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1. 在圆内接四边形 $ABCD$ 中,$∠ A,∠ B,∠ C$ 的度数之比为 $2:4:7$,则 $∠ D$ 的度数为 （
A.$140°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$40°$
B
）A.$140°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$40°$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题的核心依托是圆内接四边形的特殊性质，解题思路如下：首先看到三个角的度数比，优先用比例设元的方法，把∠A、∠B、∠C都用含同一个未知数x的代数式表示；接着回忆圆内接四边形对角互补的规则，∠A和∠C是一组对角，二者之和为180°，据此列方程就能解出x的具体数值；最后利用另一组对角∠B和∠D互补，代入∠B的计算结果就能求出∠D的度数，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设每份角度为x，则∠A=2x，∠B=4x，∠C=7x，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ 圆内接四边形的对角互补，即∠A + ∠C = 180°，
将∠A、∠C代入得：2x + 7x = 180°，
整理得9x=180°，解得x=20°，
因此∠B = 4x = 4×20° = 80°，
又
∵ ∠B和∠D是另一组对角，满足∠B + ∠D = 180°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形对角互补，比例设元法
【点评】
本题属于圆内接四边形相关的基础题型，易错点是部分同学没有优先利用对角互补的性质，错误将四个角直接按比例分配求和计算，导致结果偏差，只要牢记圆内接四边形对角互补的核心规则，先通过已知的一组对角求出参数，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题的核心依托是圆内接四边形的特殊性质，解题思路如下：首先看到三个角的度数比，优先用比例设元的方法，把∠A、∠B、∠C都用含同一个未知数x的代数式表示；接着回忆圆内接四边形对角互补的规则，∠A和∠C是一组对角，二者之和为180°，据此列方程就能解出x的具体数值；最后利用另一组对角∠B和∠D互补，代入∠B的计算结果就能求出∠D的度数，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设每份角度为x，则∠A=2x，∠B=4x，∠C=7x，
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ 圆内接四边形的对角互补，即∠A + ∠C = 180°，
将∠A、∠C代入得：2x + 7x = 180°，
整理得9x=180°，解得x=20°，
因此∠B = 4x = 4×20° = 80°，
又
∵ ∠B和∠D是另一组对角，满足∠B + ∠D = 180°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形对角互补，比例设元法
【点评】
本题属于圆内接四边形相关的基础题型，易错点是部分同学没有优先利用对角互补的性质，错误将四个角直接按比例分配求和计算，导致结果偏差，只要牢记圆内接四边形对角互补的核心规则，先通过已知的一组对角求出参数，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2. (2025·鼓楼区月考)如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,若$∠ BOD=150^{\circ }$,则$∠ BCD$的度数为（
A.$75^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$105^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
C
）A.$75^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$105^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
答案
2.C
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先题目给出了圆心角∠BOD的度数，我们第一步先调用圆周角定理，同一段弧对应的圆周角是圆心角的一半，先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步利用圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去已经求出的∠BAD的度数，就能得到∠BCD的度数，最终匹配选项得到答案。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，
已知∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BOD=150°，
因此弧BD对应的圆周角∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×150°=75°$。
2. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，
可得∠BAD + ∠BCD = 180°，
代入∠BAD=75°，计算得∠BCD = 180° - 75° = 105°。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆章节的基础常规题型，核心考察两个基础性质的联用，易错点是部分同学会直接将圆心角的一半75°作为最终答案，忽略所求的∠BCD和圆周角∠BAD是圆内接四边形的对角，需要用互补关系换算，解题时要注意区分所求角和已知条件的对应关系。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路非常清晰：首先题目给出了圆心角∠BOD的度数，我们第一步先调用圆周角定理，同一段弧对应的圆周角是圆心角的一半，先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；第二步利用圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去已经求出的∠BAD的度数，就能得到∠BCD的度数，最终匹配选项得到答案。
【解析】
解：
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，
已知∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BOD=150°，
因此弧BD对应的圆周角∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×150°=75°$。
2. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，
可得∠BAD + ∠BCD = 180°，
