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9. (2024·南京秦淮区期中) 已知方程 $2(x-6)=-16$ 的解同时也是方程 $a(x+3)=\dfrac{1}{2}a+x$ 的解，求 $a^2-\dfrac{a}{2}+1$ 的值.
答案
9. 由$2(x-6)=-16$,解得$x=-2$.
$\because$方程$2(x-6)=-16$的解同时也是方程$a(x+3)=\dfrac{1}{2}a+x$的解,$\therefore (-2+3)a=\dfrac{1}{2}a-2$,解得$a=-4$,
$\therefore a^2-\dfrac{a}{2}+1=(-4)^2-\dfrac{-4}{2}+1=16+2+1=19$.
$\because$方程$2(x-6)=-16$的解同时也是方程$a(x+3)=\dfrac{1}{2}a+x$的解,$\therefore (-2+3)a=\dfrac{1}{2}a-2$,解得$a=-4$,
$\therefore a^2-\dfrac{a}{2}+1=(-4)^2-\dfrac{-4}{2}+1=16+2+1=19$.
解析
【分析】
要解决本题，需先求解第一个一元一次方程得到公共解$x$，再利用“同解”条件将$x$代入第二个方程求出参数$a$，最后把$a$代入所求代数式计算结果即可。
【解析】
解：先解方程$2(x-6)=-16$，
去括号得：$2x - 12 = -16$，
移项得：$2x = -16 + 12$，
合并同类项得：$2x = -4$，
系数化为1得：$x = -2$。
因为方程$2(x-6)=-16$的解同时也是方程$a(x+3)=\dfrac{1}{2}a+x$的解，所以将$x=-2$代入该方程：
左边：$a(-2 + 3) = a$，
右边：$\dfrac{1}{2}a + (-2) = \dfrac{1}{2}a - 2$，
可得等式：$a = \dfrac{1}{2}a - 2$，
移项得：$a - \dfrac{1}{2}a = -2$，
合并同类项得：$\dfrac{1}{2}a = -2$，
系数化为1得：$a = -4$。
将$a=-4$代入$a^2 - \dfrac{a}{2} +1$：
原式$= (-4)^2 - \dfrac{-4}{2} +1 = 16 + 2 +1 =19$。
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程的解法；代数式求值；方程的解的应用
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题，核心考查“同解方程”的应用，步骤清晰，逻辑简单，属于学生必须掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先求解第一个一元一次方程得到公共解$x$，再利用“同解”条件将$x$代入第二个方程求出参数$a$，最后把$a$代入所求代数式计算结果即可。
【解析】
解：先解方程$2(x-6)=-16$，
去括号得：$2x - 12 = -16$，
移项得：$2x = -16 + 12$，
合并同类项得：$2x = -4$，
系数化为1得：$x = -2$。
因为方程$2(x-6)=-16$的解同时也是方程$a(x+3)=\dfrac{1}{2}a+x$的解，所以将$x=-2$代入该方程：
左边：$a(-2 + 3) = a$，
右边：$\dfrac{1}{2}a + (-2) = \dfrac{1}{2}a - 2$，
可得等式：$a = \dfrac{1}{2}a - 2$，
移项得：$a - \dfrac{1}{2}a = -2$，
合并同类项得：$\dfrac{1}{2}a = -2$，
系数化为1得：$a = -4$。
将$a=-4$代入$a^2 - \dfrac{a}{2} +1$：
原式$= (-4)^2 - \dfrac{-4}{2} +1 = 16 + 2 +1 =19$。
【答案】
19
【知识点】
一元一次方程的解法；代数式求值；方程的解的应用
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题，核心考查“同解方程”的应用，步骤清晰，逻辑简单，属于学生必须掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
10. 中考新考法 新定义问题 (2025·泰州泰兴期中)阅读
下列材料:我们引入一种新的符号表示方式:
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$这种符号形式称为行列式. 规定:
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,例如$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5-3×$$4=10-12=-2$,按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)计算:$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=$ ______ ;
若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$,则$x=$ ______ ;
(2)直接写出$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$与$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}$的数量关系;
(3)请写出一个行列式,它的结果为$-2$.
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精题详解
下列材料:我们引入一种新的符号表示方式:
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$这种符号形式称为行列式. 规定:
$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,例如$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5-3×$$4=10-12=-2$,按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)计算:$\begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=$ ______ ;
若$\begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=0$,则$x=$ ______ ;
(2)直接写出$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}$与$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}$的数量关系;
(3)请写出一个行列式,它的结果为$-2$.
