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1. (2025·扬州宝应期末)解方程$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{3x-4}{4}=1$时,去分母正确的是(
A.$4(2x-1)-9x-12=1$
B.$8x-4-3(3x-4)=12$
C.$4(2x-1)-9x+12=1$
D.$8x-4+3(3x-4)=12$
B
).A.$4(2x-1)-9x-12=1$
B.$8x-4-3(3x-4)=12$
C.$4(2x-1)-9x+12=1$
D.$8x-4+3(3x-4)=12$
答案
B
解析：去分母,得$4(2x-1)-3(3x-4)=12$,
去括号,得$8x-4-9x+12=12$.
故选B.
解析：去分母,得$4(2x-1)-3(3x-4)=12$,
去括号,得$8x-4-9x+12=12$.
故选B.
解析
【分析】
要判断去分母是否正确，需掌握一元一次方程去分母的规则：等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，每一项都要乘，分子为多项式时需添加括号避免符号错误。本题中分母是3和4，最小公倍数为12，将方程两边同乘12，逐一计算每一项即可选出正确选项。
【解析】
解：方程$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{3x-4}{4}=1$，分母3和4的最小公倍数是12，根据等式性质，两边同时乘12得：
$12×\dfrac{2x-1}{3} - 12×\dfrac{3x-4}{4} = 1×12$
化简后为：$4(2x-1) - 3(3x-4) = 12$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法、去分母
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的基础操作，核心是牢记“不漏乘常数项、分子加括号”的要点，属于常规基础题，需注意符号处理。
【难度系数】
0.6
要判断去分母是否正确，需掌握一元一次方程去分母的规则：等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，每一项都要乘，分子为多项式时需添加括号避免符号错误。本题中分母是3和4，最小公倍数为12，将方程两边同乘12，逐一计算每一项即可选出正确选项。
【解析】
解：方程$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{3x-4}{4}=1$，分母3和4的最小公倍数是12，根据等式性质，两边同时乘12得：
$12×\dfrac{2x-1}{3} - 12×\dfrac{3x-4}{4} = 1×12$
化简后为：$4(2x-1) - 3(3x-4) = 12$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法、去分母
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的基础操作，核心是牢记“不漏乘常数项、分子加括号”的要点，属于常规基础题，需注意符号处理。
【难度系数】
0.6
2. (重庆南岸区自主招生)解一元一次方程$\dfrac{1}{5}(x+15)=1-\dfrac{1}{3}(x-7)$的过程如下：
解:去分母,得$3(x+15)=15-5(x-7)$,①
去括号,得$3x+45=15-5x+7$,②
移项、合并同类项,得$8x=-23$,③
化未知数系数为1,得$x=-\dfrac{8}{23}$.④
以上步骤中,开始出错的一步是(
A.①
B.②
C.③
D.④
解:去分母,得$3(x+15)=15-5(x-7)$,①
去括号,得$3x+45=15-5x+7$,②
移项、合并同类项,得$8x=-23$,③
化未知数系数为1,得$x=-\dfrac{8}{23}$.④
以上步骤中,开始出错的一步是(
B
).A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
【分析】解一元一次方程需遵循去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤，每一步需严格运用运算规则。我们逐一验证各步骤：步骤①去分母时，方程两边同乘15，左边为$3(x+15)$，右边为$15-5(x-7)$，计算正确；步骤②去括号时，根据乘法分配律，$-5(x-7)$应展开为$-5x+35$，但题目中误写为$-5x+7$，此处开始出错；后续步骤的错误均源于步骤②，因此开始出错的是步骤②。
【解析】原方程$\dfrac{1}{5}(x+15)=1-\dfrac{1}{3}(x-7)$，步骤①去分母，两边同乘15得：$3(x+15)=15-5(x-7)$，该步骤正确；步骤②去括号，右边应为$15 -5x + 35$，但题目中写成$15 -5x +7$，此步骤错误；步骤③移项合并应为$8x=-20$，步骤④系数化为1得$x=-\dfrac{5}{2}$，但题目后续步骤均基于错误的步骤②，因此开始出错的一步是②。
【答案】B
【知识点】一元一次方程解法、去括号法则
【点评】本题考查一元一次方程解法中的去括号运算，需牢记乘法分配律，去括号时要注意符号变化，避免漏乘常数项，属于基础易错题型。
