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1. 手拉手模型 教材 P50 习题 T6·变式 如图，$△ ABC$ 和$△ DEC$ 都是等边三角形，$D$ 是 $BC$ 延长线上一点，$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $P$，$AC$，$BE$ 相交于点 $M$，$AD$，$CE$ 相交于点 $N$，则下列五个结论：①$AD=BE$；②$∠ BMC=∠ ANC$；③$∠ APM=$$60°$；④$AN=BM$；⑤$△ CMN$ 是等边三角形.其中，正确的有（
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
D
）.A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB + ∠ACE = ∠ECD + ∠ACE, 即 ∠BCE = ∠ACD,∠ACE=60°,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE. 故结论①正确；
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ACE=60°,
∴∠BMC=∠ANC. 故结论②正确；
∵∠APM 是△PBD 的外角，
∴∠APM = ∠CBE + ∠ADC = ∠CAD + ∠ADC = ∠ACB=60°. 故结论③正确；
在△ACN 和△BCM 中,$\begin{cases} ∠CAN=∠CBM, \\ AC=BC, \\ ∠ACN=∠BCM=60°, \end{cases}$
∴△ACN≌△BCM(ASA),
∴AN=BM. 故结论④正确；
∵△ACN≌△BCM,
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°,
∴△CMN 是等边三角形，
故结论⑤正确. 故选 D.
2. (2025·常州金坛区期中) 如图，$BD$ 是等边三角形$ABC$ 的边 $AC$ 上的高，以点 $D$ 为圆心，$DB$ 长为半径作弧交 $BC$ 的延长线于点 $E$，则$∠ DEC=$ (
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
).A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
在等边三角形 ABC 中,∠ABC=60°,
∵BD 是AC 边上的高,
∴BD 平分∠ABC,
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED,
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
∵BD 是AC 边上的高,
∴BD 平分∠ABC,
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED,
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
3. 教材P46例3·变式（2024·无锡锡山区期中）如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$DE// AB$，过点$E$作$EF⊥ DE$，交$BC$的延长线于点$F$.
(1)求$∠ F$的度数；
(2)若$CD=2$，求$DF$的长.
(1)求$∠ F$的度数；
(2)若$CD=2$，求$DF$的长.
答案
(1)
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB,
∴∠B=∠EDC=60°,∠A=∠CED=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.
∵EF⊥ED,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-60°=30°.
(2)
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°,
∴∠F=∠FEC=30°,
∴CE=CF.
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴CE=DC=2,
∴CF=2,
∴DF=DC+CF=2+2=4.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB,
∴∠B=∠EDC=60°,∠A=∠CED=60°,
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.
∵EF⊥ED,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-60°=30°.
(2)
∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°,
∴∠F=∠FEC=30°,
∴CE=CF.
∵∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,
∴CE=DC=2,
∴CF=2,
∴DF=DC+CF=2+2=4.
4. 等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$75^{\circ }$
C
）.A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$75^{\circ }$
答案
如图,△ABC 为等边三角形,BD,CE 分别为边AC,AB 上的中线,交于点O,
∴CE⊥AB,BD 平分∠ABC,
∴∠OEB=90°,∠EBO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∴∠BOE=90°-30°=60°. 故选 C.
本题主要考查等边三角形的性质,掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的平分线相互重合是解题的关键.
5. (2024·宿迁宿城区期末) 如图，$∠ AOB = 120°$，$OP$平分$∠ AOB$，且$OP = 1$. 若点$M$，$N$分别在$OA$，$OB$上，且$△ PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
D
).A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案
如图,过点 P 作 PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N.
∵OP 平分∠AOB,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,
∴PM=PN,∠PMO=90°,∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°.
∴此时,△PMN 是等边三角形.
当 M 向 MO 方向移动,N 向 NB 方向移动,∠MPM₁=∠NPN₁时.
∴∠M₁PN₁ = ∠M₁PN + ∠NPN₁ = ∠M₁PN + ∠MPM₁=∠MPN=60°.
在△PMM₁ 和△PNN₁ 中,$\begin{cases} ∠PMM_1=∠PNN_1, \\ PM=PN, \\ ∠MPM_1=∠NPN_1, \end{cases}$
∴△PMM₁≌△PNN₁(ASA),
∴PM₁=PN₁,
∴△M₁PN₁ 是等边三角形.
∴当 M 向 MO 方向移动,N 向 NB 方向移动,∠MPM₁=∠NPN₁ 时,△M₁PN₁ 是等边三角形.
同理:当 M 向 MA 方向移动,N 向 NO 方向移动,也存在无数个满足条件的等边三角形 PMN.
综上所述,满足条件的△PMN 有无数个. 故选 D.
6. 如图,等边三角形纸片$ABC$的边长为$6$,$E,F$是边$BC$上的三等分点. 分别过点$E,F$沿着平行于$BA,CA$方向各剪一刀,则剪下的$△ DEF$的周长是
6
.答案
6
7. 以正方形$ABCD$的一边$CD$为边作等边三角形$CDE$.连接$AE,BE$.
(1)画出图形;
(2)求$∠ AEB$的度数.
(1)画出图形;
(2)求$∠ AEB$的度数.
答案
(1)当点 E 在正方形 ABCD 外时,如图(1);
当点 E 在正方形 ABCD 内时,如图(2).
(2)在图(1)中,
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°,AD=CD=DE,
∴∠DEA=∠DAE=15°. 同理∠CEB=15°.
∴∠AEB=∠DEC-∠DEA-∠CEB=60°-15°-15°=30°.
在图(2)中,
∵ AD = CD = DE,∠ADE = ∠ADC - ∠CDE=90°-60°=30°,
∴∠AED=∠DAE=75°. 同理∠CEB=75°.
∴∠AEB=360°-∠AED-∠CEB-∠CED=360°-75°-75°-60°=150°.
综上所述,∠AEB 的度数为 30°或 150°.
8.（2025·扬州广陵区期中）已知：如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，点$E$是$AC$的中点.
(1)求证:$△ BED$是等腰三角形；
(2)当$∠ BCD=$
(1)求证:$△ BED$是等腰三角形；
(2)当$∠ BCD=$
150
$°$时，$△ BED$是等边三角形.答案
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°,点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,
∴BE=DE,
∴△BED 是等腰三角形.
(2)150
∵AE=ED,
∴∠DAE=∠EDA.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC,
∠EAB+∠EBA=∠BEC,
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB.
∵△BED 是等边三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠BAD=30°,
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°.
此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识,根据题意得出$\frac{1}{2}∠DEB=∠DAB$是解题关键.
∵∠ABC=∠ADC=90°,点 E 是 AC 边的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,
∴BE=DE,
∴△BED 是等腰三角形.
(2)150
∵AE=ED,
∴∠DAE=∠EDA.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC,
∠EAB+∠EBA=∠BEC,
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DEB.
∵△BED 是等边三角形,
∴∠DEB=60°,
∴∠BAD=30°,
∴∠BCD=360°-90°-90°-30°=150°.
此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识,根据题意得出$\frac{1}{2}∠DEB=∠DAB$是解题关键.
