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1. (2025·湖北武汉期末)下列说法正确的是(
A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有余角
C.若$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$,则$∠ 1,∠ 2,∠ 3$互补
D.若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$
D
).A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有余角
C.若$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$,则$∠ 1,∠ 2,∠ 3$互补
D.若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$
答案
A. 一个角的补角不一定大于这个角,选项说法错误,不符合题意;
B. 任何一个锐角都有余角,选项说法错误,不符合题意;
C. 若两角的和等于 180 度,则这两角互补,选项说法错误,不符合题意;
D. 若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$,选项说法正确,符合题意.
故选 D.
B. 任何一个锐角都有余角,选项说法错误,不符合题意;
C. 若两角的和等于 180 度,则这两角互补,选项说法错误,不符合题意;
D. 若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为$90°$,选项说法正确,符合题意.
故选 D.
解析
【分析】本题考查补角与余角的定义，解题思路是先明确补角（两个角和为180°）、余角（两个角和为90°）的定义，且互余、互补均针对两个角；再逐个分析选项，通过举反例或代数推导判断各选项的正误，最终确定正确答案。
【解析】
1. 选项A：若该角为钝角，如120°，其补角为180°-120°=60°，60°＜120°，说明补角不一定大于原角，故A错误。
2. 选项B：余角的定义是两个角的和为90°，只有0°＜α＜90°的锐角有余角，直角（90°）、钝角（＞90°）没有余角，故B错误。
3. 选项C：互补的定义是两个角的和为180°，仅针对两个角而言，三个角的和为180°不能称为互补，故C错误。
4. 选项D：设该角为α（因有余角，故0°＜α＜90°），则它的余角为90°-α，补角为180°-α，两者的差为(180°-α)-(90°-α)=90°，故D正确。
【答案】D
【知识点】补角的定义、余角的定义
【点评】本题属于基础概念题，核心是准确掌握补角、余角的定义，需注意互余、互补均针对两个角，且只有锐角存在余角，通过举反例或代数运算可快速判断选项，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 选项A：若该角为钝角，如120°，其补角为180°-120°=60°，60°＜120°，说明补角不一定大于原角，故A错误。
2. 选项B：余角的定义是两个角的和为90°，只有0°＜α＜90°的锐角有余角，直角（90°）、钝角（＞90°）没有余角，故B错误。
3. 选项C：互补的定义是两个角的和为180°，仅针对两个角而言，三个角的和为180°不能称为互补，故C错误。
4. 选项D：设该角为α（因有余角，故0°＜α＜90°），则它的余角为90°-α，补角为180°-α，两者的差为(180°-α)-(90°-α)=90°，故D正确。
【答案】D
【知识点】补角的定义、余角的定义
【点评】本题属于基础概念题，核心是准确掌握补角、余角的定义，需注意互余、互补均针对两个角，且只有锐角存在余角，通过举反例或代数运算可快速判断选项，难度较低。
【难度系数】0.7
2. (2025·浙江余姚期末)如图,货轮$O$在航行的过程中发现灯塔$A$在它的北偏东$30^{\circ }$的方向上,海岛$B$在它南偏东$60^{\circ }$方向上. 则下列结论:①$∠ NOA=30^{\circ }$; ②图中$∠ NOB$的补角有两个,分别是$∠ BOS$和$∠ EOA$; ③图中有4对互余的角; ④货轮$O$在海岛$B$的北偏西$60^{\circ }$的方向上. 其中正确结论的个数有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
由方位角意义可知$∠ NOA = 30°$,因此①正确;
根据题意可求出$∠ NOB = 120°$,$∠ SOB = 60°$,$∠ EOA = 60°$,因此②正确;图中互余的角有$∠ NOA$ 和$∠ AOE$,$∠ NOA$ 和$∠ BOS$,$∠ BOE$ 和$∠ AOE$,$∠ BOE$ 和$∠ BOS$,因此③正确;根据方位角,海岛$B$在轮船$O$南偏东$60°$方向,即$∠ BOS = 60°$,也就是$∠ BOE = 30°$,反之货轮$O$在海岛$B$的北偏西$60°$的方向上,因此④正确.综上所述,正确的个数有4个. 故选 D.
