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【变式3】根据绝对值的几何意义,解答下列问题:
(1)数轴上表示－2和5的两点之间的距离是
(2)等式$|x-(-1)|=2$的几何意义是:在数轴上表示数$x$的点与表示数
(3)利用数形结合思想,当$|x-1|+|x-4|$取得最小值时,所有的整数$x$的值为
(1)数轴上表示－2和5的两点之间的距离是
7
;(2)等式$|x-(-1)|=2$的几何意义是:在数轴上表示数$x$的点与表示数
-1
的点之间的距离为2,$x$的值为-3或1
;(3)利用数形结合思想,当$|x-1|+|x-4|$取得最小值时,所有的整数$x$的值为
1,2,3,4
.答案
(1)表示－2的点到原点的距离是2个单位长度，表示5的点到原点的距离是5个单位长度，所以表示－2和5的两点之间的距离是$2+5=7$。
(2)在表示－1的点的左侧，与其距离2个单位长度的点对应的数是－3，在表示－1的点的右侧，与其距离2个单位长度的点对应的数是1，所以$x$的值为－3或1。
(3)$|x-1|$表示数轴上表示数$x$的点与表示数1的点之间的距离，$|x-4|$表示数轴上表示数$x$的点与表示数4的点之间的距离，画出数轴如图所示。
观察数轴可知，当$1≤x≤4$时，表示数$x$的点到表示数1和4的点的距离之和最小，此时整数$x$的值为1,2,3,4。
解析
【分析】
本题围绕绝对值的几何意义（数轴上两点之间的距离等于两点对应数值差的绝对值）逐步求解：
(1) 求数轴上两个点的距离，可根据两点和原点的位置关系计算：两点在原点两侧时，距离等于两点到原点的距离之和；
(2) 先明确$|x-a|$的几何含义是数轴上表示$x$的点与表示$a$的点的距离，据此找到对应的固定点，再分别在固定点的左右两侧找距离为2的点，即可得到$x$的值；
(3) $|x-1|+|x-4|$的含义是$x$到1的距离与$x$到4的距离之和，要使和最小，$x$需落在1和4之间（包含端点），再提取区间内的整数即可。
【解析】
(1) 数轴上表示$-2$的点在原点左侧，到原点的距离是2个单位长度，表示5的点在原点右侧，到原点的距离是5个单位长度，两点分处原点两侧，因此两点之间的距离为$2+5=7$。
(2) 根据绝对值的几何意义，$|x-(-1)|$表示数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$的点之间的距离，因此等式的几何意义是这两点的距离为2。分两种情况计算：
① 在表示$-1$的点左侧，距离它2个单位长度的数是$-1-2=-3$；
② 在表示$-1$的点右侧，距离它2个单位长度的数是$-1+2=1$；
因此$x$的值为$-3$或$1$。
(3) $|x-1|$表示数轴上表示$x$的点与表示1的点的距离，$|x-4|$表示数轴上表示$x$的点与表示4的点的距离，两个距离之和的最小值可结合数轴判断：
观察数轴可知，当$1≤ x≤4$时，两个距离之和最小，该区间内的整数$x$为1、2、3、4。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{-1}$；$\boxed{-3或1}$
(3) $\boxed{1,2,3,4}$
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；数形结合思想
【点评】
本题把抽象的绝对值运算和直观的数轴距离结合考查，有助于学生理解绝对值的本质含义，掌握将代数问题转化为几何问题的思考方法，简化绝对值相关问题的解题过程。
【难度系数】
0.7
本题围绕绝对值的几何意义（数轴上两点之间的距离等于两点对应数值差的绝对值）逐步求解：
(1) 求数轴上两个点的距离，可根据两点和原点的位置关系计算：两点在原点两侧时，距离等于两点到原点的距离之和；
(2) 先明确$|x-a|$的几何含义是数轴上表示$x$的点与表示$a$的点的距离，据此找到对应的固定点，再分别在固定点的左右两侧找距离为2的点，即可得到$x$的值；
(3) $|x-1|+|x-4|$的含义是$x$到1的距离与$x$到4的距离之和，要使和最小，$x$需落在1和4之间（包含端点），再提取区间内的整数即可。
【解析】
(1) 数轴上表示$-2$的点在原点左侧，到原点的距离是2个单位长度，表示5的点在原点右侧，到原点的距离是5个单位长度，两点分处原点两侧，因此两点之间的距离为$2+5=7$。
(2) 根据绝对值的几何意义，$|x-(-1)|$表示数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$的点之间的距离，因此等式的几何意义是这两点的距离为2。分两种情况计算：
① 在表示$-1$的点左侧，距离它2个单位长度的数是$-1-2=-3$；
② 在表示$-1$的点右侧，距离它2个单位长度的数是$-1+2=1$；
因此$x$的值为$-3$或$1$。
(3) $|x-1|$表示数轴上表示$x$的点与表示1的点的距离，$|x-4|$表示数轴上表示$x$的点与表示4的点的距离，两个距离之和的最小值可结合数轴判断：
观察数轴可知，当$1≤ x≤4$时，两个距离之和最小，该区间内的整数$x$为1、2、3、4。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{-1}$；$\boxed{-3或1}$
