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10. 如图, A B, A C 是$\odot O$的两条相等的弦, 延长 C A 到点 D, 使$AD=AC$, 连接 D B 并延长交$\odot O$于点 E, 连接 C E, 求证: C E 是$\odot O$的直径.
答案
10. 证明:如答图,连接 $BC$.
$\because AB$,$AC$ 是$\odot O$的两条相等的弦,$\therefore AB=AC$.
$\because AD=AC$,$\therefore AD=AC=AB$,
$\therefore ∠ D=∠ ABD$,$∠ ACB=∠ ABC$.
$\because ∠ D+∠ ABD+∠ ACB+∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CBD=90°$,
$\therefore ∠ CBE=90°$,$\therefore CE$ 是$\odot O$的直径.
解析
【分析】
要证明CE是⊙O的直径，我们可以联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此核心目标是证明∠CBE=90°。首先结合已知条件：AB=AC，AD=AC，可推出AB=AD=AC，即点A是线段CD的中点，且AB长度等于CD的一半，由此可得△ADB和△ACB均为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可推导出∠CBD=90°，进而得到∠CBE=90°，完成证明。
【解析】
证明：连接BC，
1. 因为AB、AC是⊙O的两条相等的弦，根据同圆中等弦对应边长相等，可得$AB=AC$。
2. 已知$AD=AC$，因此$AD=AC=AB$，由此可得△ADB和△ACB均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质：
$∠ D = ∠ ABD$，$∠ ACB = ∠ ABC$。
3. 在△CDB中，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ D + ∠ DCB + ∠ CBD = 180°$，
代入角的等量关系得：$∠ D + ∠ ABD + ∠ ACB + ∠ ABC = 180°$，
即$2(∠ ABD + ∠ ABC) = 180°$，化简得$∠ ABD + ∠ ABC = 90°$，也就是$∠ CBD = 90°$。
4. 由于D、B、E三点共线，因此$∠ CBE = ∠ CBD = 90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是圆的直径”，即可证得CE是⊙O的直径。
【答案】
证明:如答图,连接 $BC$.
$\because AB$,$AC$ 是$\odot O$的两条相等的弦,$\therefore AB=AC$.
$\because AD=AC$,$\therefore AD=AC=AB$,
$\therefore ∠ D=∠ ABD$,$∠ ACB=∠ ABC$.
$\because ∠ D+∠ ABD+∠ ACB+∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CBD=90°$,
$\therefore ∠ CBE=90°$,$\therefore CE$ 是$\odot O$的直径.
【知识点】
等弦性质，等腰三角形性质，圆周角推论
【点评】
本题属于圆的基础证明题，采用逆向推导的思路，从要证明的结论出发反向寻找所需条件，通过已知的多组等线段关系，结合等腰三角形性质和三角形内角和推导出直角圆周角，直接利用直径判定定理完成证明，辅助线构造简单，重点考察学生对圆周角相关推论的理解与灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明CE是⊙O的直径，我们可以联想到圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此核心目标是证明∠CBE=90°。首先结合已知条件：AB=AC，AD=AC，可推出AB=AD=AC，即点A是线段CD的中点，且AB长度等于CD的一半，由此可得△ADB和△ACB均为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可推导出∠CBD=90°，进而得到∠CBE=90°，完成证明。
【解析】
证明：连接BC，
1. 因为AB、AC是⊙O的两条相等的弦，根据同圆中等弦对应边长相等，可得$AB=AC$。
2. 已知$AD=AC$，因此$AD=AC=AB$，由此可得△ADB和△ACB均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质：
$∠ D = ∠ ABD$，$∠ ACB = ∠ ABC$。
3. 在△CDB中，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ D + ∠ DCB + ∠ CBD = 180°$，
代入角的等量关系得：$∠ D + ∠ ABD + ∠ ACB + ∠ ABC = 180°$，
即$2(∠ ABD + ∠ ABC) = 180°$，化简得$∠ ABD + ∠ ABC = 90°$，也就是$∠ CBD = 90°$。
4. 由于D、B、E三点共线，因此$∠ CBE = ∠ CBD = 90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是圆的直径”，即可证得CE是⊙O的直径。
【答案】
证明:如答图,连接 $BC$.
$\because AB$,$AC$ 是$\odot O$的两条相等的弦,$\therefore AB=AC$.
$\because AD=AC$,$\therefore AD=AC=AB$,
$\therefore ∠ D=∠ ABD$,$∠ ACB=∠ ABC$.
$\because ∠ D+∠ ABD+∠ ACB+∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ CBD=90°$,
$\therefore ∠ CBE=90°$,$\therefore CE$ 是$\odot O$的直径.
【知识点】
等弦性质，等腰三角形性质，圆周角推论
【点评】
本题属于圆的基础证明题，采用逆向推导的思路，从要证明的结论出发反向寻找所需条件，通过已知的多组等线段关系，结合等腰三角形性质和三角形内角和推导出直角圆周角，直接利用直径判定定理完成证明，辅助线构造简单，重点考察学生对圆周角相关推论的理解与灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图, 以$△ ABC$的一边$AB$为直径的半圆与其他两边$AC, BC$的交点分别为$D, E$, 且$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}.$
(1) 试判断$△ ABC$的形状, 并说明理由;
(2) 若半圆的半径为$5, BC=12$, 求$BD$的长.
