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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 一直角三角形的一条直角边长为6,另一条直角边长比它大2,则其斜边长为(
A.4
B.8
C.10
D.12
1. 一直角三角形的一条直角边长为6,另一条直角边长比它大2,则其斜边长为(
C
).A.4
B.8
C.10
D.12
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道直角三角形求斜边长的题目，解题核心是运用勾股定理。首先我们先根据题目给出的边长关系求出另一条直角边的长度，再将两条直角边的长度代入勾股定理公式，计算得到斜边的长度，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：求另一条直角边的长度
已知一条直角边长为6，另一条直角边长比它大2，因此另一条直角边长为：$6+2=8$
第二步：运用勾股定理求斜边长
勾股定理内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，设斜边长为$c$，则：
$c^2=6^2+8^2=36+64=100$
由于三角形边长为正数，因此$c=\sqrt{100}=10$
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.整数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的直接应用，解题时先求出未知直角边的长度，再代入勾股定理计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
这是一道直角三角形求斜边长的题目，解题核心是运用勾股定理。首先我们先根据题目给出的边长关系求出另一条直角边的长度，再将两条直角边的长度代入勾股定理公式，计算得到斜边的长度，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：求另一条直角边的长度
已知一条直角边长为6，另一条直角边长比它大2，因此另一条直角边长为：$6+2=8$
第二步：运用勾股定理求斜边长
勾股定理内容为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，设斜边长为$c$，则：
$c^2=6^2+8^2=36+64=100$
由于三角形边长为正数，因此$c=\sqrt{100}=10$
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.整数乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的直接应用，解题时先求出未知直角边的长度，再代入勾股定理计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
2. 若$ x,y $为实数，且$|x + 2| + \sqrt{y + 3} = 0$，则$(x - y)^{2025}$的值为（
A.1
B.-1
C.2
D.-2
A
）。A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和算术平方根的非负性质：二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，据此我们可以先列方程求出x、y的值，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根都具有非负性
∴ $|x + 2| ≥ 0$，$\sqrt{y + 3} ≥ 0$
又
∵ $|x + 2| + \sqrt{y + 3} = 0$
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}x+2=0\\y+3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2\\y=-3\end{cases}$
将$x=-2$，$y=-3$代入$(x-y)^{2025}$得：
$x-y=-2-(-3)=1$
∴ $(x-y)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础常规考题，核心考查非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”这一结论，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值和算术平方根的非负性质：二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，据此我们可以先列方程求出x、y的值，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值和算术平方根都具有非负性
∴ $|x + 2| ≥ 0$，$\sqrt{y + 3} ≥ 0$
又
∵ $|x + 2| + \sqrt{y + 3} = 0$
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}x+2=0\\y+3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2\\y=-3\end{cases}$
将$x=-2$，$y=-3$代入$(x-y)^{2025}$得：
$x-y=-2-(-3)=1$
∴ $(x-y)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础常规考题，核心考查非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”这一结论，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知直线$y=kx+b$与直线$y=-2x+3$平行，且经过点$(-4,2)$，则这个一次函数的关系式为(
A.$y=-2x-6$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-2x+10$
D.$y=-2x-10$
A
).A.$y=-2x-6$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-2x+10$
D.$y=-2x-10$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的性质：若两条直线平行，则它们的斜率k值相等，由此可以先确定所求一次函数的k值；得到k值后，解析式仅剩参数b未知，再将已知经过的点的坐标代入解析式，即可求出b的值，最终确定一次函数的关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求斜率k的值：
因为直线$y=kx+b$与直线$y=-2x+3$平行，根据两平行直线的斜率相等，可得$k=-2$，因此所求一次函数解析式可写为$y=-2x+b$。
2. 求参数b的值：
已知该一次函数经过点$(-4,2)$，将$x=-4$，$y=2$代入$y=-2x+b$中，可得：
$2=-2×(-4)+b$
计算得$2=8+b$，解得$b=2-8=-6$。
3. 确定解析式：
将$b=-6$代入$y=-2x+b$，得到一次函数关系式为$y=-2x-6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是熟练掌握平行直线的斜率相等这一性质，结合待定系数法代入已知点求解参数即可，解题时注意计算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数的性质：若两条直线平行，则它们的斜率k值相等，由此可以先确定所求一次函数的k值；得到k值后，解析式仅剩参数b未知，再将已知经过的点的坐标代入解析式，即可求出b的值，最终确定一次函数的关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
