9. 在平面直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设$k$为整数,当直线$y=x-2$与$y=kx+k$的交点为整点时,$k$的值为.

9. 0或2或4或-2 解析:①当$k=0$时,$y=kx+k=0$,即为$x$轴,则直线$y=x-2$和$x$轴的交点为$(2,0)$,满足题意,$\therefore k=0$;②当$k ≠ 0$时,$\begin{cases} y=x-2,\\ y=kx+k,\\ \end{cases}$$\therefore x-2=kx+k$,$\therefore (k-1)x=-(k+2)$.$\because k$,$x$都是整数,$k ≠ 1$,$k ≠ 0$,$\therefore x=\dfrac{-(k+2)}{k-1}=-1-\dfrac{3}{k-1}$是整数,$\therefore k-1= \pm 1$或$\pm 3$,$\therefore k=2$或$k=4$或$k=-2$.综上,$k$的值为0或2或4或-2.

10. 如图,直线$l_1$的表达式为$y=-x+4$,直线$l_2$的表达式为$y=x-2$,$l_1$和$l_2$的交点为$B$.
(1)直接写出点$B$的坐标.
(2)平行于$y$轴的直线交$x$轴于点$M$,交直线$l_1$于点$E$,交直线$l_2$于点$F$.
①分别求出当$x=2$和$x=4$时$EF$的值;
②写出线段$EF$的长$y$与$x$的函数表达式,并画出函数图象$L$;
③在②的条件下,如果直线$y=kx+6$与$L$只有一个公共点,直接写出$k$的取值范围.

10. (1)点$B$的坐标为$(3,1)$. 解析:联立两个表达式可得$\begin{cases} y=-x+4,\\ y=x-2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3,\\ y=1,\\ \end{cases}$$\therefore$点$B$的坐标为$(3,1)$.
(2)①如图①,当$x=2$时,$y=-x+4=2$,$\therefore E(2,2)$.当$x=2$时,$y=x-2=0$,$\therefore F(2,0)$,$\therefore EF=2$.



如图②,当$x=4$时,$y=-x+4=0$,$\therefore E(4,0)$.当$x=4$时,$y=x-2=2$,$\therefore F(4,2)$,$\therefore EF=2$.
②当$x ≤ 3$时,$y=-x+4-(x-2)=-2x+6$.当$x＞3$时,$y=x-2-(-x+4)=2x-6$,$\therefore$线段$EF$的长$y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases} -2x+6(x ≤ 3),\\ 2x-6(x＞3),\\ \end{cases}$函数图象$L$如图③所示.
③$k ≥ 2$或$k＜-2$.理由如下:$y=kx+6$与$L$必定有一个交点$(0,6)$,当$k＞0$时,要使得当$x＞3$时不与图象$L$有交点,则$k ≥ 2$;当$k＜0$时,要使得当$x＞3$时不与图象$L$有交点,则$k＜-2$;$\therefore k ≥ 2$或$k＜-2$.

11. (乐山中考改编)已知直线 $l_1:y=(k-1)x+k+1$和直线 $l_2:y=kx+k+2$,其中 $k$ 为不小于 2 的自然数.
(1) 当 $k=2$ 时,直线 $l_1,l_2$ 与 $x$ 轴围成的三角形的面积 $S_2=$;
(2) 当 $k=2,3,4,···,2\,026$ 时,设直线 $l_1,l_2$ 与 $x$ 轴围成的三角形的面积分别为 $S_2,S_3,S_4,···,S_{2\,026}$,则 $S_2+S_3+S_4+···+S_{2\,026}=$.
数学八上(SK)