根据题意可求出$∠ NOB = 120°$,$∠ SOB = 60°$,$∠ EOA = 60°$,因此②正确;图中互余的角有$∠ NOA$ 和$∠ AOE$,$∠ NOA$ 和$∠ BOS$,$∠ BOE$ 和$∠ AOE$,$∠ BOE$ 和$∠ BOS$,因此③正确;根据方位角,海岛$B$在轮船$O$南偏东$60°$方向,即$∠ BOS = 60°$,也就是$∠ BOE = 30°$,反之货轮$O$在海岛$B$的北偏西$60°$的方向上,因此④正确.综上所述,正确的个数有4个. 故选 D.
解析
【分析】
要判断四个结论的正确性，需结合方位角的定义、补角与余角的概念、方向的相对性逐一分析：
1. 方位角中，北偏东的角度是从正北方向向东转的角度，据此判断①；
2. 先计算∠NOB的度数，再根据补角定义（和为180°的两个角互为补角），结合已知角度判断②；
3. 根据余角定义（和为90°的两个角互为余角），找出所有和为90°的角对，判断③；
4. 利用方向的相对性，即南偏东的反方向是北偏西且角度相同，判断④。
【解析】
解：根据题意，灯塔A在O的北偏东30°方向，故∠NOA=30°，因此①正确；
海岛B在O的南偏东60°方向，故∠BOS=60°，则∠NOB=180°-∠BOS=120°，∠NOB的补角为180°-120°=60°；又∠EOA=90°-∠NOA=90°-30°=60°，所以∠NOB的补角是∠BOS和∠EOA，因此②正确；
互余的角需满足和为90°：∠NOA+∠AOE=30°+60°=90°，∠NOA+∠BOS=30°+60°=90°，∠BOE+∠AOE=30°+60°=90°，∠BOE+∠BOS=30°+60°=90°，共4对，因此③正确；
方向具有相对性，海岛B在O的南偏东60°方向，故货轮O在海岛B的北偏西60°方向，因此④正确。
综上，四个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方位角、余角与补角、方向相对性
【点评】
本题综合考查方位角、余角和补角的概念及方向的相对性，需准确理解各概念定义，逐一分析结论，属于基础几何概念应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断四个结论的正确性，需结合方位角的定义、补角与余角的概念、方向的相对性逐一分析：
1. 方位角中，北偏东的角度是从正北方向向东转的角度，据此判断①；
2. 先计算∠NOB的度数，再根据补角定义（和为180°的两个角互为补角），结合已知角度判断②；
3. 根据余角定义（和为90°的两个角互为余角），找出所有和为90°的角对，判断③；
4. 利用方向的相对性，即南偏东的反方向是北偏西且角度相同，判断④。
【解析】
解：根据题意，灯塔A在O的北偏东30°方向，故∠NOA=30°，因此①正确；
海岛B在O的南偏东60°方向，故∠BOS=60°，则∠NOB=180°-∠BOS=120°，∠NOB的补角为180°-120°=60°；又∠EOA=90°-∠NOA=90°-30°=60°，所以∠NOB的补角是∠BOS和∠EOA，因此②正确；
互余的角需满足和为90°：∠NOA+∠AOE=30°+60°=90°，∠NOA+∠BOS=30°+60°=90°，∠BOE+∠AOE=30°+60°=90°，∠BOE+∠BOS=30°+60°=90°，共4对，因此③正确；
方向具有相对性，海岛B在O的南偏东60°方向，故货轮O在海岛B的北偏西60°方向，因此④正确。
综上，四个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
方位角、余角与补角、方向相对性
【点评】
本题综合考查方位角、余角和补角的概念及方向的相对性，需准确理解各概念定义，逐一分析结论，属于基础几何概念应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. (2025·杭州西湖区期末) 已知$∠ 1$与$∠ 2$互为余角，$∠ 1$与$∠ 3$互为补角，有以下三个结论：①$∠ 3=90°+∠ 2$；②$∠ 3=2∠ 1+∠ 2$；③$∠ 3-∠ 1＞∠ 2$. 其中正确的结论是(
A.①③
B.①
C.③
D.①②③
A
).A.①③
B.①
C.③
D.①②③
答案
由题意,得$∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1+∠ 3=180°$,
得$∠ 3=180°-∠ 1=2∠ 1+2∠ 2-∠ 1=∠ 1+2∠ 2$,
$\therefore ∠ 3-∠ 1＞∠ 2$,$\therefore$②错误,③正确.
