度即可。
【解析】
分以下两种情况计算：
①如图，当点P在线段AB上时：
因为AP=2PB，且AB=AP+PB=6，将AP替换为2PB可得：2PB+PB=6，即3PB=6，解得PB=2，AP=2×2=4。
又因为Q为PB的中点，所以PQ=PB÷2=1，因此AQ=AP+PQ=4+1=5。
②如图，当点P在线段AB的延长线上时：
因为AP=2PB，此时AP=AB+PB，代入得AB+PB=2PB，所以PB=AB=6。
又因为Q是PB的中点，所以BQ=PB÷2=3，因此AQ=AB+BQ=6+3=9。
综上，线段AQ的长为5或9。
【答案】
5或9
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略点P在线段AB延长线上的情况，导致漏解。做题时遇到“直线上取点”的条件，要先考虑所有可能的点的位置，再结合线段的性质和和差关系逐步计算。
【难度系数】
0.6

【典例4】已知$∠ AOB$，过点$O$引两条射线$OC$，$OM$，且$OM$平分$∠ AOC$.若$∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$（$α＜β＜90°$），画出图形并直接写出$∠ BOM$的度数.（用含$α$，$β$的式子表示）
[思路导引] 分两种情况，分别画出相应的图形进行计算即可.
[答案] 解:分以下两种情况.
①如图1，当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的同侧时.
因为$∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
所以$∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=β-α$.
因为$OM$平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{β-α}{2}$，
所以$∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=\frac{α+β}{2}$.

②如图2，当射线$OC$、射线$OA$在射线$OB$的异侧时.
因为$∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=α+β$.
因为$OM$平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{α+β}{2}$，所以$∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{β-α}{2}$.
综上，$∠ BOM$的度数为$\frac{α+β}{2}$或$\frac{β-α}{2}$.

解：分以下两种情况求解。
① 如图1，当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时：
$\because ∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=β-α$。
$\because OM$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{β-α}{2}$，
$\therefore ∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=\frac{α+β}{2}$。
② 如图2，当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时：
$\because ∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=α+β$。
$\because OM$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{α+β}{2}$，
$\therefore ∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{β-α}{2}$。
综上，$∠ BOM$的度数为$\frac{α+β}{2}$或$\frac{β-α}{2}$。

【分析】
本题未明确射线OC的位置，因此需要分类讨论两种情况：①射线OC、射线OA在射线OB的同侧；②射线OC、射线OA在射线OB的异侧。每种情况先通过已知的∠AOB、∠BOC的度数，利用角的和差关系求出∠AOC的度数，再结合OM平分∠AOC的条件算出∠AOM的度数，最后通过角的和差计算出∠BOM的度数即可。
【解析】
分以下两种情况求解：
① 当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时：
$\because ∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC-∠ AOB=β-α$。
$\because OM$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{β-α}{2}$，
$\therefore ∠ BOM=∠ AOB+∠ AOM=α+\frac{β-α}{2}=\frac{α+β}{2}$。
② 当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时：
$\because ∠ AOB=α$，$∠ BOC=β$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=α+β$。
$\because OM$平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{α+β}{2}$，
$\therefore ∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=\frac{α+β}{2}-α=\frac{β-α}{2}$。
【答案】
$\frac{α+β}{2}$或$\frac{β-α}{2}$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的典型题目，解题核心是注意射线位置不确定时要分类讨论，避免漏解，只要熟练掌握角平分线的性质和角的和差关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.6