11. (1)1 解析:当$y=0$时,有$(k-1)x+k+1=0$,解得$x=-1-\dfrac{2}{k-1}$,$\therefore$直线$l_1$与$x$轴的交点坐标为$(-1-\dfrac{2}{k-1},0)$,同理可得出直线$l_2$与$x$轴的交点坐标为$(-1-\dfrac{2}{k},0)$,$\therefore$两直线与$x$轴的交点间的距离$d=-1-\dfrac{2}{k}-(-1-\dfrac{2}{k-1})=\dfrac{2}{k-1}-\dfrac{2}{k}$.联立直线$l_1$,$l_2$,得$\begin{cases} y=(k-1)x+k+1,\\ y=kx+k+2,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1,\\ y=2,\\ \end{cases}$$\therefore$直线$l_1$,$l_2$的交点坐标为$(-1,2)$.当$k=2$时,$d=\dfrac{2}{2-1}-\dfrac{2}{k}=1$,$\therefore S_2=\dfrac{1}{2}× 2d=d=1$.
(2)$\dfrac{2\ 025}{1\ 013}$ 解析:当$k=3$时,$S_3=\dfrac{2}{2}-\dfrac{2}{3}$;当$k=4$时,$S_4=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}······$当$k=2\ 026$时,$S_{2\ 026}=\dfrac{2}{2\ 025}-\dfrac{2}{2\ 026}$,$\therefore S_2+S_3+S_4+··· +S_{2\ 026}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}+··· +\dfrac{2}{2\ 025}-\dfrac{2}{2\ 026}=\dfrac{2}{1}-\dfrac{2}{2\ 026}=2-\dfrac{2}{2\ 026}=\dfrac{4\ 050}{2\ 026}=\dfrac{2\ 025}{1\ 013}$.

12. (2025·宁波期中) 如图①,一辆货车从南京出发匀速驶往上海,途经苏州;同时,一辆轿车从苏州出发匀速驶往南京,到达南京后停留1小时,然后原速返回苏州,两车同时到达目的地.设货车行驶$x\ \mathrm{h}$时,货车与苏州的距离为$y_1\ \mathrm{km}$,轿车与苏州的距离为$y_2\ \mathrm{km}$,$y_1$,$y_2$与$x$的函数图象如图②所示.
(1)货车的速度是$\mathrm{km/h}$,轿车的速度是$\mathrm{km/h}$;
(2)通过计算,分别解释点$G$,$H$的实际意义;
(3)设轿车、货车间的距离为$s\ \mathrm{km}$,在图③中画出$s$与$x$的函数图象(标明必要的数据).

题中题 144

12. (1)70 105 解析:根据题图②可知,货车的速度为$210÷ 3=70(\mathrm{km/h})$,轿车的速度为$210× 2÷ (5-1)=105(\mathrm{km/h})$.
(2)设$AB$所在直线的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases} b=210,\\ 3k+b=0,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-70,\\ b=210.\\ \end{cases}$$\therefore AB$所在直线的函数表达式为$y=-70x+210(0 ≤ x ≤ 3)$.$\because$货车的速度为$70\ \mathrm{km/h}$,$\therefore BC$所在直线的函数表达式为$y=70(x-3)=70x-210(3＜ x ≤ 5)$.$\because$轿车的速度为$105\ \mathrm{km/h}$,$\therefore 210÷ 105=2(\mathrm{h})$.$\therefore D(2,210)$,$E(3,210)$.$\therefore OD$所在直线的函数表达式为$y=105x(0 ≤ x ≤ 2)$.设$EF$所在直线的函数表达式为$y=mx+n$,则$\begin{cases} 3m+n=210,\\ 5m+n=0,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-105,\\ n=525.\\ \end{cases}$$\therefore EF$所在直线的函数表达式为$y=-105x+525(3 ≤ x ≤ 5)$.由$\begin{cases} y=-70x+210,\\ y=105x,\\ \end{cases}$得$\begin{cases} x=1.2,\\ y=126,\\ \end{cases}$$\therefore G(1.2,126)$.由$\begin{cases} y=70x-210,\\ y=-105x+525,\\ \end{cases}$得$\begin{cases} x=4.2,\\ y=84,\\ \end{cases}$$\therefore H(4.2,84)$.$\therefore$点$G$的实际意义为轿车与货车出发$1.2\ \mathrm{h}$时,在南京与苏州之间,距离苏州$126\ \mathrm{km}$的地方相遇;点$H$的实际意义为轿车与货车出发$4.2\ \mathrm{h}$时,轿车在南京与苏州之间,货车在苏州与上海之间,两车都距离苏州$84\ \mathrm{km}$.
(3)由题意可知,南京到苏州$210\ \mathrm{km}$,苏州到上海$2× 70=140(\mathrm{km})$.如图所示.