8. (2025·南京月考) 如图,A,B,C,D,E 都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$,$∠ D=128°$,则$∠ B$的度数为.

8.$116°$

【分析】
这道题是圆上点的角度计算问题，我们可以按以下思路思考：
1. 首先观察图形，A、C、D、E都在圆上，构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，已知∠D的度数，可以先求出∠CAE的度数。
2. 题目给出弧AC等于弧AE，根据同圆中等弧对应的圆周角相等，可得△ACE中两个底角∠AEC和∠ACE相等，结合三角形内角和180°，就能算出∠AEC的度数。
3. 最后A、B、C、E也都在圆上，同样构成圆内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补，就能求出∠B的度数。这里需要我们连接辅助线CE，把分散的角度关系关联起来。
【解析】
解：连接CE，
∵ 点A、C、D、E都在⊙O上，
∴ 四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补，可得：
∠D + ∠CAE = 180°，
已知∠D=128°，代入得：
∠CAE = 180° - 128° = 52°，
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ 同圆中等弧所对的圆周角相等，即∠ACE = ∠AEC，
在△ACE中，由三角形内角和为180°：
∠AEC = $\frac{180° - ∠CAE}{2}$ = $\frac{180° - 52°}{2}$ = 64°，
又
∵ 点A、B、C、E都在⊙O上，
∴ 四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补：
∠B + ∠AEC = 180°，
∴ ∠B = 180° - 64° = 116°。
【答案】
$116°$
【知识点】
圆内接四边形性质，等弧对等圆周角
【点评】
本题属于圆内接多边形角度计算的基础经典题型，核心考察圆内接四边形对角互补的性质，通过添加辅助线CE将分散的已知条件关联起来，避免直接计算复杂弧对应的角度，解题思路清晰流畅，需要注意不要找错圆内接四边形的对角对应关系。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$\odot O$中,$AB$为直径,$C$为圆上一点,将劣弧$AC$沿弦$AC$翻折交$AB$于点$D$,连接$CD$,若点$D$与圆心$O$不重合,$∠ BAC=20^{ \circ }$,则$∠ DCA$的度数是.

9.$50°$

【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：1. 首先连接BC，看到AB是圆的直径，立刻联想到直径所对的圆周角是直角，结合已知的∠BAC=20°，就能快速算出∠ABC的度数；2. 处理翻折条件：翻折前后对应弧的圆周角大小不变，因此翻折后劣弧AC对应的圆周角和原圆中弧AC所对的圆周角相等，由此可推出∠ADC和∠ABC互补，得到∠ADC的度数；3. 最后在△ADC中利用三角形内角和定理，代入已知的两个角的数值，即可求出∠DCA的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
已知∠BAC=20°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 20° =70°。
根据翻折的性质：翻折前后对应弧的圆周角大小相等，因此翻折后劣弧AC对应的圆周角与原⊙O中弧AC所对的圆周角相等，可得∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - 70° = 110°。
在△ADC中，由三角形内角和为180°得：
∠DCA = 180° - ∠DAC - ∠ADC = 180° - 20° - 110° = 50°。
【答案】50°
【知识点】直径圆周角性质，翻折变换性质，三角形内角和
【点评】本题属于圆与翻折结合的基础题型，易错点是对翻折后弧对应的圆周角关系理解偏差，只要明确翻折前后对应弧的圆周角大小不变，结合圆的相关性质就能快速推导，整体计算难度很低。
【难度系数】0.65

10. 如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$AB=AD,∠ C=110°$,若点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上,求$∠ E$的度数.

10.解:如答图,连接 $BD$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ C+∠ BAD=180°,$
$\therefore∠ BAD=180°-∠ C=180°-110°=70°.$
$\because AB=AD,$
$\therefore∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°.$
$\because$ 四边形 $ABDE$ 为$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ E+∠ ABD=180°,$
$\therefore∠ E=180°-∠ ABD=180°-55°=125°.$