【难度系数】0.6
【解析】原方程$\dfrac{1}{5}(x+15)=1-\dfrac{1}{3}(x-7)$，步骤①去分母，两边同乘15得：$3(x+15)=15-5(x-7)$，该步骤正确；步骤②去括号，右边应为$15 -5x + 35$，但题目中写成$15 -5x +7$，此步骤错误；步骤③移项合并应为$8x=-20$，步骤④系数化为1得$x=-\dfrac{5}{2}$，但题目后续步骤均基于错误的步骤②，因此开始出错的一步是②。
【答案】B
【知识点】一元一次方程解法、去括号法则
【点评】本题考查一元一次方程解法中的去括号运算，需牢记乘法分配律，去括号时要注意符号变化，避免漏乘常数项，属于基础易错题型。
【难度系数】0.6
3. 教材 P117 练习 T1·变式 解下列方程：
(1) $\dfrac{5x+1}{2}-\dfrac{7x+2}{4}=1$；
(2) $\dfrac{x}{0.2}-1=\dfrac{2x-0.8}{0.3}.$
(1) $\dfrac{5x+1}{2}-\dfrac{7x+2}{4}=1$；
(2) $\dfrac{x}{0.2}-1=\dfrac{2x-0.8}{0.3}.$
答案
(1)$x=\dfrac{4}{3}$
(2)$x=1$
(2)$x=1$
解析
【分析】
本题是解一元一次方程的变式题，第(1)题含分数系数，需通过去分母转化为整数系数方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；第(2)题分母为小数，先利用分数的基本性质将小数分母化为整数，再按解一元一次方程的常规步骤计算，核心是掌握一元一次方程的解法流程，注意去分母时常数项需同步乘公分母，化小数分母时分子分母同乘非零数。
【解析】
(1) 解：去分母，两边同乘4，得：
$2(5x+1) - (7x+2) = 4$
去括号，得：
$10x + 2 - 7x - 2 = 4$
合并同类项，得：
$3x = 4$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{4}{3}$
(2) 解：利用分数的基本性质将分母化为整数，原方程变形为：
$5x - 1 = \dfrac{20x - 8}{3}$
去分母，两边同乘3，得：
$15x - 3 = 20x - 8$
移项，得：
$15x - 20x = -8 + 3$
合并同类项，得：
$-5x = -5$
系数化为1，得：
$x = 1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{4}{3}$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、分数的基本性质
【点评】
本题是教材基础题的变式，聚焦一元一次方程核心解法，分别考查含分数系数、小数系数的方程处理技巧，步骤清晰，注重基础运算能力，是巩固一元一次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.7
本题是解一元一次方程的变式题，第(1)题含分数系数，需通过去分母转化为整数系数方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；第(2)题分母为小数，先利用分数的基本性质将小数分母化为整数，再按解一元一次方程的常规步骤计算，核心是掌握一元一次方程的解法流程，注意去分母时常数项需同步乘公分母，化小数分母时分子分母同乘非零数。
【解析】
(1) 解：去分母，两边同乘4，得：
$2(5x+1) - (7x+2) = 4$
去括号，得：
$10x + 2 - 7x - 2 = 4$
合并同类项，得：
$3x = 4$
系数化为1，得：
$x = \dfrac{4}{3}$
(2) 解：利用分数的基本性质将分母化为整数，原方程变形为：
$5x - 1 = \dfrac{20x - 8}{3}$
去分母，两边同乘3，得：
$15x - 3 = 20x - 8$
移项，得：
$15x - 20x = -8 + 3$
合并同类项，得：
$-5x = -5$
系数化为1，得：
$x = 1$
【答案】
(1) $x=\dfrac{4}{3}$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、分数的基本性质
【点评】
本题是教材基础题的变式，聚焦一元一次方程核心解法，分别考查含分数系数、小数系数的方程处理技巧，步骤清晰，注重基础运算能力，是巩固一元一次方程解法的典型题目。
【难度系数】
0.7
4. (2024·重庆丰都期末) 关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x+a}{3}=-1$ 的解是非负整数,且关于 $y$ 的多项式 $ay^4 - y^a - 3y^4$ 是四次多项式,则所有满足条件的正整数 $a$ 的和是(
A.3
B.4
C.5
D.6
A
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析：$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x+a}{3}=-1$,
去分母,得$3(x+1)-2(2x+a)=-6$,
去括号,得$3x+3-4x-2a=-6$,
解得$x=9-2a$.