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精题详解
答案
10.(1)$-34$ $2$ [解析]$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=-6×4-5×2=-24-10=-34$;
$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=2(x+3)-5x$,
$\therefore 2(x+3)-5x=0$,
去括号,得$2x+6-5x=0$,
移项、合并同类项,得$-3x=-6$,
将系数化为1,得$x=2$.
(2)$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=0$,理由如下:
$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=bc-ad$,
$\therefore \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=ad-bc+bc-ad=0$.
(3)如$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=-2×1-0=-2$(答案不唯一).
$\therefore \begin{vmatrix} -6&5 \\ 2&4 \end{vmatrix}=-6×4-5×2=-24-10=-34$;
$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} 2&x \\ 5&x+3 \end{vmatrix}=2(x+3)-5x$,
$\therefore 2(x+3)-5x=0$,
去括号,得$2x+6-5x=0$,
移项、合并同类项,得$-3x=-6$,
将系数化为1,得$x=2$.
(2)$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=0$,理由如下:
$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,$\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=bc-ad$,
$\therefore \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a \\ d&b \end{vmatrix}=ad-bc+bc-ad=0$.
(3)如$\begin{vmatrix} -2&0 \\ 4&1 \end{vmatrix}=-2×1-0=-2$(答案不唯一).
解析
【分析】本题属于新定义运算类题目，核心是明确行列式的运算规则：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$。解题时需将给定行列式按规则转化为代数表达式，再根据问题类型进行计算、解方程或推导关系：(1)直接代入数值计算行列式值，或转化为一元一次方程求解；(2)分别计算两个行列式的表达式，分析其数量关系；(3)构造满足$ad-bc=-2$的行列式即可。
【解析】
(1) 根据行列式规则$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$：
计算$\begin{vmatrix}-6&5\\2&4\end{vmatrix}$：原式$=-6×4 -5×2=-24-10=-34$；
对于$\begin{vmatrix}2&x\\5&x+3\end{vmatrix}=0$，转化为方程：$2(x+3)-5x=0$，去括号得$2x+6-5x=0$，合并同类项得$-3x=-6$，系数化为1得$x=2$；
(2) 分别计算两个行列式：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$，$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=c×b -a×d=bc-ad$，两者相加得$(ad-bc)+(bc-ad)=0$，故数量关系为$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=0$；
(3) 构造满足$ad-bc=-2$的行列式，例如取$a=-2$、$d=1$、$b=4$、$c=0$，则$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}=-2×1 -0×4=-2$（答案不唯一）；
【答案】(1) $-34$；$2$ (2) $\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=0$ (3) 示例：$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}$（答案不唯一）
【知识点】新定义运算、一元一次方程、整式的加减
【点评】本题为中考新考法的新定义问题，重点考查对新运算规则的理解与应用，将陌生运算转化为常规代数运算即可解决，难度适中，能考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 根据行列式规则$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$：
计算$\begin{vmatrix}-6&5\\2&4\end{vmatrix}$：原式$=-6×4 -5×2=-24-10=-34$；
对于$\begin{vmatrix}2&x\\5&x+3\end{vmatrix}=0$，转化为方程：$2(x+3)-5x=0$，去括号得$2x+6-5x=0$，合并同类项得$-3x=-6$，系数化为1得$x=2$；
(2) 分别计算两个行列式：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$，$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=c×b -a×d=bc-ad$，两者相加得$(ad-bc)+(bc-ad)=0$，故数量关系为$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=0$；
(3) 构造满足$ad-bc=-2$的行列式，例如取$a=-2$、$d=1$、$b=4$、$c=0$，则$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}=-2×1 -0×4=-2$（答案不唯一）；
【答案】(1) $-34$；$2$ (2) $\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}=0$ (3) 示例：$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}$（答案不唯一）
【知识点】新定义运算、一元一次方程、整式的加减
【点评】本题为中考新考法的新定义问题，重点考查对新运算规则的理解与应用，将陌生运算转化为常规代数运算即可解决，难度适中，能考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】0.6
11. 中考新考法 过程纠错改错 我们定义$[x]$表示小于等于$x$的最大整数,例如:$[12.2]=12$,$[0.24]=0$.阅读下列解题过程,然后回答问题.
