11. 转化思想 (2025·南京中华中学附中期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$FE$是$AC$的垂直平分线,交$AD$于点$F$,连接$BF$.求证:$AF=BF$.

11. 连接 $CF$，
$\because AB=AC,AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore BD=CD,AD⊥ BC$，即 $AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线，
$\therefore BF=CF.$
$\because FE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，
$\therefore AF=CF,\therefore AF=BF.$

12. (2023·苏州中考) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$△ ABC$的角平分线. 以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧, 与$AB$,$AC$分别交于点$E,F$,连接$DE,DF$.
(1)求证:$△ ADE ≌ △ ADF$;
(2)若$∠ BAC=80°$,求$∠ BDE$的度数.

12. (1)$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
由作图，知 $AE=AF.$
在$△ ADE$ 和 $△ ADF$ 中，$\begin{cases}AE=AF,\\∠ EAD=∠ FAD,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌ △ ADF(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because ∠ BAC=80°,AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAC=40°.$
又 $AE=AD,\therefore ∠ AED=∠ ADE,$
$\therefore ∠ ADE=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°.$
$\because AB=AC,AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore ∠ BDE=90°-∠ ADE=20°.$
解后反思 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

13. 中考新考法 类比探究 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC$,点$D$在$BC$上,且$BD=BA$,点$E$在$BC$的延长线上,且$CE=CA$.
(1)若$∠ BAC=90°$(如图(1)),求$∠ DAE$的度数；
(2)若$∠ BAC=120°$(如图(2)),求$∠ DAE$的度数；
(3)当$∠ BAC＞90°$时,探求$∠ DAE$与$∠ BAC$之间的数量关系,并说明理由.

精题详解

13. (1)$\because AB=AC,∠ BAC=90°,$
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°. \because BD=BA,$
$\therefore ∠ BAD=∠ BDA=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=67.5°.$
$\because CE=CA,\therefore ∠ CAE=∠ E=\frac{1}{2}∠ ACB=22.5°,$
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ B-∠ E=112.5°,$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=45°.$
(2)$\because AB=AC,∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ B=∠ ACB=30°. \because BA=BD,$
$\therefore ∠ BAD=∠ BDA=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=75°,$
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=45°.$
$\because CA=CE,\therefore ∠ E=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ ACB=15°,$
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE=60°.$
(3)$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC.$ 理由如下：
设$∠ CAE=x,∠ BAD=y,$
则$∠ B=180°-2y,∠ E=∠ CAE=x,$
$\therefore ∠ BAE=180°-∠ B-∠ E=2y-x,$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=2y-x-y=y-x,$
$∠ BAC=∠ BAE-∠ CAE=2y-x-x=2y-2x,$
$\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC.$

14. (2024·兰州中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC$, $∠ BAC=130°$, $DA ⊥ AC$, 则 $∠ ADB=$ ().

A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$

14. B [解析]在$△ ABC$中，$AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.$
$\because ∠ BAC=130°,\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180°-130°}{2}=25°.$
$\because DA⊥ AC,\therefore ∠ DAC=90°,$
$\therefore ∠ ADC=90°-25°=65°,$
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=180°-65°=115°.$ 故选 B.

15. (2024·重庆中考) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC$, $∠ A=36°$,$BD$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$. 若 $BC=2$, 则 $AD$ 的长度为.

15. 2 [解析]$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C.$
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ C=180°,∠ A=36°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=72°.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ CBD=∠ ABD=36°,$
$\therefore ∠ BDC=180°-∠ C-∠ CBD=180°-72°-36°=72°,$
$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD=BC=2.$
$\because ∠ A=36°,∠ ABD=36°,$
$\therefore ∠ A=∠ ABD,\therefore AD=BD=2.$