【典例6】如图,点O在直线AB上,射线OC,OD在直线AB的同侧,∠COD=104°,OM,ON分别平分∠BOC和∠AOD,则∠MON的度数为。

[思路导引]∠MON可由三个角的和求得,其中∠COD已知,问题转化为求∠NOD,∠COM的度数,根据角平分线的性质,可以把两角的和作为一个整体求出。
[解析]由题意,得∠AOD+∠BOC=180°−∠COD=180°−104°=76°。
因为OM,ON分别平分∠BOC和∠AOD,所以∠NOD=$\frac{1}{2}$∠AOD,∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC,
所以∠NOD+∠COM=$\frac{1}{2}$(∠AOD+∠BOC)=$\frac{1}{2}$×76°=38°,
所以∠MON=∠NOD+∠COM+∠COD=38°+104°=142°。
[答案]142°

解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
∵ ∠COD = 104°，
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180° - 104° = 76°。
∵ OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，
∴ ∠NOD = $\frac{1}{2}$∠AOD，∠COM = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∴ ∠NOD + ∠COM = $\frac{1}{2}$(∠AOD + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×76° = 38°，
∴ ∠MON = ∠NOD + ∠COD + ∠COM = 38° + 104° = 142°。

【分析】
解题时首先根据点O在直线AB上得到∠AOB是平角，度数为180°，结合已知的∠COD的度数，先求出∠AOD与∠BOC的和；再根据角平分线的性质，得到∠NOD和∠COM的和，最后将∠MON拆分为∠NOD+∠COD+∠COM三部分，代入数值计算即可。解题时无需单独求∠AOD和∠BOC各自的度数，用整体思想计算更简便。
【解析】
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOD + ∠COD + ∠BOC = 180°，
∵ ∠COD = 104°，
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180° - 104° = 76°。
∵ OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，
∴ ∠NOD = $\frac{1}{2}$∠AOD，∠COM = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∴ ∠NOD + ∠COM = $\frac{1}{2}$(∠AOD + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×76° = 38°，
∴ ∠MON = ∠NOD + ∠COD + ∠COM = 38° + 104° = 142°。
【答案】
142°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角运算的典型题型，解题过程运用了整体思想，无需单独计算每个未知角的度数，有效简化了计算步骤，同学们要熟练掌握这种整体代入求解的方法。
【难度系数】
0.7

【变式6】如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF的度数为。

由折叠的性质，得∠DBF=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，
所以∠EBF=$\frac{1}{2}$∠CBD+$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠ABD)=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×90°=45°。

【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后重合的角大小相等；再结合长方形的特征，长方形的内角都是90°，即∠ABC=90°。观察图形可知，折叠后BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，要求的∠EBF是∠DBE与∠DBF的和，把这两个角用对应的原角的一半表示，再合并就能发现∠EBF是∠ABC的一半，代入计算即可。
【解析】
根据折叠的性质，折叠后对应角相等，因此：
$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ CBD$，$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABD$
因为四边形ABCD是长方形，所以$∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=90°$
则$∠ EBF=∠ DBE+∠ DBF$
$=\frac{1}{2}∠ ABD+\frac{1}{2}∠ CBD$
$=\frac{1}{2}(∠ ABD+∠ CBD)$
$=\frac{1}{2}×90°=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
折叠的性质，角的和差运算，长方形的性质
【点评】
本题是角的运算的典型考题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，将所求角转化为已知直角的一半，解题时结合图形理清角之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.75

【典例7】如图,数轴上A,B两点对应的数分别为10和15,点P从点A处出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O处出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t s.
(1)当$0＜t＜5$时,$BP=$,$AQ=$;(用含t的式子表示)
(2)当$t=2$时,求PQ的长;
(3)当$PQ=\frac{1}{2}AB$时,求t的值.
[思路导引] (1)当$0＜t＜5$时,先求出当$0＜t＜5$时,点P在数轴上对应的数为$10+t$,点Q在数轴上对应的数为$2t$,再根据两点间的距离公式即可求出BP,AQ的长.

(2)先求出当$t=2$时,点P对应的数为$10+2=12$,点Q对应的数为$2×2=4$,再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长.
(3)当运动时间为t s时,根据两点间的距离公式得出$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$,根据$PQ=\frac{1}{2}AB$列出方程,再解方程即可.
[答案] 解:(1)因为当$0＜t＜5$时,点P对应的数为$10+t＜15$,点Q对应的数为$2t＜10$,
所以$BP=15-(10+t)=5-t$,$AQ=10-2t$.故答案为5-t,10-2t.
(2)当$t=2$时,点P对应的数为$10+2=12$,点Q对应的数为$2×2=4$,
所以$PQ=12-4=8$.
(3)因为运动时间为t s时,点P对应的数为$10+t$,点Q对应的数为$2t$,
所以$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$.
当$PQ=\frac{1}{2}AB$时,$|t-10|=2.5$,解得$t=12.5$或$t=7.5$.

解：
(1) 当$0＜t＜5$时，点P对应的数为$10+t$，点Q对应的数为$2t$，
$BP=15-(10+t)=5-t$，
$AQ=10-2t$。
故答案为：$5-t$，$10-2t$。
(2) 当$t=2$时，
点P对应的数为$10+2=12$，
点Q对应的数为$2×2=4$，
$PQ=12-4=8$。
(3) 运动时间为$t\ \mathrm{s}$时，点P对应的数为$10+t$，点Q对应的数为$2t$，
$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$。
$\because AB=15-10=5$，
$\therefore \frac{1}{2}AB=2.5$。
列方程得$|t-10|=2.5$，
解得$t=7.5$或$t=12.5$。

【分析】
这是数轴上的动点问题，解题核心是先明确运动t秒后各点对应的数：点的对应数=初始位置+速度×运动时间。
1. 解第一问时，结合0＜t＜5的范围可判断：点P在A、B之间，点Q在O、A之间，两点距离直接用右侧点的数减左侧点的数即可。
2. 解第二问时，将t=2代入，分别求出此时P、Q对应的数，再计算两点距离。
3. 解第三问时，先算出AB的长度得到PQ的目标值，因不确定P、Q的左右位置，用绝对值表示PQ的距离，列方程求解时要注意绝对值方程有两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 当$0＜t＜5$时，点P从对应数为10的A点出发向右运动，速度为1单位/秒，对应数为$10+t$；点Q从原点出发向右运动，速度为2单位/秒，对应数为$2t$。
由$0＜t＜5$可得$10+t＜15$（P在B左侧），$2t＜10$（Q在A左侧），因此：
$BP=15-(10+t)=5-t$
$AQ=10-2t$
(2) 当$t=2$时，
点P对应的数为$10+2=12$
点Q对应的数为$2×2=4$
因此$PQ=12-4=8$
(3) 先计算AB的长度：$AB=15-10=5$，因此$\frac{1}{2}AB=2.5$。
运动t秒时，点P对应数为$10+t$，点Q对应数为$2t$，两点距离为：
$PQ=|2t-(10+t)|=|t-10|$
根据题意列方程：$|t-10|=2.5$
即$t-10=2.5$或$t-10=-2.5$，解得$t=12.5$或$t=7.5$。
【答案】
(1) $5-t$，$10-2t$
(2) $8$
(3) $t=7.5$或$t=12.5$
【知识点】
数轴动点问题，两点间距离计算，含绝对值的方程求解
【点评】
本题是数轴动点的典型基础题，考察了动态场景下点的位置表示、数轴上两点距离的计算方法，解题时要注意给定的时间范围对点的位置的限制，列绝对值方程时要考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7