解方程:$[3.2](x-1)+[2.4]=[-4.9].$
解:由题意,得原方程化为$3(x-1)+2=-4,$
去括号,得$3x-3+2=-4,$
移项、合并同类项,得$3x=-3,$
方程两边同时除以 3,得$x=-1.$
(1)判断以上解题过程是否正确? 若不正确,请说明理由,并写出正确解题过程.
(2)根据材料,解方程$[-6.1](-x+2)-[11.3]=[6.6]· 2x.$
精题详解
解方程:$[3.2](x-1)+[2.4]=[-4.9].$
解:由题意,得原方程化为$3(x-1)+2=-4,$
去括号,得$3x-3+2=-4,$
移项、合并同类项,得$3x=-3,$
方程两边同时除以 3,得$x=-1.$
(1)判断以上解题过程是否正确? 若不正确,请说明理由,并写出正确解题过程.
(2)根据材料,解方程$[-6.1](-x+2)-[11.3]=[6.6]· 2x.$
精题详解
答案
11.(1)不正确.理由:$[-4,9]=-5$.
正确解题过程如下:
原方程可化为$3(x-1)+2=-5$,
去括号,得$3x-3+2=-5$,
移项、合并同类项,得$3x=-4$,
方程两边同时除以3,得$x=-\dfrac{4}{3}$.
(2)原方程可化为$-7(-x+2)-11=6×2x$,
去括号,得$7x-14-11=12x$,
移项、合并同类项,得$-5x=25$,
方程两边同时除以$-5$,得$x=-5$.
正确解题过程如下:
原方程可化为$3(x-1)+2=-5$,
去括号,得$3x-3+2=-5$,
移项、合并同类项,得$3x=-4$,
方程两边同时除以3,得$x=-\dfrac{4}{3}$.
(2)原方程可化为$-7(-x+2)-11=6×2x$,
去括号,得$7x-14-11=12x$,
移项、合并同类项,得$-5x=25$,
方程两边同时除以$-5$,得$x=-5$.
解析
【分析】首先明确取整函数$[x]$的定义：$[x]$是小于等于$x$的最大整数。第(1)问需先指出原解题对取整函数的计算错误，再按正确取整值转化方程求解；第(2)问需先准确计算各取整函数的值，转化为普通一元一次方程后按步骤求解。
【解析】
(1) 原解题过程不正确。理由：根据取整函数定义，小于等于$-4.9$的最大整数是$-5$，原解题误将$[-4.9]$算成$-4$，导致错误。
正确解题过程：
根据题意，原方程可化为：$3(x-1)+2=-5$
去括号，得：$3x - 3 + 2 = -5$
移项、合并同类项，得：$3x = -4$
方程两边同时除以3，得：$x = -\dfrac{4}{3}$
(2) 先计算各取整函数的值：$[-6.1]=-7$，$[11.3]=11$，$[6.6]=6$，原方程可化为：
$-7(-x + 2) - 11 = 6×2x$
去括号，得：$7x - 14 - 11 = 12x$
移项、合并同类项，得：$-5x = 25$
方程两边同时除以$-5$，得：$x = -5$
【答案】
11.(1)不正确。理由：$[-4.9]=-5$。正确解题过程如下：原方程可化为$3(x-1)+2=-5$，去括号，得$3x-3+2=-5$，移项、合并同类项，得$3x=-4$，方程两边同时除以3，得$x=-\dfrac{4}{3}$。
(2)原方程可化为$-7(-x+2)-11=6×2x$，去括号，得$7x-14-11=12x$，移项、合并同类项，得$-5x=25$，方程两边同时除以$-5$，得$x=-5$。
【知识点】取整函数、一元一次方程
【点评】本题为中考新考法的过程纠错题，核心考查取整函数定义的理解及一元一次方程的解法，需准确把握取整规则，避免概念误解导致错误，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 原解题过程不正确。理由：根据取整函数定义，小于等于$-4.9$的最大整数是$-5$，原解题误将$[-4.9]$算成$-4$，导致错误。
正确解题过程：
根据题意，原方程可化为：$3(x-1)+2=-5$
去括号，得：$3x - 3 + 2 = -5$
移项、合并同类项，得：$3x = -4$
方程两边同时除以3，得：$x = -\dfrac{4}{3}$
(2) 先计算各取整函数的值：$[-6.1]=-7$，$[11.3]=11$，$[6.6]=6$，原方程可化为：
$-7(-x + 2) - 11 = 6×2x$
去括号，得：$7x - 14 - 11 = 12x$
移项、合并同类项，得：$-5x = 25$
方程两边同时除以$-5$，得：$x = -5$
【答案】