$\because ∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1+∠ 3=180°$,$\therefore ∠ 3=∠ 2+90°$,
$\therefore$①正确. 故选 A.
技巧点拨 根据互余的两角之和为$90°$,互补的两角之和为$180°$,即可求出有关的结论.
得$∠ 3=180°-∠ 1=2∠ 1+2∠ 2-∠ 1=∠ 1+2∠ 2$,
$\therefore ∠ 3-∠ 1＞∠ 2$,$\therefore$②错误,③正确.
$\because ∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1+∠ 3=180°$,$\therefore ∠ 3=∠ 2+90°$,
$\therefore$①正确. 故选 A.
技巧点拨 根据互余的两角之和为$90°$,互补的两角之和为$180°$,即可求出有关的结论.
解析
【分析】
本题考查余角和补角的性质，解题思路是：先根据互为余角、补角的定义，得出∠1与∠2、∠1与∠3的和的数量关系，再分别对三个结论进行推导验证，判断每个结论的正确性，最终选出正确选项。
【解析】
根据互为余角的两角之和为90°，互为补角的两角之和为180°，可得：
∠1 + ∠2 = 90° ①，
∠1 + ∠3 = 180° ②。
推导结论①：由②式得∠3 = 180° - ∠1，将①式变形为∠1 = 90° - ∠2，代入得：
∠3 = 180° - (90° - ∠2) = 90° + ∠2，故结论①正确。
推导结论②：将∠1 = 90° - ∠2代入2∠1 + ∠2，得：
2∠1 + ∠2 = 2(90° - ∠2) + ∠2 = 180° - ∠2，
而由结论①知∠3 = 90° + ∠2，显然180° - ∠2 ≠ 90° + ∠2，故结论②错误。
推导结论③：计算∠3 - ∠1，由②式得∠3 - ∠1 = (180° - ∠1) - ∠1 = 180° - 2∠1，
将∠1 = 90° - ∠2代入得：180° - 2(90° - ∠2) = 2∠2，
因为∠2是锐角（余角，故0°＜∠2＜90°），所以2∠2 ＞ ∠2，即∠3 - ∠1 ＞ ∠2，故结论③正确。
综上，正确结论为①③，故选A。
【答案】
A
【知识点】
余角、补角的概念
【点评】
本题紧扣余角和补角的定义，通过角的数量关系转化推导结论，解题关键是准确运用互余、互补的数量关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查余角和补角的性质，解题思路是：先根据互为余角、补角的定义，得出∠1与∠2、∠1与∠3的和的数量关系，再分别对三个结论进行推导验证，判断每个结论的正确性，最终选出正确选项。
【解析】
根据互为余角的两角之和为90°，互为补角的两角之和为180°，可得：
∠1 + ∠2 = 90° ①，
∠1 + ∠3 = 180° ②。
推导结论①：由②式得∠3 = 180° - ∠1，将①式变形为∠1 = 90° - ∠2，代入得：
∠3 = 180° - (90° - ∠2) = 90° + ∠2，故结论①正确。
推导结论②：将∠1 = 90° - ∠2代入2∠1 + ∠2，得：
2∠1 + ∠2 = 2(90° - ∠2) + ∠2 = 180° - ∠2，
而由结论①知∠3 = 90° + ∠2，显然180° - ∠2 ≠ 90° + ∠2，故结论②错误。
推导结论③：计算∠3 - ∠1，由②式得∠3 - ∠1 = (180° - ∠1) - ∠1 = 180° - 2∠1，
将∠1 = 90° - ∠2代入得：180° - 2(90° - ∠2) = 2∠2，
因为∠2是锐角（余角，故0°＜∠2＜90°），所以2∠2 ＞ ∠2，即∠3 - ∠1 ＞ ∠2，故结论③正确。
综上，正确结论为①③，故选A。
【答案】
A
【知识点】
余角、补角的概念
【点评】
本题紧扣余角和补角的定义，通过角的数量关系转化推导结论，解题关键是准确运用互余、互补的数量关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. (2025·安徽合肥庐江期末)如果$∠ α$和$∠ β$互补，且$∠ α ＜ ∠ β$，则下列表示$∠ α$的余角的式子中：
①$90^{\circ }-∠ α$；②$∠ β -90^{\circ }$；③$\dfrac {1}{2}(∠ α +∠ β )$；