代入∠BAD=75°，计算得∠BCD = 180° - 75° = 105°。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题属于圆章节的基础常规题型，核心考察两个基础性质的联用，易错点是部分同学会直接将圆心角的一半75°作为最终答案，忽略所求的∠BCD和圆周角∠BAD是圆内接四边形的对角，需要用互补关系换算，解题时要注意区分所求角和已知条件的对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$E$是$BC$延长线上一点,若$∠ BAD=105^{ \circ }$,则$∠ DCE$的度数是
$105°$
.答案
3.$105°$
解析
【分析】
这道题的核心是利用圆内接四边形的性质求解，首先梳理已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BAD的度数，要求BC延长线上的∠DCE的度数。首先第一步，回忆圆内接四边形的基本性质：对角互补，因此可以得到∠BAD和它的对角∠BCD的和为180°；第二步，观察图形可知∠BCD和∠DCE是邻补角，根据邻补角的定义，二者的和也为180°；最后根据同角的补角相等，就能直接推出∠DCE和∠BAD相等，代入已知角度数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ ∠BCD + ∠DCE = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠DCE = ∠BAD（同角的补角相等），
∵ ∠BAD = 105°，
∴ ∠DCE = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
圆内接四边形性质，邻补角性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，既可以通过对角互补结合邻补角的性质推导结论，也可以直接利用“圆内接四边形的外角等于它的内对角”的性质直接求解，侧重考察学生对圆内接四边形相关性质的理解与应用，几乎没有计算量，是巩固相关概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
这道题的核心是利用圆内接四边形的性质求解，首先梳理已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠BAD的度数，要求BC延长线上的∠DCE的度数。首先第一步，回忆圆内接四边形的基本性质：对角互补，因此可以得到∠BAD和它的对角∠BCD的和为180°；第二步，观察图形可知∠BCD和∠DCE是邻补角，根据邻补角的定义，二者的和也为180°；最后根据同角的补角相等，就能直接推出∠DCE和∠BAD相等，代入已知角度数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ ∠BCD + ∠DCE = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠DCE = ∠BAD（同角的补角相等），
∵ ∠BAD = 105°，
∴ ∠DCE = 105°。
【答案】
105°
【知识点】
圆内接四边形性质，邻补角性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，既可以通过对角互补结合邻补角的性质推导结论，也可以直接利用“圆内接四边形的外角等于它的内对角”的性质直接求解，侧重考察学生对圆内接四边形相关性质的理解与应用，几乎没有计算量，是巩固相关概念的典型基础题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，若四边形$OABC$是菱形，则$∠ D=$
60
$°$.答案
4.60
解析
【分析】
我们可以一步步梳理思路：首先回忆圆和菱形的相关性质，先找到角度之间的关联。第一，根据圆周角定理，同一段弧AC对应的圆周角∠D是圆心角∠AOC的一半，也就是∠AOC=2∠D；第二，题目给出四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，所以∠ABC=∠AOC，这样就能得到∠ABC=2∠D；第三，四边形ABCD是圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补，也就是∠D+∠ABC=180°，把前面得到的∠ABC=2∠D代入这个互补关系，就能直接解出∠D的度数。
【解析】
1. 由圆周角定理可知，同弧AC所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ AOC = 2∠ D$
2. 因为四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，可得：
$∠ ABC = ∠ AOC$
结合上一步结论，推导得$∠ ABC = 2∠ D$
3. 又因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ D + ∠ ABC = 180°$
将$∠ ABC=2∠ D$代入上式：
$∠ D + 2∠ D = 180°$
$3∠ D = 180°$
解得$∠ D=60°$
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，菱形性质
【点评】
本题是圆与菱形结合的基础经典题型，不需要额外作辅助线，核心是串联不同图形的角度性质，建立关于所求角的等量关系求解，重点考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以一步步梳理思路：首先回忆圆和菱形的相关性质，先找到角度之间的关联。第一，根据圆周角定理，同一段弧AC对应的圆周角∠D是圆心角∠AOC的一半，也就是∠AOC=2∠D；第二，题目给出四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，所以∠ABC=∠AOC，这样就能得到∠ABC=2∠D；第三，四边形ABCD是圆内接四边形，圆内接四边形的对角互补，也就是∠D+∠ABC=180°，把前面得到的∠ABC=2∠D代入这个互补关系，就能直接解出∠D的度数。
【解析】
1. 由圆周角定理可知，同弧AC所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ AOC = 2∠ D$
2. 因为四边形OABC是菱形，菱形的对角相等，可得：
$∠ ABC = ∠ AOC$
结合上一步结论，推导得$∠ ABC = 2∠ D$
3. 又因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补的性质：
$∠ D + ∠ ABC = 180°$
将$∠ ABC=2∠ D$代入上式：
$∠ D + 2∠ D = 180°$
$3∠ D = 180°$
解得$∠ D=60°$
【答案】
60
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，菱形性质
【点评】
本题是圆与菱形结合的基础经典题型，不需要额外作辅助线，核心是串联不同图形的角度性质，建立关于所求角的等量关系求解，重点考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,延长 $DC,AB$ 相交于点 $E$,若 $BC=BE$,求证:$△ ADE$ 是等腰三角形.