$\because x$为非负整数,$a$为正整数,
$\therefore a$可以为1,2,3,4.
$\because$关于$y$的多项式$ay^4 - y^a - 3y^4$是四次多项式,且$a$为正整数,
$\therefore a=1,2,1+2=3$.
故所有满足条件的正整数$a$的和是3.
故选A.
解析：$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x+a}{3}=-1$,
去分母,得$3(x+1)-2(2x+a)=-6$,
去括号,得$3x+3-4x-2a=-6$,
解得$x=9-2a$.
$\because x$为非负整数,$a$为正整数,
$\therefore a$可以为1,2,3,4.
$\because$关于$y$的多项式$ay^4 - y^a - 3y^4$是四次多项式,且$a$为正整数,
$\therefore a=1,2,1+2=3$.
故所有满足条件的正整数$a$的和是3.
故选A.
解析
【分析】
先解关于$x$的一元一次方程，用含$a$的代数式表示方程的解，结合$x$为非负整数、$a$为正整数初步确定$a$的可能取值；再根据关于$y$的多项式是四次多项式的条件，进一步筛选$a$的取值，最后计算满足两个条件的正整数$a$的和。
【解析】
1. 解方程$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x+a}{3}=-1$：
去分母，两边同乘6得：$3(x+1)-2(2x+a)=-6$；
去括号得：$3x+3-4x-2a=-6$；
移项、合并同类项得：$-x=-9+2a$，即$x=9-2a$。
2. 由$x$为非负整数，$a$为正整数，得$9-2a≥0$，故$a$可取1、2、3、4。
3. 分析多项式$ay^4 - y^a - 3y^4$：
合并同类项得：$(a-3)y^4 - y^a$，该多项式为四次多项式，需满足最高次项次数为4：
$a=4$时，多项式为$(4-3)y^4 - y^4=0$，是常数，不是多项式，排除；
$a=3$时，多项式为$(3-3)y^4 - y^3=-y^3$，是三次多项式，排除；
$a=2$时，多项式为$(2-3)y^4 - y^2=-y^4 - y^2$，是四次多项式，符合；
$a=1$时，多项式为$(1-3)y^4 - y=-2y^4 - y$，是四次多项式，符合；
综上，满足条件的正整数$a$为1、2。
4. 满足条件的正整数$a$的和为$1+2=3$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、多项式的次数
【点评】
本题综合考查一元一次方程解的性质与多项式次数的判断，需先通过方程解的范围初步确定$a$的可能值，再结合多项式次数要求筛选，解题时需注意合并同类项后多项式的特殊情况，难度适中。
【难度系数】
0.5
先解关于$x$的一元一次方程，用含$a$的代数式表示方程的解，结合$x$为非负整数、$a$为正整数初步确定$a$的可能取值；再根据关于$y$的多项式是四次多项式的条件，进一步筛选$a$的取值，最后计算满足两个条件的正整数$a$的和。
【解析】
1. 解方程$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2x+a}{3}=-1$：
去分母，两边同乘6得：$3(x+1)-2(2x+a)=-6$；
去括号得：$3x+3-4x-2a=-6$；
移项、合并同类项得：$-x=-9+2a$，即$x=9-2a$。
2. 由$x$为非负整数，$a$为正整数，得$9-2a≥0$，故$a$可取1、2、3、4。
3. 分析多项式$ay^4 - y^a - 3y^4$：
合并同类项得：$(a-3)y^4 - y^a$，该多项式为四次多项式，需满足最高次项次数为4：
$a=4$时，多项式为$(4-3)y^4 - y^4=0$，是常数，不是多项式，排除；
$a=3$时，多项式为$(3-3)y^4 - y^3=-y^3$，是三次多项式，排除；
$a=2$时，多项式为$(2-3)y^4 - y^2=-y^4 - y^2$，是四次多项式，符合；
$a=1$时，多项式为$(1-3)y^4 - y=-2y^4 - y$，是四次多项式，符合；
综上，满足条件的正整数$a$为1、2。
4. 满足条件的正整数$a$的和为$1+2=3$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解、多项式的次数
【点评】
本题综合考查一元一次方程解的性质与多项式次数的判断，需先通过方程解的范围初步确定$a$的可能值，再结合多项式次数要求筛选，解题时需注意合并同类项后多项式的特殊情况，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. (2024·浙江宁波期中) 某同学解关于 $x$ 的方程
$\frac{3x-1}{3}=1-\frac{4x+a}{6},$
在去分母时,漏乘方程右边的常数项,求得错误的解为 $x=2$, 则 $a=$
$\frac{3x-1}{3}=1-\frac{4x+a}{6},$
在去分母时,漏乘方程右边的常数项,求得错误的解为 $x=2$, 则 $a=$
-17
,该方程正确的解为 $x=$2.5
.答案
$a=-17$，正确的解为$x=2.5$
解析：$\because$关于$x$的方程$\dfrac{3x-1}{3}=1-\dfrac{4x+a}{6}$在去分母时,漏乘方程右边的常数项,
$\therefore$去分母,得$2(3x-1)=1-(4x+a)$.
