【典例1】若$|a-3|+|b-4|=0$，则$a=$，$b=$.
[思路导引] 根据绝对值的非负性可知，$|a-3|≥0$，$|b-4|≥0$，若非负数的和为零，则每个式子分别为0，即$|a-3|=0$且$|b-4|=0$，所以$a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$.
[答案] 3 4

$\boldsymbol{a=3}$，$\boldsymbol{b=4}$

【分析】
我们已经知道绝对值具有非负性，也就是任意数的绝对值都大于或等于0。现在两个绝对值的和等于0，我们可以推导：如果其中任意一个绝对值是正数，那么加上另一个大于等于0的数，结果肯定大于0，不可能等于0，所以只能两个绝对值都等于0，接下来分别令两个绝对值里面的式子等于0，就能算出a和b的值了。
【解析】
解：根据绝对值的非负性可得：
$|a-3|≥0$，$|b-4|≥0$
又因为$|a-3|+|b-4|=0$，只有两个绝对值都为0时和才为0，即：
$|a-3|=0$，$|b-4|=0$
根据绝对值为0的数是0本身，可得：
$a-3=0$，$b-4=0$
解得：$a=3$，$b=4$
【答案】
$a=3$，$b=4$
【知识点】
绝对值的非负性；非负数和为0的性质
【点评】
本题是绝对值性质的基础典型题，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，明确若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0，该规律是后续求解同类非负数求和题型的核心依据。
【难度系数】
0.9

【变式1】若$|a-1|+|2b-3|+|2-c|=0$，则$a=$，$b=$，$c=$。

根据题意，得$a-1=0$，$2b-3=0$，$2-c=0$，所以$a=1,b=1.5,c=2.$

【分析】
我们已经知道任意一个数的绝对值都是非负数（即大于或等于0），题目中三个绝对值的和为0，要满足几个非负数相加的结果是0，只能是每一个非负数都等于0，因此我们可以得到三个关于a、b、c的简单方程，分别求解这三个方程就能得到a、b、c的值。
【解析】
根据绝对值的性质可知：$\vert a-1\vert≥0$，$\vert 2b-3\vert≥0$，$\vert 2-c\vert≥0$。
因为几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，所以可得：
$a-1=0$，解得$a=1$；
$2b-3=0$，即$2b=3$，解得$b=1.5$；
$2-c=0$，解得$c=2$。
【答案】
$1$；$1.5$；$2$
【知识点】
绝对值的非负性；非负数和为0的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是绝对值相关的基础常考题，核心考查对绝对值非负性的理解与应用，只要熟练掌握“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8

【典例2】根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：
(1)当x=时，|x−2026|有最小值，这个最小值是；
(2)当x=时，2026−|x−1|有最大值，这个最大值是.
[思路导引] (1)根据绝对值的非负性可知，|x−2026|≥0，当绝对值等于0时，式子的值最小，此时x−2026=0，所以x=2026；(2)结合被减数、减数和差的关系，当减数|x−1|最小时，差最大，把求2026−|x−1|的最大值转化为求|x−1|的最小值问题，结合题意可知，当x−1=0时，2026−|x−1|有最大值，最大值是2026.
[答案] (1)2026 0 (2)1 2026
【变式2】(1)当x=时，3+|2−x|有最小值，这个最小值是；
(2)当x=时，−|2−x|+3有最大值，这个最大值是.

(1)$|2-x|≥0$，当$2-x=0$，即$x=2$时，其最小值为0，所以$3+|2-x|$的最小值是3。
(2)$-|2-x|$与$|2-x|$互为相反数，所以$-|2-x|≤0$，当$2-x=0$，即$x=2$时，其最大值为0，所以$-|2-x|+3$的最大值是3。

【分析】
解题核心是利用绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，最小为0。
(1) 式子3+|2-x|是固定数3加上|2-x|，要让整个式子的值最小，就要让相加的|2-x|取到最小值0，此时只需要求解|2-x|=0时的x值，再代入计算式子的最小值即可。
(2) 式子-|2-x|+3是固定数3加上-|2-x|，因为|2-x|≥0，所以-|2-x|≤0，最大值为0；要让整个式子的值最大，就要让相加的-|2-x|取到最大值0，此时求解|2-x|=0时的x值，再代入计算式子的最大值即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质可知|2-x|≥0，因此|2-x|的最小值是0。
当|2-x|=0时，2-x=0，解得x=2，代入原式得3+|2-x|=3+0=3，即式子的最小值为3。
(2) 由|2-x|≥0可得，-|2-x|≤0，因此-|2-x|的最大值是0。
当-|2-x|=0时，2-x=0，解得x=2，代入原式得-|2-x|+3=0+3=3，即式子的最大值为3。
【答案】
(1)2，3；(2)2，3
【知识点】
绝对值的非负性，代数式最值计算
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，解题关键是将含绝对值的代数式的最值转化为绝对值本身的最值问题，掌握该方法可快速解决同类型的绝对值最值题目。
【难度系数】
0.7

