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8. (2025·扬州高邮期末)数学活动：
(1)如图(1)，将两块直角三角尺的直角顶点C重合在一起，$∠ ACB = ∠ DCH = 90°$.
①若$∠ ACH = 25°$，则$∠ BCD =$
②猜想：$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图(2)，将两块相同的含$60°$角的直角三角尺的顶点A重合在一起，$∠ CAB = ∠ EAF = 60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为
(3)如图(3)，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点A重合在一起，$∠ CAB = ∠ EAF = n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为
(1)如图(1)，将两块直角三角尺的直角顶点C重合在一起，$∠ ACB = ∠ DCH = 90°$.
①若$∠ ACH = 25°$，则$∠ BCD =$
$155$
$°$；②猜想：$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图(2)，将两块相同的含$60°$角的直角三角尺的顶点A重合在一起，$∠ CAB = ∠ EAF = 60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为
$∠ CAF+∠ EAB=120°$
.(3)如图(3)，将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点A重合在一起，$∠ CAB = ∠ EAF = n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系为
$∠ CAF+∠ EAB=2n°$
.答案
(1)①155
解析由题意,$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
$\because ∠ ACH=25°$,$\therefore ∠ DCA=∠ DCH-∠ ACH=65°$,
$\therefore ∠ BCD=∠ DCA+∠ ACB=155°$,即$∠ BCD=155°$.
②$∠ ACH+∠ BCD=180°$.理由如下：
$\because ∠ ACB=∠ DCH=90°$,
$\therefore ∠ ACH+∠ BCD=∠ ACH+∠ BCH+∠ DCH=∠ ACB+∠ DCH=90°+90°=180°$.
(2)$∠ CAF+∠ EAB=120°$
解析由题意,得$∠ CAB=∠ EAF=60°$.
$\because ∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,
$\therefore ∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=60°+60°=120°$,
即$∠ CAF$ 与$∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=120°$.
(3)$∠ CAF+∠ EAB=2n°$
解析由题意,得$∠ CAB=∠ EAF=n°$.
$\because ∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,
$\therefore ∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=n°+n°=2n°$,
$\therefore ∠ CAF$ 与$∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=2n°$.
解析由题意,$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
$\because ∠ ACH=25°$,$\therefore ∠ DCA=∠ DCH-∠ ACH=65°$,
$\therefore ∠ BCD=∠ DCA+∠ ACB=155°$,即$∠ BCD=155°$.
②$∠ ACH+∠ BCD=180°$.理由如下：
$\because ∠ ACB=∠ DCH=90°$,
$\therefore ∠ ACH+∠ BCD=∠ ACH+∠ BCH+∠ DCH=∠ ACB+∠ DCH=90°+90°=180°$.
(2)$∠ CAF+∠ EAB=120°$
解析由题意,得$∠ CAB=∠ EAF=60°$.
$\because ∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,
$\therefore ∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=60°+60°=120°$,
即$∠ CAF$ 与$∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=120°$.
(3)$∠ CAF+∠ EAB=2n°$
解析由题意,得$∠ CAB=∠ EAF=n°$.
$\because ∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$,
$\therefore ∠ CAF+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAF+∠ EAB=∠ EAF+∠ CAB=n°+n°=2n°$,
$\therefore ∠ CAF$ 与$∠ EAB$ 之间的数量关系为$∠ CAF+∠ EAB=2n°$.
