【变式4】等边三角形ABC在数轴上的位置如图所示，点A，C对应的数分别为0和－1.若三角形ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转若干次后，数2025对应的点为（）


A.点A
B.点B
C.点C
D.不确定

翻转1次后，数1对应的点为点B，翻转2次后，数2对应的点为点C，翻转3次后，数3对应的点为点A，翻转4次后，数4对应的点为点B……以此类推，三个字母以B,C,A为周期循环。
因为$2025÷3=675$，所以连续翻转2025次后，数2025对应的点与翻转3次后，数3对应的点相同，即对应的点为点A。
【解题技巧】起始点A对应的数字是0，数2025到数0的距离是2025，等边三角形翻转一周的距离为3，用总距离除以翻转一周的距离，看余数。当余数为1时，对应点是点B；当余数为2时，对应点是点C；当被整除即余数为0时，对应点是点A。

【分析】
首先先确定等边三角形的边长：点A对应0，点C对应-1，所以边长为1，即每翻转1次，三角形在数轴上向前移动1个单位长度。接下来我们先列举前几次翻转后对应数的点，找到循环规律：翻转1次数1对应B、翻转2次数2对应C、翻转3次数3对应A、翻转4次数4对应B……不难发现每3次翻转为一个周期，对应点按B、C、A循环。最后计算2025包含多少个完整周期，根据余数就能判断2025对应的点。
【解析】
解：由点A、C对应的数为0和-1，可得等边△ABC的边长为1。
列举翻转后的对应关系：
翻转1次，数1对应点B；
翻转2次，数2对应点C；
翻转3次，数3对应点A；
翻转4次，数4对应点B；
……
可得出规律：每3次为一个周期，周期内对应点顺序为B、C、A。
计算得$2025÷3=675$，没有余数，说明数2025对应的点是一个周期的最后一个点，和数3对应的点一致，为点A。
【答案】
A
【知识点】
周期规律，数轴的应用，图形翻转
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过少量枚举找到周期规律，再用除法求余数判断最终结果，能有效考查归纳推理和周期问题的应用能力。
【难度系数】
0.7

1.已知$a,b$是不为0的有理数，且$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a|＜|b|$，那么用数轴上的点来表示$a,b$时，正确的是（）

1. A [解析] 因为$|a|=-a,|b|=b$,且a,b是不为0的有理数,所以$a＜0,b＞0$.
因为$|a|＜|b|$,所以表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离小.

【分析】
解题时先从绝对值的性质入手，首先判断a、b的正负：不为0的数如果绝对值等于它的相反数，这个数就是负数；如果绝对值等于它本身，这个数就是正数。据此先确定a、b在数轴上相对于原点的位置，排除不符合的选项。再根据|a|＜|b|的条件，结合绝对值的几何意义（数轴上一个数对应的点到原点的距离就是它的绝对值），判断a、b到原点的距离大小，就能选出正确选项。
【解析】
已知a、b是不为0的有理数：
1. 由|a|=-a可得a＜0，即a在数轴原点的左侧；由|b|=b可得b＞0，即b在数轴原点的右侧，因此排除b在左、a在右的B、D选项。
2. 由|a|＜|b|可知，表示a的点到原点的距离小于表示b的点到原点的距离，观察剩余的A、C选项，A符合该条件，C不符合。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；数轴的应用
【点评】
本题是绝对值与数轴结合的基础题型，解题核心是熟练掌握绝对值的代数性质和几何意义，先判断数的正负，再判断点到原点的距离大小，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2.若$|m-5|+|2n-6|=0$,则$m+n$的值为()

A.5
B.6
C.8
D.11

2. C [解析] 根据题意易得$m-5=0,2n-6=0$,所以$m=5,n=3$,所以$m+n=8$.

【分析】
首先回忆绝对值的性质：任意一个数的绝对值都是非负数，也就是大于或等于0。现在两个绝对值相加的结果是0，不可能出现其中一个绝对值大于0的情况，因为如果有一个绝对值大于0，另一个绝对值就需要小于0才能让和为0，这和绝对值的非负性矛盾，因此只能两个绝对值都等于0。接下来我们分别让两个绝对值里面的式子等于0，算出m和n的取值，最后相加就能得到m+n的值。
【解析】
解：因为绝对值具有非负性，所以$\left|m-5\right|\ge0$，$\left|2n-6\right|\ge0$，又因为$\left|m-5\right|+\left|2n-6\right|=0$，
因此可得：$m-5=0$，$2n-6=0$，
解$m-5=0$，得$m=5$；
解$2n-6=0$，得$2n=6$，$n=3$；
所以$m+n=5+3=8$。
【答案】C
【知识点】
绝对值的非负性，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查绝对值非负性质的应用，只要掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”这一规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