将$x=2$代入,得$10=1-(8+a)$,
解得$a=-17$,
$\therefore$原方程为$\dfrac{3x-1}{3}=1-\dfrac{4x-17}{6}$,
解得$x=2.5$.
思路引导 本题考查解一元一次方程,正确掌握解法是解题的关键,先根据题意去分母,将$x=2$代入求出$a$的值,再将$a$代回原方程求出方程的解.
解析：$\because$关于$x$的方程$\dfrac{3x-1}{3}=1-\dfrac{4x+a}{6}$在去分母时,漏乘方程右边的常数项,
$\therefore$去分母,得$2(3x-1)=1-(4x+a)$.
将$x=2$代入,得$10=1-(8+a)$,
解得$a=-17$,
$\therefore$原方程为$\dfrac{3x-1}{3}=1-\dfrac{4x-17}{6}$,
解得$x=2.5$.
思路引导 本题考查解一元一次方程,正确掌握解法是解题的关键,先根据题意去分母,将$x=2$代入求出$a$的值,再将$a$代回原方程求出方程的解.
解析
【分析】
本题解题思路为：先明确去分母时漏乘常数项的错误形式，将错误解代入错误去分母后的方程求出参数$a$；再将$a$代回原方程，正确去分母后求解得到方程的正确解。
【解析】
1. 确定错误去分母形式：原方程两边同乘6去分母时，若漏乘右边的常数项1，则错误的去分母结果为$2(3x - 1) = 1 - (4x + a)$。
2. 求参数$a$：将错误解$x=2$代入上述错误方程，得$2×(3×2 - 1) = 1 - (4×2 + a)$，计算得$10 = 1 - 8 - a$，解得$a=-17$。
3. 求正确解：将$a=-17$代入原方程，得$\frac{3x - 1}{3} = 1 - \frac{4x - 17}{6}$，正确去分母（两边同乘6）得$2(3x -1)=6 - (4x -17)$，展开整理得$10x=25$，解得$x=2.5$。
【答案】
$a=-17$，正确的解为$x=2.5$
【知识点】
一元一次方程的解法，去分母解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的解法，核心是掌握去分母时需将方程每一项都乘分母的最小公倍数，通过错误解先求参数再解正确方程，属于基础题型，需注意避免去分母时漏乘常数项的错误。
【难度系数】
0.6
本题解题思路为：先明确去分母时漏乘常数项的错误形式，将错误解代入错误去分母后的方程求出参数$a$；再将$a$代回原方程，正确去分母后求解得到方程的正确解。
【解析】
1. 确定错误去分母形式：原方程两边同乘6去分母时，若漏乘右边的常数项1，则错误的去分母结果为$2(3x - 1) = 1 - (4x + a)$。
2. 求参数$a$：将错误解$x=2$代入上述错误方程，得$2×(3×2 - 1) = 1 - (4×2 + a)$，计算得$10 = 1 - 8 - a$，解得$a=-17$。
3. 求正确解：将$a=-17$代入原方程，得$\frac{3x - 1}{3} = 1 - \frac{4x - 17}{6}$，正确去分母（两边同乘6）得$2(3x -1)=6 - (4x -17)$，展开整理得$10x=25$，解得$x=2.5$。
【答案】
$a=-17$，正确的解为$x=2.5$
【知识点】
一元一次方程的解法，去分母解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的解法，核心是掌握去分母时需将方程每一项都乘分母的最小公倍数，通过错误解先求参数再解正确方程，属于基础题型，需注意避免去分母时漏乘常数项的错误。
【难度系数】
0.6
6. 中考新考法 过程纠错改错 按要求完成下面题目：
$x-\frac{x-1}{2}=\frac{2}{3}-\frac{x+2}{3}.$
解:去分母,得 $6x-3x+1=4-2x+4$,①
即$-3x+1=-2x+8$,②
移项,得$-3x+2x=8-1$,③
合并同类项,得$-x=7$,④
所以 $x=-7$.⑤
上述解方程的过程中,是否有错误？如果有错误,请你给出正确的解题过程.