解析
【分析】
本题围绕三角尺顶点重合的角的关系展开，核心是利用角的和差运算推导所求角的数量关系。解题时需明确各角的组成，通过拆分、组合角，结合已知角的度数或关系求解。
【解析】
(1)① 已知∠ACB=∠DCH=90°，∠ACH=25°，先计算∠DCA：
∠DCA = ∠DCH - ∠ACH = 90° - 25° = 65°，
则∠BCD = ∠DCA + ∠ACB = 65° + 90° = 155°。
② 推导∠ACH与∠BCD的数量关系：
因为∠ACB=∠DCH=90°，
所以∠ACH + ∠BCD = ∠ACH + ∠BCH + ∠DCH = (∠ACH + ∠BCH) + ∠DCH = ∠ACB + ∠DCH = 90° + 90° = 180°，
即∠ACH + ∠BCD=180°。
(2) 已知∠CAB=∠EAF=60°，
∠CAF = ∠CAE + ∠EAF，
所以∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB = (∠CAE + ∠EAB) + ∠EAF = ∠CAB + ∠EAF = 60° + 60° = 120°，
即∠CAF + ∠EAB=120°。
(3) 已知∠CAB=∠EAF=n°，
同理，∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB = ∠CAB + ∠EAF = n° + n° = 2n°，
即∠CAF + ∠EAB=2n°。
【答案】
(1)①155；②∠ACH + ∠BCD=180°；(2)∠CAF + ∠EAB=120°；(3)∠CAF + ∠EAB=2n°
【知识点】
角的和差计算，角的数量关系推导
【点评】
本题以三角尺顶点重合为情境，考查角的和差关系的应用，解题关键是将所求角拆分为已知角的和，进而推导数量关系，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6
本题围绕三角尺顶点重合的角的关系展开，核心是利用角的和差运算推导所求角的数量关系。解题时需明确各角的组成，通过拆分、组合角，结合已知角的度数或关系求解。
【解析】
(1)① 已知∠ACB=∠DCH=90°，∠ACH=25°，先计算∠DCA：
∠DCA = ∠DCH - ∠ACH = 90° - 25° = 65°，
则∠BCD = ∠DCA + ∠ACB = 65° + 90° = 155°。
② 推导∠ACH与∠BCD的数量关系：
因为∠ACB=∠DCH=90°，
所以∠ACH + ∠BCD = ∠ACH + ∠BCH + ∠DCH = (∠ACH + ∠BCH) + ∠DCH = ∠ACB + ∠DCH = 90° + 90° = 180°，
即∠ACH + ∠BCD=180°。
(2) 已知∠CAB=∠EAF=60°，
∠CAF = ∠CAE + ∠EAF，
所以∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB = (∠CAE + ∠EAB) + ∠EAF = ∠CAB + ∠EAF = 60° + 60° = 120°，
即∠CAF + ∠EAB=120°。
(3) 已知∠CAB=∠EAF=n°，
同理，∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB = ∠CAB + ∠EAF = n° + n° = 2n°，
即∠CAF + ∠EAB=2n°。
【答案】
(1)①155；②∠ACH + ∠BCD=180°；(2)∠CAF + ∠EAB=120°；(3)∠CAF + ∠EAB=2n°
【知识点】
角的和差计算，角的数量关系推导
【点评】
本题以三角尺顶点重合为情境，考查角的和差关系的应用，解题关键是将所求角拆分为已知角的和，进而推导数量关系，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6
9. (2025·浙江台州临海期末)一副三角尺按如图方式叠放，$∠ DFE=90°$，$∠ BAC=60°$，点$A$，$F$重合. 为探索$∠ CAE$与$∠ BAD$的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设$∠ CAE=30°$，求得$∠ BAD=60°$，于是三位同学得出不同猜想，甲：$∠ BAD=2∠ CAE$；乙：$∠ CAE+∠ BAD=90°$；丙：$∠ BAD-∠ CAE=30°$.
(1)为验证猜想，他们再次假设$∠ CAE=25°$，并求出$∠ BAD$的度数. 请写出求解过程.
(2)①根据题(1)的结果，猜想一定错误的两位同学是
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由.
(1)为验证猜想，他们再次假设$∠ CAE=25°$，并求出$∠ BAD$的度数. 请写出求解过程.
(2)①根据题(1)的结果，猜想一定错误的两位同学是
甲、乙
.②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由.
答案
(1)假设 $∠ CAE = 25°$,$\because ∠ BAC = 60°$,$\therefore ∠ BAE = ∠ BAC-∠ CAE = 60°-25° = 35°$. $\because ∠ DFE = 90°$,$\therefore ∠ BAD = ∠ DFE-∠ BAE = 90°-35° = 55°$.
(2)①甲、乙
解析在(1)中,$\because ∠ CAE=25°$,$∠ BAD=55°$,
$\therefore ∠ BAD≠ 2∠ CAE$,$∠ CAE+∠ BAD=25°+55°=80°$,
$\therefore$ 甲、乙两位同学的猜想一定错误.
