登录
1. (2026·六安期中) 如图,直线 $l_1:y=-x+3$ 与$x$ 轴相交于点 $A$,直线 $l_2:y=kx+b(k≠0)$ 经过点$(8,1)$,与$x$轴相交于点$B(6,0)$,与$y$轴相交于点 $C$,与直线 $l_1$ 相交于点 $D$.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式；
(2)根据图象,直接写出 $-x+3≤ kx+b＜0$ 的解集；
(3)点 $P$ 是 $l_2$ 上的一点,若$△ ABP$的面积等于$△ ABD$ 的面积的 2 倍,则点 $P$ 的坐标为
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式；
(2)根据图象,直接写出 $-x+3≤ kx+b＜0$ 的解集；
(3)点 $P$ 是 $l_2$ 上的一点,若$△ ABP$的面积等于$△ ABD$ 的面积的 2 倍,则点 $P$ 的坐标为
(2,-2) 或 (10,2)
.答案
1. (1) 直线 $l_2:y=kx+b(k≠0)$ 经过点 $(8,1)$, 与 $x$ 轴相交于点$B(6,0),\therefore \begin{cases} 8k+b=1,\\ 6k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac{1}{2},\\ b=-3, \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-3$.
(2) 解集为 $4≤ x＜6$ 解析: $\because$ 直线 $l_1,l_2$ 交于点 $D,\therefore$ 联立方程组得 $\begin{cases} y=-x+3,\\ y=\dfrac{1}{2}x-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4,\\ y=-1, \end{cases}$ $\therefore D(4,-1)$, 且 $B(6,0)$,$\therefore$ 由图象可得, 当 $4≤ x＜6$ 时, $-x+3≤ kx+b＜0,\therefore$ 解集为 $4≤ x＜6$.
(3) $(2,-2)$ 或 $(10,2)$ 解析: 直线 $l_1:y=-x+3$ 与 $x$ 轴相交于点 $A,\therefore$ 当 $y=0$ 时, $x=3$, 即 $A(3,0),\therefore AB=6-3=3$,$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB·|y_D|=\dfrac{1}{2}×3×|-1|=\dfrac{3}{2},\therefore S_{△ ABP}=2S_{△ ABD}=2×\dfrac{3}{2}=3$, 设 $P(p,\dfrac{1}{2}p-3),\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×\left|\dfrac{1}{2}p-3\right|=3,\therefore \dfrac{1}{2}p-3=-2$ 或 $\dfrac{1}{2}p-3=2$, 解得 $p=2$ 或 $p=10,\therefore P(2,-2)$ 或 $P(10,2)$.
(2) 解集为 $4≤ x＜6$ 解析: $\because$ 直线 $l_1,l_2$ 交于点 $D,\therefore$ 联立方程组得 $\begin{cases} y=-x+3,\\ y=\dfrac{1}{2}x-3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4,\\ y=-1, \end{cases}$ $\therefore D(4,-1)$, 且 $B(6,0)$,$\therefore$ 由图象可得, 当 $4≤ x＜6$ 时, $-x+3≤ kx+b＜0,\therefore$ 解集为 $4≤ x＜6$.
(3) $(2,-2)$ 或 $(10,2)$ 解析: 直线 $l_1:y=-x+3$ 与 $x$ 轴相交于点 $A,\therefore$ 当 $y=0$ 时, $x=3$, 即 $A(3,0),\therefore AB=6-3=3$,$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AB·|y_D|=\dfrac{1}{2}×3×|-1|=\dfrac{3}{2},\therefore S_{△ ABP}=2S_{△ ABD}=2×\dfrac{3}{2}=3$, 设 $P(p,\dfrac{1}{2}p-3),\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×\left|\dfrac{1}{2}p-3\right|=3,\therefore \dfrac{1}{2}p-3=-2$ 或 $\dfrac{1}{2}p-3=2$, 解得 $p=2$ 或 $p=10,\therefore P(2,-2)$ 或 $P(10,2)$.
2. 已知一次函数 $y=kx+b\ (k ≠ 0)$ 的图象经过点$(0,-2)$,且与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求此一次函数表达式.
