9. (2025·苏州外国语学校月考) 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC,∠ BAC=120°,AD ⊥ BC$ , 垂足为 $G$ , 且 $AD=AB,∠ EDF=60°$ , 其两边分别交边 $AB,AC$ 于点 $E,F$ . 求证:
(1) $△ ABD$ 是等边三角形;
(2) $BE=AF$.

(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵AD=AB=AC,
∴△ABD 是等边三角形.
(2)
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE 与△ADF 中,$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.

10. (2025·扬州广陵区期中)如图(1),在四边形$ABCD$中,$DC// AB$,$AD=BC$,$BD$平分$∠ ABC$.
(1)求证:$AD=DC$;
(2)如图(2),在上述条件下,若$∠ A=$$∠ ABC=60°$,过点$D$作$DE⊥ AB$,过点$C$作$CF⊥ BD$,垂足分别为$E,F$,连接$EF$.判断$△ DEF$的形状并证明你的结论.

(1)
∵DC//AB,
∴∠CDB=∠ABD.
又 BD 平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD.
∴∠CDB=∠CBD,
∴BC=DC.
又 AD=BC,
∴AD=DC.
(2)△DEF 为等边三角形,证明如下:
∵BC=DC(已证),CF⊥BD,
∴点 F 是 BD 的中点.
∵∠DEB=90°,
∴EF=DF=BF.
∵∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,
∴∠DBE=30°,∠BDE=60°,
∴△DEF 为等边三角形.
此题主要考查了等边三角形判定以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识,得出 EF=DF=BF 是解题关键.

11. (2024·徐州邳州期中)如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 在$△ ABC$内,点 Q 在$△ ABC$外,且$∠ ABP$$=∠ ACQ,BP=CQ$,问$△ APQ$是什么形状的三角形？试说明你的结论.

精题详解

△APQ 为等边三角形. 证明如下:
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABP 与△ACQ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABP=∠ACQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ 是等边三角形.

12. (2024·南京师大附中月考)已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AB$,$AC$边的垂直平分线分别交$BC$于点$E,D$,连接$AE,AD$.
求证:$△ AED$是等边三角形.

精题详解

∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$.
∵AB,AC 边的垂直平分线分别交 BC 于点 E,D,
∴AE=BE,AD=CD,
∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°.
∴∠AED = ∠B + ∠BAE = 60°, ∠ADE = ∠C + ∠CAD=60°,
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=60°,
∴△ADE 是等边三角形.

13. (2024·泰安中考) 如图，直线 $l// m$，等边三角形$ABC$ 的两个顶点 $B,C$ 分别落在直线 $l,m$上，若 $∠ ABE=21°$，则 $∠ ACD$ 的度数是().


A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$

如图,过点 A 作 AF//l,
∵直线 l//m,
∴AF//m.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵AF//l,
∴∠BAF=∠ABE.
∵∠ABE=21°,
∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,
∵AF//m,
∴∠ACD=∠CAF=39°. 故选 B.
过点 A 作 AF//l,由平行线的性质得出 AF//m,根据平行线的性质得出∠BAF=∠ABE,∠ACD=∠CAF,根据等边三角形的性质得出∠BAC=60°,即可求出∠ACD 的度数.