3. $|a|$的几何意义为数轴上表示数$a$的点和原点之间的距离，利用此结论，写出$|a - 2| = 1$的几何意义：。

3. 数轴上表示数a的点和表示数2的点之间的距离等于1

【分析】
首先题目已经给出|a|的几何意义是数轴上表示数a的点和原点的距离，我们可以把|a|改写为|a-0|，就能总结出规律：绝对值符号内是两个数相减时，它的几何意义就是数轴上表示这两个数的点之间的距离。对照这个规律看|a-2|，绝对值内是a减2，对应就是表示a的点和表示2的点的距离，等式等于1就说明这个距离的大小是1。
【解析】
解：已知$|a|=|a-0|$，几何意义是数轴上表示数a的点与表示0（原点）的点之间的距离。
类比该规律可得：$|a-2|$的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数2的点之间的距离。
因此$|a-2|=1$的几何意义就是数轴上表示数a的点和表示数2的点之间的距离等于1。
【答案】
数轴上表示数a的点和表示数2的点之间的距离等于1
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴上两点距离
【点评】
本题考查绝对值几何意义的迁移应用，属于基础概念题，解题关键是从已知的$|a|$的几何意义，归纳出$|x-y|$表示数轴上x、y对应点的距离这一规律。
【难度系数】
0.9

4.当x=时，|x-1|+10有最小值.

4. 1 10

【分析】
要解决这个问题，我们可以从绝对值的性质入手：首先，任意数的绝对值都是非负数，最小只能是0，不可能为负数。题目要找|x-1|+10的最小值，因为10是固定不变的常数，所以只要让|x-1|取到最小值，整个式子的结果就最小。接下来我们只需要找到|x-1|=0时x的取值，再代入计算式子的最小值即可。
【解析】
根据绝对值的性质可知，任意数的绝对值都大于或等于0，即|x-1|≥0，因此|x-1|的最小值是0。
当|x-1|=0时，x-1=0，解得x=1。
将x=1代入|x-1|+10计算，可得：
|1-1|+10=0+10=10。
【答案】
1；10
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用，解题核心是抓住“绝对值最小为0”这一特点，将求整个式子的最小值转化为求绝对值部分的最小值，思路清晰直接，熟练掌握绝对值的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

5.(重庆两江新区月考)(1)借助数轴,回答下列问题.
①从-1到1有3个整数,分别是;
②从-2到2有5个整数,分别是;
③从-3到3有7个整数,分别是;
④从-100到100有个整数.
(2)根据以上规律,从-3.9到3.9有个整数,从-10.1到10.1有个整数.
(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长为1 000 cm的线段AB,线段AB盖住的整数点最多有多少个?

5. 解:(1)①$-1,0,1$ ②$-2,-1,0,1,2$ ③$-3,-2,-1,0,1,2,3$ ④201
(2)7 21
(3)当长为1 000 cm的线段的两个端点都恰好位于整数点时,线段能盖住的整数点为1 001个;
当长为1 000 cm的线段的一个端点不位于整数点时,另一个端点也不位于整数点,此时线段能盖住的整数点为1 000个,所以1 000 cm长的线段能盖住的整数点最多有1 001个.