答案
2. $\because$ 一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $(0,-2),\therefore b=-2$.设一次函数与 $x$ 轴的交点是 $(a,0)$, 则 $\dfrac{1}{2}×2×|a|=3$, 解得$a=3$ 或 $-3$. 把 $(3,0)$ 代入 $y=kx-2$, 得 $3k-2=0$, 解得 $k=\dfrac{2}{3}$,则函数的表达式是 $y=\dfrac{2}{3}x-2$; 把 $(-3,0)$ 代入 $y=kx-2$, 得$-3k-2=0$, 解得 $k=-\dfrac{2}{3}$, 则函数的表达式是 $y=-\dfrac{2}{3}x-2$. 则此一次函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x-2$ 或 $y=\dfrac{2}{3}x-2$.
3. (2025·毕节期末)如图,在平面直角坐标系中,过点 $C(0,6)$ 的直线 $AC$ 与直线 $OA$ 相交于点 $A(4,2)$.
(1)求直线 $AC$ 的表达式.
(2) $△ OAC$ 的面积为
(3) 动点 $M$ 在线段 $OA$ 和射线 $AC$ 上运动,是否存在点 $M$,使 $△ OMC$ 的面积是 $△ OAC$ 的面积的$\dfrac{1}{2}$?若存在,求出此时点 $M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线 $AC$ 的表达式.
(2) $△ OAC$ 的面积为
12
.(3) 动点 $M$ 在线段 $OA$ 和射线 $AC$ 上运动,是否存在点 $M$,使 $△ OMC$ 的面积是 $△ OAC$ 的面积的$\dfrac{1}{2}$?若存在,求出此时点 $M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
3. (1) 设直线 $AC$ 的表达式是 $y=kx+b$, 根据题意得$\begin{cases} 4k+b=2,\\ b=6, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-1,\\ b=6. \end{cases}$ 则直线 $AC$ 的表达式是 $y=-x+6$.
(2) 12 解析: $\because C(0,6),A(4,2),\therefore OC=6,\therefore S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×6×4=12$.
(3) 存在. 设直线 $OA$ 的表达式是 $y=mx$, 则 $4m=2$, 解得 $m=\dfrac{1}{2}$, 则直线 $OA$ 的表达式是 $y=\dfrac{1}{2}x.\because△ OMC$ 的面积是$△ OAC$ 的面积的 $\dfrac{1}{2},\therefore$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 $\dfrac{1}{2}×4=2$,$\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 $2$ 或 $-2$.当点 $M$ 的横坐标是 $2$ 时, 在 $y=\dfrac{1}{2}x$ 中, 当 $x=2$ 时, $y=1$, 则点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$. 在 $y=-x+6$ 中, 当 $x=2$ 时, 则 $y=4$, 则点 $M$ 的坐标是 $(2,4)$.则点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$ 或 $(2,4)$.当点 $M$ 的横坐标是 $-2$ 时, 在 $y=-x+6$ 中, 当 $x=-2$ 时, $y=8$,则点 $M$ 的坐标是 $(-2,8)$.综上所述, 点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$ 或 $(2,4)$ 或 $(-2,8)$.
(2) 12 解析: $\because C(0,6),A(4,2),\therefore OC=6,\therefore S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×6×4=12$.
(3) 存在. 设直线 $OA$ 的表达式是 $y=mx$, 则 $4m=2$, 解得 $m=\dfrac{1}{2}$, 则直线 $OA$ 的表达式是 $y=\dfrac{1}{2}x.\because△ OMC$ 的面积是$△ OAC$ 的面积的 $\dfrac{1}{2},\therefore$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 $\dfrac{1}{2}×4=2$,$\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 $2$ 或 $-2$.当点 $M$ 的横坐标是 $2$ 时, 在 $y=\dfrac{1}{2}x$ 中, 当 $x=2$ 时, $y=1$, 则点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$. 在 $y=-x+6$ 中, 当 $x=2$ 时, 则 $y=4$, 则点 $M$ 的坐标是 $(2,4)$.则点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$ 或 $(2,4)$.当点 $M$ 的横坐标是 $-2$ 时, 在 $y=-x+6$ 中, 当 $x=-2$ 时, $y=8$,则点 $M$ 的坐标是 $(-2,8)$.综上所述, 点 $M$ 的坐标是 $(2,1)$ 或 $(2,4)$ 或 $(-2,8)$.