(1) 试判断$△ ABC$的形状, 并说明理由;
(2) 若半圆的半径为$5, BC=12$, 求$BD$的长.
答案
11. 解:(1)$△ ABC$ 为等腰三角形.
理由:连接 $AE$,如答图.
$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore ∠ DAE=∠ BAE$,即 $AE$ 平分$∠ BAC$.
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,$\therefore AE⊥ BC$,
$\therefore ∠ C+∠ CAE=90°$,$∠ ABC+∠ BAE=90°$,
$\therefore ∠ C=∠ ABC$,$\therefore AC=AB$,$\therefore △ ABC$ 为等腰三角形.
(2)$\because △ ABC$ 为等腰三角形,$AE⊥ BC$,
$\therefore BE=CE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×12=6$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$\because AB=AC=10$,$BE=6$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
$\because AB$ 为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,
$\therefore \dfrac{1}{2}AE· BC=\dfrac{1}{2}BD· AC$,$\therefore BD=\dfrac{8×12}{10}=\dfrac{48}{5}$.
解析
【分析】
解题思路：
1. 第(1)问判断△ABC形状：首先看到AB是半圆直径，联想到直径所对的圆周角为直角，同时题目给出两段弧相等，根据等弧对应的圆周角相等，我们可以连接辅助线AE，先得到AE平分∠BAC，再结合∠AEB=90°即AE⊥BC，利用等角的余角相等推出∠C=∠ABC，进而得到AC=AB，判定三角形为等腰三角形。
2. 第(2)问求BD长度：已知半圆半径为5，可得AB=10，结合第一问得到的等腰三角形性质，三线合一可算出BE=CE=6，在Rt△ABE中用勾股定理算出AE的长度，再利用△ABC的面积的两种不同表示方法：以BC为底、AE为高，和以AC为底、BD为高，二者面积相等，代入数值即可直接求出BD的长，无需额外复杂计算。
【解析】
(1) 连接AE，
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC。
又
∵ AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠AEB=90°，即AE⊥BC。
∴ ∠C + ∠CAE = 90°，∠ABC + ∠BAE = 90°，
结合∠CAE=∠BAE，可得∠C=∠ABC，
∴ AC=AB，因此△ABC为等腰三角形。
(2) 由(1)知△ABC是等腰三角形，且AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，可得$BE=CE=\dfrac{1}{2}BC$，
代入BC=12，得BE=6。
已知半圆半径为5，因此AB=2×5=10，AC=AB=10。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
又
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD是AC边上的高。
利用△ABC的面积的两种计算方式：$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}·AE·BC=\dfrac{1}{2}·BD·AC$，
约去$\dfrac{1}{2}$，代入数值可得：$8×12 = BD×10$，
解得$BD=\dfrac{48}{5}$。
【答案】
(1) $△ ABC$ 为等腰三角形，理由如上；(2) $BD=\dfrac{48}{5}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规综合题，第一问重点考察直径所对圆周角为直角、等弧对应圆周角相等的圆的基础性质，结合等腰三角形的判定完成推导；第二问灵活运用等面积法求三角形的高，避免了复杂的线段推导，是非常典型的几何求线段长的技巧，整体难度适中，适合巩固圆和三角形的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
解题思路：
1. 第(1)问判断△ABC形状：首先看到AB是半圆直径，联想到直径所对的圆周角为直角，同时题目给出两段弧相等，根据等弧对应的圆周角相等，我们可以连接辅助线AE，先得到AE平分∠BAC，再结合∠AEB=90°即AE⊥BC，利用等角的余角相等推出∠C=∠ABC，进而得到AC=AB，判定三角形为等腰三角形。
2. 第(2)问求BD长度：已知半圆半径为5，可得AB=10，结合第一问得到的等腰三角形性质，三线合一可算出BE=CE=6，在Rt△ABE中用勾股定理算出AE的长度，再利用△ABC的面积的两种不同表示方法：以BC为底、AE为高，和以AC为底、BD为高，二者面积相等，代入数值即可直接求出BD的长，无需额外复杂计算。
【解析】
(1) 连接AE，
∵ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC。
又
∵ AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠AEB=90°，即AE⊥BC。
∴ ∠C + ∠CAE = 90°，∠ABC + ∠BAE = 90°，
结合∠CAE=∠BAE，可得∠C=∠ABC，
∴ AC=AB，因此△ABC为等腰三角形。
(2) 由(1)知△ABC是等腰三角形，且AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，可得$BE=CE=\dfrac{1}{2}BC$，
代入BC=12，得BE=6。
已知半圆半径为5，因此AB=2×5=10，AC=AB=10。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。
又
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD是AC边上的高。
利用△ABC的面积的两种计算方式：$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}·AE·BC=\dfrac{1}{2}·BD·AC$，
约去$\dfrac{1}{2}$，代入数值可得：$8×12 = BD×10$，
解得$BD=\dfrac{48}{5}$。
【答案】
(1) $△ ABC$ 为等腰三角形，理由如上；(2) $BD=\dfrac{48}{5}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规综合题，第一问重点考察直径所对圆周角为直角、等弧对应圆周角相等的圆的基础性质，结合等腰三角形的判定完成推导；第二问灵活运用等面积法求三角形的高，避免了复杂的线段推导，是非常典型的几何求线段长的技巧，整体难度适中，适合巩固圆和三角形的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
12. 如图,$AB$是半圆$O$的直径,$C$为半圆$O$上一点,连接$AC$,$BC$,过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$,延长$OD$交$\odot O$于点$E$,连接$AE$.