④$\dfrac {1}{2}(∠ β -∠ α )$，其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$90^{\circ }-∠ α$；②$∠ β -90^{\circ }$；③$\dfrac {1}{2}(∠ α +∠ β )$；
④$\dfrac {1}{2}(∠ β -∠ α )$，其中正确的有（
C
）.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
$\because ∠ α$ 的余角为 $90°-∠ α$,故①正确;$∠ α$ 的余角为 $90°-∠ α=90°-(180°-∠ β)=∠ β-90°$,故②正确;
$\because ∠ α$ 和 $∠ β$ 互补,$\therefore ∠ α+∠ β=180°$,$\therefore ∠ α=180°-∠ β$,
$\therefore \frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β=90°$.$∠ α$ 的余角为 $90°-∠ α=\frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β-∠ α=\frac{1}{2}∠ β-\frac{1}{2}∠ α$,故④正确; $\because \frac{1}{2}(∠ α+∠ β)=90°$,$\therefore ∠ α$ 不一定是锐角,故③不正确. 因此正确的有①②④,共 3 个. 故选 C.
技巧点拨 由$∠ α$ 和$∠ β$ 互补,可得$∠ α+∠ β=180°$,即$α=180°-∠ β$,$\frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β=90°$,再用不同的形式表示$∠ α$ 的余角即可得解.
$\because ∠ α$ 和 $∠ β$ 互补,$\therefore ∠ α+∠ β=180°$,$\therefore ∠ α=180°-∠ β$,
$\therefore \frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β=90°$.$∠ α$ 的余角为 $90°-∠ α=\frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β-∠ α=\frac{1}{2}∠ β-\frac{1}{2}∠ α$,故④正确; $\because \frac{1}{2}(∠ α+∠ β)=90°$,$\therefore ∠ α$ 不一定是锐角,故③不正确. 因此正确的有①②④,共 3 个. 故选 C.
技巧点拨 由$∠ α$ 和$∠ β$ 互补,可得$∠ α+∠ β=180°$,即$α=180°-∠ β$,$\frac{1}{2}∠ α+\frac{1}{2}∠ β=90°$,再用不同的形式表示$∠ α$ 的余角即可得解.
解析
【分析】首先明确余角与补角的定义：若两个角的和为90°则互余，若和为180°则互补。已知∠α与∠β互补，故∠α+∠β=180°，结合∠α＜∠β可判断∠α为锐角（∠α＜90°）。要判断给出的式子是否为∠α的余角，只需将每个式子通过互补关系转化，验证其是否等于∠α的余角表达式90°−∠α即可。
【解析】
∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°，即∠β=180°−∠α，且∠α＜∠β，故∠α＜90°。
1. 对于①：根据余角定义，∠α的余角为90°−∠α，因此①正确；
2. 对于②：将∠β=180°−∠α代入，得∠β−90°=(180°−∠α)−90°=90°−∠α，等于∠α的余角，故②正确；
3. 对于③：由∠α+∠β=180°，得$\frac{1}{2}(∠α+∠β)=90°$，该式为90°，仅当∠α=0°时等于∠α的余角，不符合实际，故③错误；
4. 对于④：将∠β=180°−∠α代入，得$\frac{1}{2}(∠β−∠α)=\frac{1}{2}[(180°−∠α)−∠α]=90°−∠α$，等于∠α的余角，故④正确。
综上，正确的式子为①②④，共3个，故选C。
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【点评】本题考查余角与补角的基本性质，核心是利用互补关系转化角的表达式，逐一验证每个式子是否符合余角定义，需准确掌握角的运算规则，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵∠α与∠β互补，
∴∠α+∠β=180°，即∠β=180°−∠α，且∠α＜∠β，故∠α＜90°。
