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1. (2025·南京联合体期中) 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$. 若$AC=3$，$BC=4$，则$△ AED$的周长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. B [解析]$\because ∠C=90^{\circ },\therefore DC⊥BC.$
又 BD 是$∠ABC$的平分线,$DE⊥AB$,
$\therefore DC=DE,∠EBD=∠CBD.$
在$\mathrm{Rt}△EBD$ 和 $\mathrm{Rt}△CBD$ 中,$\begin{cases} DE=DC,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△EBD≌\mathrm{Rt}△CBD(\mathrm{HL}),\therefore BC=BE=4.$
$\because AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$\therefore AE=5-4=1,$
$\therefore △AED$ 的周长$=AD+DE+AE=AC+AE=3+1=4.$
故选 B.
归纳总结 本题考查角平分线的性质定理及勾股定理，解题关键是利用勾股定理求线段的长.
又 BD 是$∠ABC$的平分线,$DE⊥AB$,
$\therefore DC=DE,∠EBD=∠CBD.$
在$\mathrm{Rt}△EBD$ 和 $\mathrm{Rt}△CBD$ 中,$\begin{cases} DE=DC,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△EBD≌\mathrm{Rt}△CBD(\mathrm{HL}),\therefore BC=BE=4.$
$\because AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$\therefore AE=5-4=1,$
$\therefore △AED$ 的周长$=AD+DE+AE=AC+AE=3+1=4.$
故选 B.
归纳总结 本题考查角平分线的性质定理及勾股定理，解题关键是利用勾股定理求线段的长.
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB$的中垂线$DE$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$D$,若$AB=15$,$BC=9$,则$△ BCD$的周长为(
A.16
B.20
C.21
D.24
C
).A.16
B.20
C.21
D.24
答案
2. C [解析]$\because ∠C=90^{\circ },AB=15,BC=9,\therefore AC^2=AB^2-BC^2=15^2-9^2=144,\therefore AC=12.$
$\because DE$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore AD=BD,$
$\therefore AD+CD=BD+CD$,即 $BD+CD=AC$,
$\therefore △BCD$ 的周长为 $CD+BD+BC=AC+BC=12+9=21.$ 故选 C.
归纳总结 本题考查的是勾股定理及线段垂直平分线的性质,能根据线段垂直平分线的性质,求出 $BD+CD=AC$ 是解答此题的关键.
$\because DE$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore AD=BD,$
$\therefore AD+CD=BD+CD$,即 $BD+CD=AC$,
$\therefore △BCD$ 的周长为 $CD+BD+BC=AC+BC=12+9=21.$ 故选 C.
归纳总结 本题考查的是勾股定理及线段垂直平分线的性质,能根据线段垂直平分线的性质,求出 $BD+CD=AC$ 是解答此题的关键.
3 (2024·镇江句容期末) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $∠ A C B=$$90°$, 分别以 $A C, A B$ 为边长向外作正方形, 且它们的面积分别为 9 和 25 , 则 $B C$ 的长为
4
.答案
3. 4
4. 方程思想（2025·淮安淮安区期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°, AC=8, BC=6, AD$为$△ ABC$的角平分线. 求$CD$的长度.
答案
4. 如图,过点 $D$ 作 $DP⊥AB$ 于点 $P$,
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AC=8,BC=6$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$
$\because ∠CAD=∠PAD,∠C=∠APD=90^{\circ },$
$AD=AD,\therefore △ADC≌△ADP(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AC=AP=8,CD=PD.$
设 $CD=PD=x$,
在 $\mathrm{Rt}△BDP$ 中,$PB=AB-AP=2,BD=6-x$,
$\therefore x^2+2^2=(6-x)^2,\therefore x=\frac{8}{3},\therefore CD=\frac{8}{3}.$
5. 教材P89练习T2·变式（2024·陕西咸阳兴平期末）如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为$S_1$,$S_2,S_3$.若$S_3+S_2-S_1=18$,则图中阴影部分的面积为(
A.6
B.$\dfrac{9}{2}$
C.5
D.$\dfrac{7}{2}$
B
).A.6
B.$\dfrac{9}{2}$
C.5
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
5. B [解析]在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC^2+AB^2=BC^2$,即 $S_1+S_2=S_3.$
$\because S_3+S_2-S_1=18,\therefore S_2=9.$
由题图可知,阴影部分的面积$=\frac{1}{2}S_2$,
$\therefore$ 阴影部分的面积$=\frac{9}{2}$. 故选 B.
$\because S_3+S_2-S_1=18,\therefore S_2=9.$
由题图可知,阴影部分的面积$=\frac{1}{2}S_2$,
$\therefore$ 阴影部分的面积$=\frac{9}{2}$. 故选 B.
6. (2025·苏州模拟) “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为 $m$,$n$($m＞n$). 若小正方形面积为 5,$(m+n)^2=21$,则大正方形面积为(
A.12
B.13
C.14
D.15
B
).A.12
B.13
C.14
D.15
答案
6. B [解析]由题意可知,中间小正方形的边长为 $m-n$,
$\therefore (m-n)^2=5$,即 $m^2+n^2-2mn=5$①.
$\because (m+n)^2=21,\therefore m^2+n^2+2mn=21$②.
由①+②,得 $2(m^2+n^2)=26$,
$\therefore$ 大正方形的面积为 $m^2+n^2=13$. 故选 B.
$\therefore (m-n)^2=5$,即 $m^2+n^2-2mn=5$①.
$\because (m+n)^2=21,\therefore m^2+n^2+2mn=21$②.
由①+②,得 $2(m^2+n^2)=26$,
$\therefore$ 大正方形的面积为 $m^2+n^2=13$. 故选 B.
7. (2025·苏州期中)如图,一架梯子斜靠在墙上,梯子顶端与墙角的距离$AC$长为4米,梯子的长为5米,则梯子与墙角的距离$BC$为
3
米.答案
7. 3 [解析]$\because ∠ACB=90^{\circ }$,梯子的长为 5 米,$AC=4$,
$\therefore BC=\sqrt{5^2-4^2}=3$(米).
$\therefore BC=\sqrt{5^2-4^2}=3$(米).
8. 等积法 (2025·泰州兴化期中) 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°, AB=15, AC=20.$
(1) 求 $BC$ 的值；
(2) 过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$，求 $BD$ 的值.
(1) 求 $BC$ 的值；
(2) 过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$，垂足为 $D$，求 $BD$ 的值.
答案
8. (1)在$△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ },AB=15,AC=20$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25.$
(2)如图,过点 $A$ 作 $AD⊥BC$ 于点 $D$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD,$
$\therefore AD=\frac{AB·AC}{BC}=\frac{15×20}{25}=12,$
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9.$
归纳总结 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是解答本题的关键.