答案
5.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ A+∠ BCD=180°.$
$\because∠ BCD+∠ BCE=180°,\therefore∠ A=∠ BCE.$
$\because BC=BE,\therefore∠ E=∠ BCE,\therefore∠ A=∠ E,\therefore DA=DE,$
$\therefore△ ADE$ 是等腰三角形.
$\therefore∠ A+∠ BCD=180°.$
$\because∠ BCD+∠ BCE=180°,\therefore∠ A=∠ BCE.$
$\because BC=BE,\therefore∠ E=∠ BCE,\therefore∠ A=∠ E,\therefore DA=DE,$
$\therefore△ ADE$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，核心思路是推导出△ADE有两个内角相等，即证明∠A=∠E，再通过等角对等边得到DA=DE即可完成证明。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠A与∠BCD的和为180°；接着根据邻补角的定义，∠BCD和∠BCE的和也为180°，由此推出∠A=∠BCE；再结合已知条件BC=BE，由等边对等角得到∠E=∠BCE，通过等量代换即可得到∠A=∠E，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°。
∵ ∠BCD + ∠BCE = 180°，
∴ ∠A = ∠BCE。
∵ BC = BE，
∴ ∠E = ∠BCE，
∴ ∠A = ∠E，
∴ DA = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【答案】
△ADE是等腰三角形得证，证明过程如上。
【知识点】
圆内接四边形性质；等腰三角形判定；等角对等边
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，无需添加辅助线，解题关键是利用补角的等量关系完成角的传递，串联圆内接四边形性质和等腰三角形边角性质，侧重考查基础几何性质的掌握和简单逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE是等腰三角形，核心思路是推导出△ADE有两个内角相等，即证明∠A=∠E，再通过等角对等边得到DA=DE即可完成证明。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠A与∠BCD的和为180°；接着根据邻补角的定义，∠BCD和∠BCE的和也为180°，由此推出∠A=∠BCE；再结合已知条件BC=BE，由等边对等角得到∠E=∠BCE，通过等量代换即可得到∠A=∠E，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A + ∠BCD = 180°。
∵ ∠BCD + ∠BCE = 180°，
∴ ∠A = ∠BCE。
∵ BC = BE，
∴ ∠E = ∠BCE，
∴ ∠A = ∠E，
∴ DA = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【答案】
△ADE是等腰三角形得证，证明过程如上。
【知识点】
圆内接四边形性质；等腰三角形判定；等角对等边
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，无需添加辅助线，解题关键是利用补角的等量关系完成角的传递，串联圆内接四边形性质和等腰三角形边角性质，侧重考查基础几何性质的掌握和简单逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
6. (2025·姑苏区月考) 如图，A，B，C，D 四点均在 $\odot O$ 上，$∠ AOD=68°$，$AO// DC$，则 $∠ B$ 的度数为（
A.$62°$
B.$56°$
C.$34°$
D.$54°$
B
）A.$62°$
B.$56°$
C.$34°$
D.$54°$
答案
6.B
解析
【分析】
这是一道圆相关的角度计算题型，解题思路如下：首先根据已知的平行线条件，利用内错角相等得到和已知∠AOD相等的角；再结合同圆半径相等的性质，得到等腰三角形，计算出剩余的圆心角∠DOC的度数；接着合并得到完整的圆心角∠AOC的度数；最后直接套用圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出∠B的度数，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OC，
∵ $AO// DC$，
∴ 内错角相等，$∠ ODC = ∠ AOD = 68°$，
∵ OD、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OC$，$△ ODC$是等腰三角形，$∠ OCD = ∠ ODC = 68°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ DOC = 180° - ∠ ODC - ∠ OCD = 180° - 68° - 68° = 44°$，
因此总圆心角$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 68° + 44° = 112°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，$∠ B$是弧ADC对应的圆周角，$∠ AOC$是弧ADC对应的圆心角，