1. 对于①：根据余角定义，∠α的余角为90°−∠α，因此①正确；
2. 对于②：将∠β=180°−∠α代入，得∠β−90°=(180°−∠α)−90°=90°−∠α，等于∠α的余角，故②正确；
3. 对于③：由∠α+∠β=180°，得$\frac{1}{2}(∠α+∠β)=90°$，该式为90°，仅当∠α=0°时等于∠α的余角，不符合实际，故③错误；
4. 对于④：将∠β=180°−∠α代入，得$\frac{1}{2}(∠β−∠α)=\frac{1}{2}[(180°−∠α)−∠α]=90°−∠α$，等于∠α的余角，故④正确。
综上，正确的式子为①②④，共3个，故选C。
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【点评】本题考查余角与补角的基本性质，核心是利用互补关系转化角的表达式，逐一验证每个式子是否符合余角定义，需准确掌握角的运算规则，难度适中。
【难度系数】0.5
5. 方程思想 （2025·江西赣州大余期末）有一个角的余角比这个角的补角的一半还少 $8°$,那么这个角的余角是多少度？
答案
设这个角为 $x$,则这个角的余角为 $90°-x$,这个角的补角为 $180°-x$,则 $90°-x=\frac{1}{2}(180°-x)-8°$,解得 $x=16°$.
故这个角的余角为 $90°-16°=74°$.
归纳总结 互补即两角的和为 $180°$,互余的两角和为 $90°$,设这个角为 $x$,则这个角的余角为 $90°-x$,根据题意列方程即可得解.
故这个角的余角为 $90°-16°=74°$.
归纳总结 互补即两角的和为 $180°$,互余的两角和为 $90°$,设这个角为 $x$,则这个角的余角为 $90°-x$,根据题意列方程即可得解.
解析
【分析】
首先明确余角和补角的定义：若两角和为90°则互余，和为180°则互补。设这个角为未知数，用未知数表示出它的余角和补角，再根据题目中“余角比补角的一半少8°”的数量关系列一元一次方程，解方程求出该角的度数，最后计算余角即可。
【解析】
设这个角为$ x $度，
根据余角、补角定义，这个角的余角为$ (90 - x)° $，补角为$ (180 - x)° $。
由题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 8 $
解方程：
展开右边得：$ 90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 8 $
化简右边：$ 90 - x = 82 - \frac{1}{2}x $
移项合并同类项：$ -\frac{1}{2}x = -8 $
解得：$ x = 16 $
则这个角的余角为：$ 90 - 16 = 74° $
【答案】
$ 74° $
【知识点】
余角与补角、一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何角度计算中的基础应用，核心是利用余角和补角的定义设未知数列方程，步骤清晰，难度较低，能有效考查学生对基本概念和方程应用的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先明确余角和补角的定义：若两角和为90°则互余，和为180°则互补。设这个角为未知数，用未知数表示出它的余角和补角，再根据题目中“余角比补角的一半少8°”的数量关系列一元一次方程，解方程求出该角的度数，最后计算余角即可。
【解析】
设这个角为$ x $度，
根据余角、补角定义，这个角的余角为$ (90 - x)° $，补角为$ (180 - x)° $。
由题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{2}(180 - x) - 8 $
解方程：
展开右边得：$ 90 - x = 90 - \frac{1}{2}x - 8 $
化简右边：$ 90 - x = 82 - \frac{1}{2}x $
移项合并同类项：$ -\frac{1}{2}x = -8 $
解得：$ x = 16 $
则这个角的余角为：$ 90 - 16 = 74° $
【答案】
$ 74° $
【知识点】
余角与补角、一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何角度计算中的基础应用，核心是利用余角和补角的定义设未知数列方程，步骤清晰，难度较低，能有效考查学生对基本概念和方程应用的掌握情况。
【难度系数】
0.7
6. (2025·福建福州平潭期末)若一个锐角的度数为$x$，且这个锐角比它的余角小$30°$.