【分析】
解题时我们可以按以下思路推进：1. 首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠C的度数，就可以直接求出和它对角的∠BAD的度数；2. 题目给出AB=AD，说明△ABD是等腰三角形，结合已经求出的∠BAD，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，就能算出底角∠ABD的度数；3. 最后观察到四边形ABDE同样是⊙O的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，∠E和∠ABD是一组对角，代入计算即可得到∠E的度数。这里连接BD是关键的辅助线，能把分散的已知条件和待求角关联起来。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠C + ∠BAD = 180°，
代入∠C=110°，得∠BAD = 180° - 110° = 70°，
又
∵ AB = AD，
∴ △ABD是等腰三角形，∠ABD = ∠ADB，
由三角形内角和为180°可得：
∠ABD = $\frac{1}{2}$ × (180° - ∠BAD) = $\frac{1}{2}$ × (180° - 70°) = 55°，
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠E + ∠ABD = 180°，
∴ ∠E = 180° - 55° = 125°。
【答案】
∠E的度数为125°。
【知识点】
圆内接四边形对角互补，等腰三角形等边对等角，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆内接四边形性质应用的典型基础题，核心考点是圆内接四边形对角互补的性质，搭配等腰三角形的基础角度计算，解题的突破口是构造辅助线BD，将待求角和已知条件通过两组圆内接四边形的对角互补关系建立联系，整体计算难度不大，适合巩固圆内接四边形的相关性质。
【难度系数】
0.7

11. 如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$F$ 是 $CD$ 延长线上的一点,且 $DA$ 平分$∠ BDF$,
$AE⊥ CD$ 于点 $E$.
(1)求证:$AB=AC$;
(2)若 $BD=18,DE=2$,求 $CD$ 的长.

11.(1)证明:$\because DA$ 平分$∠ BDF,\therefore∠ ADF=∠ ADB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ ABC+∠ ADC=180°,$
又$∠ ADC+∠ ADF=180°,\therefore∠ ADF=∠ ABC.$
$\because∠ ACB=∠ ADB,\therefore∠ ABC=∠ ACB,\therefore AB=AC.$
(2)解:如答图,过点 $A$ 作 $AG⊥ BD$,垂足为 $G$.

$\because DA$ 平分$∠ BDF,AE⊥ CF,AG⊥ BD,$
$\therefore AG=AE,∠ AGB=∠ AEC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGD$ 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AG,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ AED≌\mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL}),\therefore GD=ED=2.$
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGB$ 中,$\begin{cases} AC=AB,\\ AE=AG,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL}),\therefore BG=CE.$
$\because BD=18,\therefore BG=BD-GD=18-2=16,$
$\therefore CE=BG=16,\therefore CD=CE-DE=16-2=14.$

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明AB=AC，我们的思路是转化为证明AB和AC所对的底角∠ABC=∠ACB：首先利用角平分线的定义得到∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形的对角互补，推出∠ADF=∠ABC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACB=∠ADB，等量代换就能得到∠ABC=∠ACB，进而得到AB=AC。第二问求CD的长度，看到角平分线DA，立刻想到角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过A作AG⊥BD于G，构造两条相等的垂线段AG=AE，之后用HL证明两次直角三角形全等，先得到GD=DE=2，算出BG的长度，再通过全等得到CE=BG，最后用CE减去DE就能算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DA平分∠BDF，
∴ ∠ADF=∠ADB。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵ ∠ADC + ∠ADF = 180°，
∴ ∠ADF = ∠ABC。
∵ ∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ACB = ∠ADB，
等量代换得∠ABC = ∠ACB，
∴ AB=AC。
(2) 解：过点A作AG⊥BD，垂足为G。
∵ DA平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
根据角平分线的性质可得AG=AE，且∠AGB=∠AEC=90°。
在Rt△AED和Rt△AGD中：
$\begin{cases} AD=AD \\ AE=AG \end{cases}$
∴ Rt△AED≌Rt△AGD(HL)，
∴ GD=ED=2。
在Rt△AEC和Rt△AGB中：
$\begin{cases} AC=AB \\ AE=AG \end{cases}$
∴ Rt△AEC≌Rt△AGB(HL)，
∴ BG=CE。
已知BD=18，
∴ BG=BD - GD = 18 - 2 = 16，
∴ CE=BG=16，
∴ CD=CE - DE = 16 - 2 = 14。
【答案】
11.(1)证明:$\because DA$ 平分$∠ BDF,\therefore∠ ADF=∠ ADB.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ ABC+∠ ADC=180°,$
又$∠ ADC+∠ ADF=180°,\therefore∠ ADF=∠ ABC.$
$\because∠ ACB=∠ ADB,\therefore∠ ABC=∠ ACB,\therefore AB=AC.$
(2)解:如答图,过点 $A$ 作 $AG⊥ BD$,垂足为 $G$.