②丙同学的猜想正确,理由如下：
设$∠ CAE=α$,$\because ∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ BAE=∠ BAC-∠ CAE=60°-α$.
$\because ∠ DFE=90°$,$\therefore ∠ BAD=∠ DFE-∠ BAE=90°-(60°-α)=30°+α$,
$\therefore ∠ BAD-∠ CAE=30°+α-α=30°$,
$\therefore$ 丙同学的猜想正确.
(2)①甲、乙
解析在(1)中,$\because ∠ CAE=25°$,$∠ BAD=55°$,
$\therefore ∠ BAD≠ 2∠ CAE$,$∠ CAE+∠ BAD=25°+55°=80°$,
$\therefore$ 甲、乙两位同学的猜想一定错误.
②丙同学的猜想正确,理由如下：
设$∠ CAE=α$,$\because ∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ BAE=∠ BAC-∠ CAE=60°-α$.
$\because ∠ DFE=90°$,$\therefore ∠ BAD=∠ DFE-∠ BAE=90°-(60°-α)=30°+α$,
$\therefore ∠ BAD-∠ CAE=30°+α-α=30°$,
$\therefore$ 丙同学的猜想正确.
解析
【分析】
要解决本题，需利用角的和差关系推导各角间的联系：先根据已知∠BAC和∠CAE求出∠BAE，再结合∠DFE=90°，通过角的和差计算∠BAD；对于猜想的验证，代入数值判断，最后用代数设元的方法证明剩余猜想的正确性。
【解析】
(1) 已知∠CAE=25°，∠BAC=60°，则∠BAE = ∠BAC - ∠CAE = 60° - 25° = 35°。
又因为∠DFE=90°，所以∠BAD = ∠DFE - ∠BAE = 90° - 35° = 55°。
(2) ① 由(1)中∠CAE=25°，∠BAD=55°，可得：
∠BAD=55°，2∠CAE=50°，故∠BAD≠2∠CAE；
∠CAE+∠BAD=25°+55°=80°≠90°，因此甲、乙的猜想错误。
② 丙同学的猜想正确，理由如下：
设∠CAE=α，因为∠BAC=60°，所以∠BAE=∠BAC - ∠CAE=60° - α。
又∠DFE=90°，所以∠BAD=∠DFE - ∠BAE=90° - (60° - α)=30° + α。
则∠BAD - ∠CAE=(30° + α) - α=30°，符合丙的猜想，故丙的猜想正确。
【答案】
(1) ∠BAD=55°；(2) ①甲、乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算、三角尺角度应用
【点评】
本题结合三角尺叠放的场景，考查角的和差关系的应用，解题关键是理清各角间的数量联系，通过代数设元可清晰推导角度关系，验证猜想。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用角的和差关系推导各角间的联系：先根据已知∠BAC和∠CAE求出∠BAE，再结合∠DFE=90°，通过角的和差计算∠BAD；对于猜想的验证，代入数值判断，最后用代数设元的方法证明剩余猜想的正确性。
【解析】
(1) 已知∠CAE=25°，∠BAC=60°，则∠BAE = ∠BAC - ∠CAE = 60° - 25° = 35°。
又因为∠DFE=90°，所以∠BAD = ∠DFE - ∠BAE = 90° - 35° = 55°。
(2) ① 由(1)中∠CAE=25°，∠BAD=55°，可得：
∠BAD=55°，2∠CAE=50°，故∠BAD≠2∠CAE；
∠CAE+∠BAD=25°+55°=80°≠90°，因此甲、乙的猜想错误。
② 丙同学的猜想正确，理由如下：
设∠CAE=α，因为∠BAC=60°，所以∠BAE=∠BAC - ∠CAE=60° - α。
又∠DFE=90°，所以∠BAD=∠DFE - ∠BAE=90° - (60° - α)=30° + α。
则∠BAD - ∠CAE=(30° + α) - α=30°，符合丙的猜想，故丙的猜想正确。
【答案】
(1) ∠BAD=55°；(2) ①甲、乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算、三角尺角度应用
【点评】
本题结合三角尺叠放的场景，考查角的和差关系的应用，解题关键是理清各角间的数量联系，通过代数设元可清晰推导角度关系，验证猜想。
【难度系数】
0.6