(1)这个锐角的余角为
(2)求这个锐角的度数.
(1)这个锐角的余角为
$90°-x$(或$x+30°$)
(用含$x$的式子表示)；(2)求这个锐角的度数.
答案
(1)$90°-x$(或$x+30°$)
(2)根据题意,得 $x=90°-x-30°$,解得 $x=30°$. 故这个锐角的度数为 $30°$.
(2)根据题意,得 $x=90°-x-30°$,解得 $x=30°$. 故这个锐角的度数为 $30°$.
解析
【分析】
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，据此可表示出锐角x的余角；再根据题目中“这个锐角比它的余角小30°”的数量关系，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出锐角的度数。
【解析】
(1) 根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，因此这个锐角的余角为$90°-x$；
(2) 由题意可知，该锐角比它的余角小$30°$，据此列方程：
$x = (90° - x) - 30°$
解方程：
$x = 90° - x - 30°$
$x + x = 60°$
$2x = 60°$
$x = 30°$
【答案】
(1)$90°-x$(或$x+30°$)；(2)$30°$
【知识点】
余角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合余角的概念考查一元一次方程的应用，属于基础题型，关键是准确理解余角的关系并列出方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，据此可表示出锐角x的余角；再根据题目中“这个锐角比它的余角小30°”的数量关系，列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出锐角的度数。
【解析】
(1) 根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，因此这个锐角的余角为$90°-x$；
(2) 由题意可知，该锐角比它的余角小$30°$，据此列方程：
$x = (90° - x) - 30°$
解方程：
$x = 90° - x - 30°$
$x + x = 60°$
$2x = 60°$
$x = 30°$
【答案】
(1)$90°-x$(或$x+30°$)；(2)$30°$
【知识点】
余角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合余角的概念考查一元一次方程的应用，属于基础题型，关键是准确理解余角的关系并列出方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. (2025·河南信阳期末)如图,两个直角三角形的直角顶点重合.
(1)若$∠ BOD=40°$,求$∠ AOC$的度数.
解: $\because ∠ AOC + ∠ COB = 90°$, $∠ COB + ∠ BOD = 90°$, $···$①
$\therefore ∠ AOC =$
$\because ∠ BOD = 40°$,
$\therefore ∠ AOC =$
把上面过程补充完整,并回答:在上面①到②的推导过程中,理论依据是
(2)写出图中互为补角的角
(3)若$OB$平分$∠ COD$,求$∠ AOD$的度数.
(1)若$∠ BOD=40°$,求$∠ AOC$的度数.
解: $\because ∠ AOC + ∠ COB = 90°$, $∠ COB + ∠ BOD = 90°$, $···$①
$\therefore ∠ AOC =$
$∠ BOD$
, $···$②$\because ∠ BOD = 40°$,
$\therefore ∠ AOC =$
$40$
$°$.把上面过程补充完整,并回答:在上面①到②的推导过程中,理论依据是
同角的余角相等
;(2)写出图中互为补角的角
$∠ AOB$ 与$∠ COD$，$∠ AOD$ 与$∠ BOC$
;(3)若$OB$平分$∠ COD$,求$∠ AOD$的度数.
答案
(1)$∠ BOD$ 40 同角的余角相等
(2)$∠ AOB$ 与$∠ COD$，$∠ AOD$ 与$∠ BOC$
解析$\because ∠ AOB=90°$,$∠ COD=90°$,$\therefore ∠ AOB+∠ COD=180°$,即$∠ AOB$ 与$∠ COD$ 互为补角,$\therefore ∠ AOC+∠ COD+∠ BOC=180°$,即$∠ AOD+∠ BOC=180°$,即$∠ AOD$ 与$∠ BOC$ 互为补角.
(3)$\because ∠ COD = 90°$, 且 $OB$ 平分 $∠ COD$,$\therefore ∠ BOC=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD=45°$,
角平分线定义
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=90°+45°=135°$.