(3) $\boxed{1,2,3,4}$
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；数形结合思想
【点评】
本题把抽象的绝对值运算和直观的数轴距离结合考查，有助于学生理解绝对值的本质含义，掌握将代数问题转化为几何问题的思考方法，简化绝对值相关问题的解题过程。
【难度系数】
0.7
【典例4】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，将圆周上的字母A对应的点与数轴的数1所对应的点重合。
(1)若将圆沿着数轴向左滚动一周，则点A的对应点A'表示的数是。
(2)若将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上的－2 026所对应的点将与圆周上的字母所对应的点重合。
[思路导引] (1)因为圆的周长为4个单位长度，点A对应的数为1，所以将圆沿着数轴向左滚动一周后，求点A的对应点A'表示的数，就是求1向左移动4个单位长度后的数值。
(2)1到－2 026之间的单位长度为$1+|-2026|=2027$，$2027÷4=506$(周)……3，当余数为1时，与点B重合，当余数为2时，与点C重合，当余数为3时，与点D重合，所以数轴上的－2 026所对应的点将与圆周上的字母D所对应的点重合。
[答案] (1)－3 (2)D
(1)若将圆沿着数轴向左滚动一周，则点A的对应点A'表示的数是。
(2)若将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上的－2 026所对应的点将与圆周上的字母所对应的点重合。
[思路导引] (1)因为圆的周长为4个单位长度，点A对应的数为1，所以将圆沿着数轴向左滚动一周后，求点A的对应点A'表示的数，就是求1向左移动4个单位长度后的数值。
(2)1到－2 026之间的单位长度为$1+|-2026|=2027$，$2027÷4=506$(周)……3，当余数为1时，与点B重合，当余数为2时，与点C重合，当余数为3时，与点D重合，所以数轴上的－2 026所对应的点将与圆周上的字母D所对应的点重合。
[答案] (1)－3 (2)D
答案
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{D}$
解析
【分析】
(1) 圆的周长是4个单位长度，向左滚动一周意味着点A沿数轴向左移动4个单位长度，已知点A初始对应数轴上的1，向左移动对应数值减小，用初始数值减去移动的单位长度就能得到A'对应的数。
(2) 先算出数轴上1到-2026之间的总单位长度，圆每滚动一周（4个单位长度），圆周上的字母就循环一次A、B、C、D，属于周期为4的周期问题。用总长度除以周期4得到余数，根据余数就能对应到重合的字母：向左滚1个单位对应B，滚2个单位对应C，滚3个单位对应D，刚好整除对应A。
【解析】
(1) 圆向左滚动一周，点A向左移动4个单位长度，初始对应数为1，所以A'表示的数为：$1 - 4 = -3$。
(2) 首先计算1到-2026的总单位长度：$1 - (-2026) = 2027$；
再计算2027里包含多少个完整周期：$2027 ÷ 4 = 506$（周）……3，余数为3；
向左滚动3个单位长度时，对应圆周上的字母D，因此-2026对应的点与字母D重合。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{D}$
【知识点】
数轴的应用，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题将数轴运动和周期规律结合，考查了同学们的规律探究能力和有理数计算能力，解题的关键是明确圆滚动的周期，找准总移动距离和余数对应的字母即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 圆的周长是4个单位长度，向左滚动一周意味着点A沿数轴向左移动4个单位长度，已知点A初始对应数轴上的1，向左移动对应数值减小，用初始数值减去移动的单位长度就能得到A'对应的数。
(2) 先算出数轴上1到-2026之间的总单位长度，圆每滚动一周（4个单位长度），圆周上的字母就循环一次A、B、C、D，属于周期为4的周期问题。用总长度除以周期4得到余数，根据余数就能对应到重合的字母：向左滚1个单位对应B，滚2个单位对应C，滚3个单位对应D，刚好整除对应A。
【解析】
(1) 圆向左滚动一周，点A向左移动4个单位长度，初始对应数为1，所以A'表示的数为：$1 - 4 = -3$。
(2) 首先计算1到-2026的总单位长度：$1 - (-2026) = 2027$；
再计算2027里包含多少个完整周期：$2027 ÷ 4 = 506$（周）……3，余数为3；
向左滚动3个单位长度时，对应圆周上的字母D，因此-2026对应的点与字母D重合。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{D}$
【知识点】
数轴的应用，周期规律探究，有理数运算
【点评】
本题将数轴运动和周期规律结合，考查了同学们的规律探究能力和有理数计算能力，解题的关键是明确圆滚动的周期，找准总移动距离和余数对应的字母即可快速求解。
【难度系数】
0.7