$\because DA$ 平分$∠ BDF,AE⊥ CF,AG⊥ BD,$
$\therefore AG=AE,∠ AGB=∠ AEC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGD$ 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AG,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ AED≌\mathrm{Rt}△ AGD(\mathrm{HL}),\therefore GD=ED=2.$
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ AGB$ 中,$\begin{cases} AC=AB,\\ AE=AG,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ AEC≌\mathrm{Rt}△ AGB(\mathrm{HL}),\therefore BG=CE.$
$\because BD=18,\therefore BG=BD-GD=18-2=16,$
$\therefore CE=BG=16,\therefore CD=CE-DE=16-2=14.$
【知识点】
圆内接四边形性质，角平分线性质，HL全等判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问重点考察圆周角性质和圆内接四边形的外角等于内对角的角转化逻辑，第二问需要学生根据角平分线的特征主动构造辅助线，通过全等实现线段的等量转化，整体思路流畅，是圆内接四边形相关题型的经典考法，能有效锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6

12. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$AC$ 平分$∠ BAD$,若$∠ BAD=120°$,求证:$AC=AB+AD$.

12.证明:如答图,延长 $AD$ 到点 $E$,使 $DE=AB$,连接 $CE$.
$\because AC$ 平分$∠ BAD,∠ BAD=120°,$
$\therefore∠ CAB=∠ CAD=60°,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore BC=CD.$

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ BAD+∠ BCD=180°,∠ ABC+∠ ADC=180°,$
$\therefore∠ BCD=60°.$
又$∠ ADC+∠ CDE=180°,\therefore∠ CDE=∠ ABC,$
$\therefore△ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore∠ ACB=∠ ECD,AC=CE,$
$\therefore∠ ACE=∠ BCD=60°,\therefore△ ACE$ 是等边三角形,
$\therefore AC=AE=AD+DE,\therefore AC=AB+AD.$

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段之和，优先考虑截长补短的经典证明思路：我们可以延长AD至点E，使得DE=AB，这样AE的长度就等于AD+DE=AD+AB，接下来只需要证明AE=AC即可完成目标。首先结合已知条件，AC平分120°的∠BAD，可得两个60°的等圆周角，对应同圆中相等的弧，进而得到BC=CD；再利用圆内接四边形的对角互补性质，推导得到∠ABC=∠CDE，即可证明△ABC和△EDC全等，得到AC=CE，再进一步推导∠ACE=60°，就能判定△ACE是等边三角形，自然得到AE=AC，最终完成AC=AB+AD的证明。
【解析】
证明：延长AD到点E，使DE=AB，连接CE。
1. 由角平分线性质推导基础角度和边相等：
∵ AC平分∠BAD，∠BAD=120°，
∴ ∠CAB=∠CAD=60°，
在同圆中，相等的圆周角对应的弧相等，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，因此BC=CD。
2. 利用圆内接四边形性质推导角相等：
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
代入∠BAD=120°，得∠BCD=60°。
又
∵ ∠ADC+∠CDE=180°（邻补角定义），
∴ ∠CDE=∠ABC。
3. 证明三角形全等：
在△ABC和△EDC中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE \\∠ABC=∠EDC \\BC=DC\end{array} $
∴ △ABC≌△EDC(SAS)，
可得∠ACB=∠ECD，AC=CE。
4. 判定等边三角形完成结论推导：
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD=60°，
又
∵ AC=CE，
∴ △ACE是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ AC=AE=AD+DE，结合DE=AB，可得AC=AB+AD。
【答案】
证明:如答图,延长 $AD$ 到点 $E$,使 $DE=AB$,连接 $CE$.
$\because AC$ 平分$∠ BAD,∠ BAD=120°,$
$\therefore∠ CAB=∠ CAD=60°,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore BC=CD.$

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,
$\therefore∠ BAD+∠ BCD=180°,∠ ABC+∠ ADC=180°,$
$\therefore∠ BCD=60°.$
又$∠ ADC+∠ CDE=180°,\therefore∠ CDE=∠ ABC,$
$\therefore△ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore∠ ACB=∠ ECD,AC=CE,$
$\therefore∠ ACE=∠ BCD=60°,\therefore△ ACE$ 是等边三角形,
$\therefore AC=AE=AD+DE,\therefore AC=AB+AD.$
【知识点】
圆内接四边形性质，全等三角形判定，等边三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的经典线段和证明题，核心考察截长补短的辅助线构造思路，将分散的两条线段AB、AD拼接为同一条线段AE，再通过全等三角形和等边三角形的性质完成线段等量代换，对学生的几何综合推导能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.4