【例1】 对于任意实数 $x , y , z$，定义运算
“$*$”为 $x*y=\dfrac{3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45}{(x+1)^3+(y+1)^3-60}$，且 $x*$
$y*z=(x*y)*z$，则 $2\ 025*2\ 024*···*3*$
$2$ 的值为().

A.$\dfrac{607}{967}$
B.$\dfrac{1\ 821}{967}$
C.$\dfrac{5\ 463}{967}$
D.$\dfrac{16\ 389}{967}$
解析：设 $2\ 025*2\ 024*···*4=m$，
则 $(2\ 025*2\ 024*···*4)*3=m*3=$
$\dfrac{3m^3×3+3m^2×9+m×27+45}{m^3+3m^2+3m+1+64-60}=9,$
$\therefore(2\ 025*2\ 024*···*3)*2=9*2=$
$\dfrac{3×9^3×2+3×9^2×2^2+9×2^3+45}{10^3+3^3-60}=\dfrac{5\ 463}{967}.$
答案：C

解析：设 $2\ 025*2\ 024*···*4=m$，
则 $(2\ 025*2\ 024*···*4)*3=m*3=$
$\dfrac{3m^3×3+3m^2×9+m×27+45}{m^3+3m^2+3m+1+64-60}=9,$
$\therefore(2\ 025*2\ 024*···*3)*2=9*2=$
$\dfrac{3×9^3×2+3×9^2×2^2+9×2^3+45}{10^3+3^3-60}=\dfrac{5\ 463}{967}.$
答案：C

【例2】（全国初中数学竞赛）已知$a = \sqrt{5} - 1$，则$2a^{3} + 7a^{2} - 2a - 12$的值等于.
解析: 由已知, 得$(a + 1)^{2} = 5$, 所以$a^{2} + 2a = 4$, 于是$2a^{3} + 7a^{2} - 2a - 12 = 2a^{3} + 4a^{2} + 3a^{2} - 2a - 12 = 2a(a^{2} + 2a) + 3a^{2} - 2a - 12 = 3a^{2} + 6a - 12 = 3(a^{2} + 2a) - 12 = 0$.
答案: 0

解析: 由已知, 得$(a + 1)^{2} = 5$, 所以$a^{2} + 2a = 4$, 于是$2a^{3} + 7a^{2} - 2a - 12 = 2a^{3} + 4a^{2} + 3a^{2} - 2a - 12 = 2a(a^{2} + 2a) + 3a^{2} - 2a - 12 = 3a^{2} + 6a - 12 = 3(a^{2} + 2a) - 12 = 0$.
答案: 0

1. (第二十届“希望杯”全国数学邀请赛)将 $x$ 的整数部分记为 $[x]$，$x$ 的小数部分记为 $\{x\}$，易知 $x=[x]+\{x\}\ (0 ≤ \{x\}＜1)$. 若 $x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$，则 $[x]$ 等于().

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

1.A

2.（全国初中数学联赛）若实数$a,b,c$满足等式$2\sqrt{a}+3|b|=6,4\sqrt{a}-9|b|=6c,$则$c$可能取的最大值为（）.

A.0
B.1
C.2
D.3

2.C

3. [全国初中数学竞赛(福建赛区)初赛]如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数$\sqrt{a^{2}} - |a+b| + \sqrt{(c-a)^{2}} + |b+c|$可以化简为().


A.$2c-a$
B.$2a-2b$
C.$-a$
D.$a$

3.C

4. (全国初中数学竞赛) 设 $a=\sqrt[3]{3}, b$ 是 $a^{2}$ 的小数部分, 则 $(b+2)^{3}$ 的值为.

4.9 [解析]由于$1＜a＜2＜a^2＜3$.故$b=a^2-2=\sqrt[3]{9}-2$，因此$(b+2)^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$.

5. (全国初中数学竞赛) 设 $a,b,c$ 是素数，记 $x=$$b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c$，当 $z^{2}=$$y,\sqrt{x}-\sqrt{y}=2$ 时，$a,b,c$ 能否构成三角形的三边长？证明你的结论.

5.不能.证明如下：
依题意,得$a=\dfrac{1}{2}(y+z),b=\dfrac{1}{2}(x+z),c=\dfrac{1}{2}(x+y).$
因为$y=z^2$，
所以$a=\dfrac{1}{2}(y+z)=\dfrac{1}{2}(z^2+z)=\dfrac{z(z+1)}{2}.$
由于$z$为整数,$a$为素数，
所以$z=2$或$-3,a=3.$
当$z=2$时,$y=z^2=4,x=(\sqrt{y}+2)^2=16$，
进而$b=9,c=10$,与$b,c$是素数矛盾；
当$z=-3$时,$a+b-c＜0$，
所以$a,b,c$不能构成三角形的三边长。