(1)求证:$AC // OE$;
(2)若$AC=1$,$AB=4$,求$AE$的长.
(1)求证:$AC // OE$;
(2)若$AC=1$,$AB=4$,求$AE$的长.
答案
12. (1)证明:$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,
$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore AC⊥ BC$.
$\because OE⊥ BC$,$\therefore AC// OE$.
(2)解:如答图,连接 $BE$.
$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$∠ AEB=90°$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
$\because OD⊥ BC$,$\therefore CD=BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$,
$\therefore OD$ 为$△ ABC$ 的中位线,$\therefore OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore DE=OE-OD=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2+(\dfrac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问的证明思路：首先回忆直径的性质，AB是半圆直径，它所对的圆周角∠ACB为90°，也就是AC垂直于BC，已知OD⊥BC即OE也垂直于BC，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，就可以直接推出AC//OE。第二问的求解思路：先连接BE，利用直径所对圆周角为直角得到∠AEB=90°，先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度；再根据垂径定理，OD⊥BC可得D是BC的中点，结合O是AB中点，得到OD是△ABC的中位线，算出OD的长度，再结合半径OE的长度算出DE；接着在Rt△BDE中用勾股定理算出BE，最后在Rt△ABE中再次用勾股定理就能求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°，即AC⊥BC。
又
∵ OD⊥BC，也就是OE⊥BC，
∴ AC//OE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
(2) 解：连接BE，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°，∠AEB=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。
∵ OD⊥BC，由垂径定理得$CD=BD = \frac{1}{2} BC = \frac{\sqrt{15}}{2}$。
∵ O是AB的中点，D是BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ $OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}$。
∵ OE是半圆的半径，AB=4，
∴ $OE = \frac{1}{2} AB = 2$，
∴ $DE = OE - OD = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{BD^2 + DE^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{6}$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
12. (1)证明:$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,
$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore AC⊥ BC$.
$\because OE⊥ BC$,$\therefore AC// OE$.
(2)解:如答图,连接 $BE$.
$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$∠ AEB=90°$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
$\because OD⊥ BC$,$\therefore CD=BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$,
$\therefore OD$ 为$△ ABC$ 的中位线,$\therefore OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore DE=OE-OD=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2+(\dfrac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问难度较低，利用直径的性质和平行线判定即可得证；第二问需要结合垂径定理得到线段中点，利用三角形中位线性质简化计算，多次借助直径构造直角三角形，用勾股定理逐步求解未知线段，是圆中求线段长度的典型考法，能有效考察学生对圆基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问的证明思路：首先回忆直径的性质，AB是半圆直径，它所对的圆周角∠ACB为90°，也就是AC垂直于BC，已知OD⊥BC即OE也垂直于BC，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，就可以直接推出AC//OE。第二问的求解思路：先连接BE，利用直径所对圆周角为直角得到∠AEB=90°，先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度；再根据垂径定理，OD⊥BC可得D是BC的中点，结合O是AB中点，得到OD是△ABC的中位线，算出OD的长度，再结合半径OE的长度算出DE；接着在Rt△BDE中用勾股定理算出BE，最后在Rt△ABE中再次用勾股定理就能求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°，即AC⊥BC。
又
∵ OD⊥BC，也就是OE⊥BC，
∴ AC//OE（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
(2) 解：连接BE，
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°，∠AEB=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$。
∵ OD⊥BC，由垂径定理得$CD=BD = \frac{1}{2} BC = \frac{\sqrt{15}}{2}$。
∵ O是AB的中点，D是BC的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ $OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}$。
∵ OE是半圆的半径，AB=4，
∴ $OE = \frac{1}{2} AB = 2$，
∴ $DE = OE - OD = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{BD^2 + DE^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{6}$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{10}$。
【答案】
12. (1)证明:$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,
$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore AC⊥ BC$.
$\because OE⊥ BC$,$\therefore AC// OE$.
(2)解:如答图,连接 $BE$.
$\because AB$ 是半圆 $O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$∠ AEB=90°$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
$\because OD⊥ BC$,$\therefore CD=BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$,
$\therefore OD$ 为$△ ABC$ 的中位线,$\therefore OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore DE=OE-OD=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2+(\dfrac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$,
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问难度较低，利用直径的性质和平行线判定即可得证；第二问需要结合垂径定理得到线段中点，利用三角形中位线性质简化计算，多次借助直径构造直角三角形，用勾股定理逐步求解未知线段，是圆中求线段长度的典型考法，能有效考察学生对圆基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