【典例3】阅读下列材料:我们知道$|x|$的几何意义是在数轴上数$x$对应的点与原点的距离,即$|x|=|x-0|$,也就是说,$|x|$表示在数轴上数$x$与数0对应的点之间的距离.这个结论可以推广为$|x_1-x_2|$表示在数轴上数$x_1$与数$x_2$对应的点之间的距离.
示例1:已知$|x|=2$,求$x$的值.
解:在数轴上与原点距离为2的点对应的数有$-2$和2,即$x$的值为$-2$或2.
示例2:已知$|x-1|=2$,求$x$的值.
解:在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数有3和$-1$,即$x$的值为3或$-1$.
仿照上述解法,求下列各式中$x$的值.
(1)$|x|=3$;
(2)$|x-2|=4$;
拓展:(3)$|x-3|+|x-7|$的最小值为.
[答案]解:(1)在数轴上与原点距离为3的点对应的数有$-3$或3,即$x$的值为3或$-3$.
(2)在数轴上与表示数2的点的距离为4的点对应的数有$-2$或6,即$x$的值为$-2$或6.
(3)因为$|x-3|+|x-7|$表示在数轴上表示数$x$的点到表示数3与表示数7的点的距离之和,所以当$3≤ x≤7$时,$|x-3|+|x-7|$取得最小值,且最小值就是3与7之间的距离4,所以$|x-3|+|x-7|$的最小值为4.故答案为4.

解：
(1) 在数轴上与原点距离为3的点对应的数有$-3$和$3$，即$x$的值为$3$或$-3$。
(2) 在数轴上与表示数2的点的距离为4的点对应的数有$-2$和$6$，即$x$的值为$-2$或$6$。
(3) $|x-3|+|x-7|$表示在数轴上表示数$x$的点到表示数3与表示数7的点的距离之和，当$3≤ x≤7$时，该距离之和取得最小值，最小值就是3与7之间的距离$7-3=4$，因此$|x-3|+|x-7|$的最小值为$\boldsymbol{4}$。

【分析】
本题借助绝对值的几何意义求解，解题思路清晰易懂：
1. 求解第(1)问时，根据|x|的含义是数轴上x对应点到原点的距离，找距离原点为3的点，左右各有1个，直接得出对应的x值即可；
2. 求解第(2)问时，|x-2|是数轴上x对应点到表示2的点的距离，找距离2为4的点，在2的左右两侧各有1个，分别计算即可得到x的值；
3. 求解第(3)问时，|x-3|+|x-7|表示x到3的距离与x到7的距离之和，要让距离和最小，x应落在3和7之间（包含端点），此时距离和就是3和7两点之间的固定距离，直接计算即可得到最小值。
【解析】
(1) 根据绝对值的几何意义，|x|=3表示数轴上与原点距离为3的点对应的数，符合条件的数有-3和3，即x的值为3或-3。
(2) |x-2|=4表示数轴上与表示2的点距离为4的点对应的数，在2的左侧时，对应数为2-4=-2；在2的右侧时，对应数为2+4=6，即x的值为-2或6。
(3) |x-3|+|x-7|的几何意义是数轴上表示x的点到表示3的点、表示7的点的距离之和。当x在3和7之间（包含3和7）时，距离之和最小，最小值为3和7之间的距离，计算得7-3=4，因此该式的最小值为4。
【答案】
(1) $x=3$或$x=-3$；(2) $x=-2$或$x=6$；(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；绝对值和的最值
【点评】
本题将绝对值与数轴知识结合，考查数形结合思想的应用，前两问是绝对值几何意义的基础应用，仿照给出的示例即可快速求解，第三问是拓展延伸，需要理解多个绝对值和的最值的取值规律，能帮助学生深化对绝对值含义的理解。
【难度系数】
0.7