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精题详解
$x-\frac{x-1}{2}=\frac{2}{3}-\frac{x+2}{3}.$
解:去分母,得 $6x-3x+1=4-2x+4$,①
即$-3x+1=-2x+8$,②
移项,得$-3x+2x=8-1$,③
合并同类项,得$-x=7$,④
所以 $x=-7$.⑤
上述解方程的过程中,是否有错误？如果有错误,请你给出正确的解题过程.
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精题详解
答案
有错误. 正确过程如下：
去分母,得$6x-3(x-1)=4-2(x+2)$,
去括号,得$6x-3x+3=4-2x-4$,
移项,得$6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项,得$5x=-3$,
系数化为1,得$x=-\dfrac{3}{5}$.
去分母,得$6x-3(x-1)=4-2(x+2)$,
去括号,得$6x-3x+3=4-2x-4$,
移项,得$6x-3x+2x=4-4-3$,
合并同类项,得$5x=-3$,
系数化为1,得$x=-\dfrac{3}{5}$.
解析
【分析】
首先观察原解方程过程，去分母时未给分子整体加括号，导致去括号后符号错误，这是一元一次方程去分母步骤的常见易错点。解题时需先找出原步骤的错误，再按照“去分母（两边乘最小公倍数，分子多项式加括号）→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的正确步骤求解。
【解析】
原解方程过程存在错误，正确解题步骤如下：
1. 去分母：方程两边同时乘以6（2和3的最小公倍数），注意分子是多项式需加括号，得：
$6x - 3(x - 1) = 4 - 2(x + 2)$
2. 去括号：根据去括号法则，得：
$6x - 3x + 3 = 4 - 2x - 4$
3. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：
$6x - 3x + 2x = 4 - 4 - 3$
4. 合并同类项：得：
$5x = -3$
5. 系数化为1：两边同时除以5，得：
$x = -\dfrac{3}{5}$
【答案】
有错误，正确解为$x=-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题为中考常见的过程纠错题型，考查一元一次方程的解法，核心是掌握去分母时需给分子整体加括号的注意事项，避免符号错误，需熟悉解方程的基本步骤及易错点。
【难度系数】
0.6
首先观察原解方程过程，去分母时未给分子整体加括号，导致去括号后符号错误，这是一元一次方程去分母步骤的常见易错点。解题时需先找出原步骤的错误，再按照“去分母（两边乘最小公倍数，分子多项式加括号）→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的正确步骤求解。
【解析】
原解方程过程存在错误，正确解题步骤如下：
1. 去分母：方程两边同时乘以6（2和3的最小公倍数），注意分子是多项式需加括号，得：
$6x - 3(x - 1) = 4 - 2(x + 2)$
2. 去括号：根据去括号法则，得：
$6x - 3x + 3 = 4 - 2x - 4$
3. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：
$6x - 3x + 2x = 4 - 4 - 3$
4. 合并同类项：得：
$5x = -3$
5. 系数化为1：两边同时除以5，得：
$x = -\dfrac{3}{5}$
【答案】
有错误，正确解为$x=-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题为中考常见的过程纠错题型，考查一元一次方程的解法，核心是掌握去分母时需给分子整体加括号的注意事项，避免符号错误，需熟悉解方程的基本步骤及易错点。
【难度系数】
0.6