(2)$∠ AOB$ 与$∠ COD$，$∠ AOD$ 与$∠ BOC$
解析$\because ∠ AOB=90°$,$∠ COD=90°$,$\therefore ∠ AOB+∠ COD=180°$,即$∠ AOB$ 与$∠ COD$ 互为补角,$\therefore ∠ AOC+∠ COD+∠ BOC=180°$,即$∠ AOD+∠ BOC=180°$,即$∠ AOD$ 与$∠ BOC$ 互为补角.
(3)$\because ∠ COD = 90°$, 且 $OB$ 平分 $∠ COD$,$\therefore ∠ BOC=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD=45°$,
角平分线定义
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=90°+45°=135°$.
解析
【分析】
本题以共直角顶点的两个直角三角形为载体，核心是利用余角、补角的性质和角平分线的定义解决角度问题。第(1)问，根据直角的定义得到两组互余角，利用同角的余角相等推导角度关系；第(2)问，依据补角的定义（和为180°的两个角互为补角），结合已知直角的度数找出符合条件的角；第(3)问，利用角平分线定义求出相关角度，再通过角的和差计算目标角度。
【解析】
(1) 因为∠AOB=90°，所以∠AOC + ∠COB=90°；又∠COD=90°，所以∠BOD + ∠COB=90°。根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠BOD。已知∠BOD=40°，所以∠AOC=40°，推导依据是同角的余角相等。
(2) 根据补角定义：和为180°的两个角互为补角。因为∠AOB=90°，∠COD=90°，所以∠AOB + ∠COD=180°，即∠AOB与∠COD互为补角；又∠AOD=∠AOB + ∠BOD=90°+∠BOD，∠BOC=∠COD - ∠BOD=90°-∠BOD，所以∠AOD + ∠BOC=(90°+∠BOD)+(90°-∠BOD)=180°，即∠AOD与∠BOC互为补角。
(3) 因为∠COD=90°，OB平分∠COD，根据角平分线定义，∠BOD=1/2∠COD=1/2×90°=45°。又∠AOB=90°，所以∠AOD=∠AOB + ∠BOD=90°+45°=135°。
【答案】
(1) ∠BOD；40；同角的余角相等
(2) ∠AOB与∠COD，∠AOD与∠BOC
(3) 135°
【知识点】
余角与补角，角平分线，角度计算
【点评】
本题是初中几何角度计算的基础题型，考察余角、补角的性质及角平分线的定义，解题关键是明确角之间的和差关系，属于入门级几何题，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题以共直角顶点的两个直角三角形为载体，核心是利用余角、补角的性质和角平分线的定义解决角度问题。第(1)问，根据直角的定义得到两组互余角，利用同角的余角相等推导角度关系；第(2)问，依据补角的定义（和为180°的两个角互为补角），结合已知直角的度数找出符合条件的角；第(3)问，利用角平分线定义求出相关角度，再通过角的和差计算目标角度。
【解析】
(1) 因为∠AOB=90°，所以∠AOC + ∠COB=90°；又∠COD=90°，所以∠BOD + ∠COB=90°。根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠BOD。已知∠BOD=40°，所以∠AOC=40°，推导依据是同角的余角相等。
(2) 根据补角定义：和为180°的两个角互为补角。因为∠AOB=90°，∠COD=90°，所以∠AOB + ∠COD=180°，即∠AOB与∠COD互为补角；又∠AOD=∠AOB + ∠BOD=90°+∠BOD，∠BOC=∠COD - ∠BOD=90°-∠BOD，所以∠AOD + ∠BOC=(90°+∠BOD)+(90°-∠BOD)=180°，即∠AOD与∠BOC互为补角。
(3) 因为∠COD=90°，OB平分∠COD，根据角平分线定义，∠BOD=1/2∠COD=1/2×90°=45°。又∠AOB=90°，所以∠AOD=∠AOB + ∠BOD=90°+45°=135°。
【答案】
(1) ∠BOD；40；同角的余角相等
(2) ∠AOB与∠COD，∠AOD与∠BOC
(3) 135°
【知识点】
余角与补角，角平分线，角度计算
【点评】
本题是初中几何角度计算的基础题型，考察余角、补角的性质及角平分线的定义，解题关键是明确角之间的和差关系，属于入门级几何题，难度较低。
【难度系数】
0.3