4. 如图,直线 AB 的表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+6$,分别交$x$轴、$y$轴于$B$,$A$两点,点$D$坐标为$(-4,0)$,点$C$在线段$AB$上,$CD$交$y$轴于点$E$.
(1) 点$A$的坐标为
(2) 若 $CD=CB$,则点$C$的坐标为
(3) 若 $△ ACE$ 与 $△ DOE$ 的面积相等,在直线$AB$上有点$P$,满足 $△ DOC$ 与 $△ DPC$ 的面积相等,求点$P$的坐标.
(1) 点$A$的坐标为
(0,6)
,点$B$的坐标为(8,0)
;(2) 若 $CD=CB$,则点$C$的坐标为
$(2,\dfrac{9}{2})$
;(3) 若 $△ ACE$ 与 $△ DOE$ 的面积相等,在直线$AB$上有点$P$,满足 $△ DOC$ 与 $△ DPC$ 的面积相等,求点$P$的坐标.
答案
4. (1) $(0,6)\quad(8,0)$ 解析: 当 $x=0$ 时, $y=-\dfrac{3}{4}x+6=6$,$\therefore A(0,6)$. 当 $y=0$ 时, $-\dfrac{3}{4}x+6=0$, 解得 $x=8,\therefore B(8,0)$.
(2) $(2,\dfrac{9}{2})$ 解析: 过点 $C$ 作 $CH⊥ x$ 轴于点 $H$, 如图.
$\because CD=CB,\therefore DH=BH=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}×[8-(-4)]=6,\therefore OH=OB-BH=2$. 当 $x=2$ 时, $y=-\dfrac{3}{4}x+6=\dfrac{9}{2},\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$.(3) $\because△ ACE$ 与 $△ DOE$ 的面积相等, $\therefore△ AOC$ 与 $△ COD$ 的面积相等, 连接 $AD,\therefore AD// OC$. 设 $AD$ 所在直线的表达式为$y=kx+b$, 把 $A(0,6),D(-4,0)$ 分别代入, 得 $\begin{cases} b=6,\\ -4k+b=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{2},\\ b=6. \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AD$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x+6,\therefore$ 直线 $OC$ 的表达式为 $y=\dfrac{3}{2}x$. 解方程组 $\begin{cases} y=-\dfrac{3}{4}x+6,\\ y=\dfrac{3}{2}x, \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x=\dfrac{8}{3},\\ y=4, \end{cases}$ $\therefore C(\dfrac{8}{3},4)$. 设 $P(t,-\dfrac{3}{4}t+6)$. 当点 $P$ 在点 $C$ 下方时, $S_{△ PCD}=S_{△ BCD}-S_{△ PBD}.\because△ DOC$ 与 $△ DPC$ 的面积相等, $\therefore\dfrac{1}{2}×12×4-\dfrac{1}{2}×12×(-\dfrac{3}{4}t+6)=8$, 解得 $t=\dfrac{40}{9}$. 此时点 $P$ 坐标为 $(\dfrac{40}{9},\dfrac{8}{3})$. 当点 $P$ 在点 $C$ 上方时, $S_{△ PCD}=S_{△ PBD}-S_{△ CBD}.\because△ DOC$与 $△ DPC$ 的面积相等, $\therefore\dfrac{1}{2}×12×(-\dfrac{3}{4}t+6)-\dfrac{1}{2}×12×4=8$, 解得 $t=\dfrac{8}{9}$. 此时点 $P$ 坐标为 $(\dfrac{8}{9},\dfrac{16}{3})$. 综上所述, 点 $P$坐标为 $(\dfrac{40}{9},\dfrac{8}{3})$ 或 $(\dfrac{8}{9},\dfrac{16}{3})$.