【分析】
首先解决前3个小问题，数出指定区间内的整数，观察得出规律：从-n到n（n为正整数）的整数包含-n到正n的所有整数和0，总个数为2n+1。用该规律即可快速算出-100到100的整数个数。解决第二部分的小数区间问题时，先找到区间内最小的负整数和最大的正整数，再套用上述规律计算即可。第三部分线段覆盖整数点的问题，可以先通过短线段举例找规律：如果线段端点在整数点上，覆盖的整数点会比端点不在整数点时多1个，分类讨论两种情况即可求出最多覆盖的数量。
【解析】
(1)①数轴上-1到1的整数为-1、0、1，共3个；
②-2到2的整数为-2、-1、0、1、2，共5个；
③-3到3的整数为-3、-2、-1、0、1、2、3，共7个；
④根据前面的规律，从-n到n的整数个数为2n+1，当n=100时，个数为2×100+1=201个；
(2)-3.9到3.9内的整数最小是-3，最大是3，对应n=3，整数个数为2×3+1=7个；-10.1到10.1内的整数最小是-10，最大是10，对应n=10，整数个数为2×10+1=21个；
(3)分两种情况讨论：
①若线段AB的两个端点都恰好落在整数点上，此时盖住的整数点个数为1000+1=1001个；
②若线段AB的两个端点都不落在整数点上，此时盖住的整数点个数为1000个；
对比可知最多能盖住1001个整数点。
【答案】
(1)①$-1,0,1$ ②$-2,-1,0,1,2$ ③$-3,-2,-1,0,1,2,3$ ④201
(2)7 21
(3)1001个
【知识点】
数轴的认识，整数的概念，规律探究
【点评】
本题结合数轴考查整数相关知识，需要先从简单实例归纳出区间内整数个数的规律，再运用规律解决同类问题，最后通过分类讨论求解线段覆盖整数点的最值，能够锻炼归纳推理与分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7

6. 练思维·数形结合 如图,在数轴上,如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A,B两点间的距离就可记作$|a-b|$.利用数形结合思想,试探索:

(1)若$|x-3|=|x-1|$,则$x=$.
(2)同样道理,$|x-5|+|x-2|$表示数轴上表示数x的点到表示数5和数2的点的距离之和.若$|x-5|+|x-2|=3$,则所有符合条件的整数x的值是.
(3)若式子$|x-3|+|x-m|$的最小值是2,则m的值为（）
A.1 B.5
C.$-1$或$-5$ D.1或5
答案 P03

6. 解:(1)$|x-3|=|x-1|$的几何意义是要找数轴上到表示数3和数1的点的距离相等的点,借助数轴可以看出$x=2$.故答案为2.
(2)观察如图所示的数轴可知,表示数5的点与表示数2的点之间的距离为3,当$2≤ x≤ 5$时,表示数x的点到表示数5和数2的点的距离之和均等于3,所以所有符合条件的整数x的值是2,3,4,5.故答案为2,3,4,5.

(3)当式子$|x-3|+|x-m|$的最小值是2时,观察如图所示的数轴可知,与数轴上表示3的点的距离为2个单位长度的点表示的数有1或5两个,即m的值为1或5.
故答案为D.

【分析】
我们可以利用绝对值的几何意义解题：|a-b|表示数轴上表示数a和数b的两点之间的距离。
(1) 要解|x-3|=|x-1|，就是找数轴上到3和到1的距离相等的点，这个点在1和3的中间，计算中点就能得到x的值。
(2) |x-5|+|x-2|是x到5和x到2的距离之和，先计算5和2之间的距离刚好是3，所以只要x在2和5之间（包括端点），距离和就等于3，再找出这个区间里的整数即可。
(3) |x-3|+|x-m|的最小值就是数轴上表示3和m的两点之间的距离，已知最小值是2，说明3和m的距离是2，分m在3左边和右边两种情况计算m的值。
【解析】
(1) |x-3|表示数轴上x到3的距离，|x-1|表示数轴上x到1的距离，两者相等说明x在1和3的中点处，所以x=(1+3)÷2=2。
(2) 先算表示5和2的两点之间的距离：5-2=3。当x在2和5之间（包含2和5）时，x到5和x到2的距离之和刚好等于这两点本身的距离3，所以符合条件的x的范围是2≤x≤5，其中的整数是2、3、4、5。

(3) |x-3|+|x-m|的最小值就是表示3和m的两点之间的距离，已知最小值为2，所以|m-3|=2。
如果m在3的左边，那么m=3-2=1；如果m在3的右边，那么m=3+2=5，所以m的值是1或5，对应选项D。

【答案】
(1)2
(2)2,3,4,5

(3)D

【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，数形结合思想
【点评】
本题借助数轴将抽象的绝对值运算转化为直观的点与点之间的距离问题，降低了解题难度，掌握数形结合的方法解决这类绝对值相关问题，能大大提升解题效率。
【难度系数】
0.7