可得$∠ B = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 112° = 56°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆章节的常规中档题型，综合串联了平行线、等腰三角形的基础性质和圆的核心圆周角定理，解题的关键是通过平行线的过渡求出完整的圆心角，整体计算逻辑清晰，没有复杂的辅助线构造要求，适合巩固圆角度计算的基础思路。
【难度系数】
0.6
这是一道圆相关的角度计算题型，解题思路如下：首先根据已知的平行线条件，利用内错角相等得到和已知∠AOD相等的角；再结合同圆半径相等的性质，得到等腰三角形，计算出剩余的圆心角∠DOC的度数；接着合并得到完整的圆心角∠AOC的度数；最后直接套用圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出∠B的度数，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OC，
∵ $AO// DC$，
∴ 内错角相等，$∠ ODC = ∠ AOD = 68°$，
∵ OD、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OC$，$△ ODC$是等腰三角形，$∠ OCD = ∠ ODC = 68°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ DOC = 180° - ∠ ODC - ∠ OCD = 180° - 68° - 68° = 44°$，
因此总圆心角$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 68° + 44° = 112°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，$∠ B$是弧ADC对应的圆周角，$∠ AOC$是弧ADC对应的圆心角，
可得$∠ B = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 112° = 56°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平行线性质，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆章节的常规中档题型，综合串联了平行线、等腰三角形的基础性质和圆的核心圆周角定理，解题的关键是通过平行线的过渡求出完整的圆心角，整体计算逻辑清晰，没有复杂的辅助线构造要求，适合巩固圆角度计算的基础思路。
【难度系数】
0.6
7. (2025·天宁区期中)$AB$是$\odot O$的弦，$AB=OA$，$P$是圆上不与点$A$，$B$重合的点，则$∠ APB=$
$30°$或$150°$
.答案
7.$30°$或$150°$
解析
【分析】
首先从已知条件AB=OA入手，因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，由此可得OA=OB=AB，可判定△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB=60°。接下来要注意点P是圆上不与A、B重合的点，存在两种位置：点P在优弧AB上，或者点P在劣弧AB上，不能只考虑其中一种情况，结合圆周角定理分别计算两种情况下∠APB的度数，就能得到全部结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ AB=OA，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠APB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°；
2. 当点P在劣弧AB上时，此时∠APB所对的弧是优弧AB，优弧AB对应的圆心角为360°-60°=300°，因此对应的圆周角∠APB = $\frac{1}{2}$×300° = 150°。
综上，∠APB的度数为30°或150°。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略点P的位置分类，仅得到30°这一个答案，解题时要注意弦将圆分为优弧和劣弧两部分，圆上的动点需要分两类位置计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件AB=OA入手，因为OA、OB都是⊙O的半径，所以OA=OB，由此可得OA=OB=AB，可判定△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB=60°。接下来要注意点P是圆上不与A、B重合的点，存在两种位置：点P在优弧AB上，或者点P在劣弧AB上，不能只考虑其中一种情况，结合圆周角定理分别计算两种情况下∠APB的度数，就能得到全部结果。
【解析】
解：
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ AB=OA，
∴ OA=OB=AB，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
∠APB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°；
2. 当点P在劣弧AB上时，此时∠APB所对的弧是优弧AB，优弧AB对应的圆心角为360°-60°=300°，因此对应的圆周角∠APB = $\frac{1}{2}$×300° = 150°。
综上，∠APB的度数为30°或150°。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略点P的位置分类，仅得到30°这一个答案，解题时要注意弦将圆分为优弧和劣弧两部分，圆上的动点需要分两类位置计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