11.(1)不正确。理由：$[-4.9]=-5$。正确解题过程如下：原方程可化为$3(x-1)+2=-5$，去括号，得$3x-3+2=-5$，移项、合并同类项，得$3x=-4$，方程两边同时除以3，得$x=-\dfrac{4}{3}$。
(2)原方程可化为$-7(-x+2)-11=6×2x$，去括号，得$7x-14-11=12x$，移项、合并同类项，得$-5x=25$，方程两边同时除以$-5$，得$x=-5$。
【知识点】取整函数、一元一次方程
【点评】本题为中考新考法的过程纠错题，核心考查取整函数定义的理解及一元一次方程的解法，需准确把握取整规则，避免概念误解导致错误，难度适中。
【难度系数】0.6
12. 新情境 选数字猜出生年份 （2024·长沙中考）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是
2009
.答案
12. 2 009 [解析]设这位参与者的出生年份为$x$,选取的数字为$m$,
由题意,得$(10m+4.6)×10+1\ 978-x=915$,
$\therefore 100m+46+1\ 978-x=915$,
$\therefore x=1\ 109+100m$.
$\because$此时中学生的出生时间应该在2000年后,
$\therefore m=9$,$\therefore x=2\ 009$.
由题意,得$(10m+4.6)×10+1\ 978-x=915$,
$\therefore 100m+46+1\ 978-x=915$,
$\therefore x=1\ 109+100m$.
$\because$此时中学生的出生时间应该在2000年后,
$\therefore m=9$,$\therefore x=2\ 009$.
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路为：先设出选取的数字和出生年份两个未知数，根据题目描述的运算流程列出等式，化简等式得到出生年份与选取数字的关系，再结合中学生出生年份在2000年后、选取数字为1~9的整数这两个实际条件，确定选取的数字，进而计算出出生年份。
【解析】
设这位参与者的出生年份为$ x $，选取的数字为$ m $（$ m $为1~9的整数）。
根据题目中的运算步骤，可列出方程：
$(10m + 4.6) × 10 + 1978 - x = 915$
化简方程左边：
$100m + 46 + 1978 - x = 915$
整理得：
$x = 100m + 1109$
因为参与者是中学生，出生年份应为2000年后，所以$ x ＞ 2000 $，即：
$100m + 1109 ＞ 2000$
解得$ m ＞ 8.91 $，又$ m $是1~9的整数，故$ m = 9 $。
将$ m = 9 $代入$ x = 100m + 1109 $，得：
$x = 100 × 9 + 1109 = 2009$
【答案】
2009
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式化简
【点评】
本题结合实际情境考查一元一次方程的应用，关键是理清运算逻辑建立方程，再结合实际意义确定未知数取值，难度适中，能考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是一元一次方程的实际应用问题，解题思路为：先设出选取的数字和出生年份两个未知数，根据题目描述的运算流程列出等式，化简等式得到出生年份与选取数字的关系，再结合中学生出生年份在2000年后、选取数字为1~9的整数这两个实际条件，确定选取的数字，进而计算出出生年份。
【解析】
设这位参与者的出生年份为$ x $，选取的数字为$ m $（$ m $为1~9的整数）。
根据题目中的运算步骤，可列出方程：
$(10m + 4.6) × 10 + 1978 - x = 915$
化简方程左边：
$100m + 46 + 1978 - x = 915$
整理得：
$x = 100m + 1109$
因为参与者是中学生，出生年份应为2000年后，所以$ x ＞ 2000 $，即：
$100m + 1109 ＞ 2000$
解得$ m ＞ 8.91 $，又$ m $是1~9的整数，故$ m = 9 $。
将$ m = 9 $代入$ x = 100m + 1109 $，得：
$x = 100 × 9 + 1109 = 2009$
【答案】
2009
【知识点】
一元一次方程的应用，代数式化简
【点评】
本题结合实际情境考查一元一次方程的应用，关键是理清运算逻辑建立方程，再结合实际意义确定未知数取值，难度适中，能考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