1. 求斜率k的值：
因为直线$y=kx+b$与直线$y=-2x+3$平行，根据两平行直线的斜率相等，可得$k=-2$，因此所求一次函数解析式可写为$y=-2x+b$。
2. 求参数b的值：
已知该一次函数经过点$(-4,2)$，将$x=-4$，$y=2$代入$y=-2x+b$中，可得：
$2=-2×(-4)+b$
计算得$2=8+b$，解得$b=2-8=-6$。
3. 确定解析式：
将$b=-6$代入$y=-2x+b$，得到一次函数关系式为$y=-2x-6$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是熟练掌握平行直线的斜率相等这一性质，结合待定系数法代入已知点求解参数即可，解题时注意计算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4. 在下列式子中,正确的是(
A.$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$
B.$-\sqrt{6.4}=-0.8$
C.$\sqrt{(-7)^2}=-7$
D.$\sqrt{36}=\pm6$
A
).A.$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$
B.$-\sqrt{6.4}=-0.8$
C.$\sqrt{(-7)^2}=-7$
D.$\sqrt{36}=\pm6$
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查立方根与算术平方根的相关性质，解题思路为：首先回忆立方根的符号规律、算术平方根的非负性等核心知识点，再对四个选项逐一验证，判断每个选项的运算是否符合对应性质，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据立方根的性质，对于任意实数a，都有$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，该选项正确。
选项B：先计算$0.8^2=0.64≠6.4$，因此$\sqrt{6.4}≠0.8$，即$-\sqrt{6.4}≠-0.8$，该选项错误。
选项C：算术平方根的结果是非负数，先计算被开方数$(-7)^2=49$，则$\sqrt{49}=7≠-7$，该选项错误。
选项D：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{36}=6$，$\pm6$是36的平方根，二者概念不同，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.立方根的性质 2.算术平方根的定义 3.平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分立方根、平方根、算术平方根的性质差异，尤其要注意算术平方根的结果恒为非负数，不要混淆算术平方根和平方根的表示意义。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根与算术平方根的相关性质，解题思路为：首先回忆立方根的符号规律、算术平方根的非负性等核心知识点，再对四个选项逐一验证，判断每个选项的运算是否符合对应性质，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据立方根的性质，对于任意实数a，都有$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，该选项正确。
选项B：先计算$0.8^2=0.64≠6.4$，因此$\sqrt{6.4}≠0.8$，即$-\sqrt{6.4}≠-0.8$，该选项错误。
选项C：算术平方根的结果是非负数，先计算被开方数$(-7)^2=49$，则$\sqrt{49}=7≠-7$，该选项错误。
选项D：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{36}=6$，$\pm6$是36的平方根，二者概念不同，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.立方根的性质 2.算术平方根的定义 3.平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分立方根、平方根、算术平方根的性质差异，尤其要注意算术平方根的结果恒为非负数，不要混淆算术平方根和平方根的表示意义。
【难度系数】
0.8
5. 如果解关于 $ x $ 的方程 $\dfrac{x - 6}{x - 5} + 1 = \dfrac{m}{x - 5}$（$ m $ 为常数）时产生增根，那么 $ m $ 的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
答案
5. A 解析:去分母,得 $x-6+x-5=m$,由分式方程有增根,得到 $x-5=0$,即 $x=5$,
把 $x=5$ 代入整式方程,得 $m=-1$. 故选 A.
把 $x=5$ 代入整式方程,得 $m=-1$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决分式方程产生增根求参数的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路可分为三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步，根据增根的性质，找到使原方程分母为0的x的值，也就是增根；第三步，将增根代入转化后的整式方程，就能求出参数m的值。
【解析】
解：给原方程两边同时乘以最简公分母$x-5$（此时默认$x≠5$），去分母得：
$x - 6 + x - 5 = m$
∵ 分式方程产生增根，
∴ 原方程分母为0，即$x - 5 = 0$，解得增根为$x=5$
把$x=5$代入上述整式方程，得：
$5 - 6 + 5 - 5 = m$
计算得$m=-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程的增根 2.解分式方程 3.整式方程求值
【点评】
本题是分式方程增根类的典型基础题，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个特征即可快速求出参数值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程产生增根求参数的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，不满足原分式方程。解题思路可分为三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步，根据增根的性质，找到使原方程分母为0的x的值，也就是增根；第三步，将增根代入转化后的整式方程，就能求出参数m的值。
【解析】
解：给原方程两边同时乘以最简公分母$x-5$（此时默认$x≠5$），去分母得：
$x - 6 + x - 5 = m$
∵ 分式方程产生增根，
∴ 原方程分母为0，即$x - 5 = 0$，解得增根为$x=5$
把$x=5$代入上述整式方程，得：
$5 - 6 + 5 - 5 = m$
计算得$m=-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程的增根 2.解分式方程 3.整式方程求值
【点评】
本题是分式方程增根类的典型基础题，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个特征即可快速求出参数值。
【难度系数】
0.7
6. 已知直线$y_1=x+m$与$y_2=kx-1$相交于点$P(-1,2)$，则关于$x$的不等式$x+m＜kx-1$的解集是(
A.$x≥ -1$
B.$x＞-1$
C.$x≤ -1$
D.$x＜-1$
D
).A.$x≥ -1$
B.$x＞-1$
C.$x≤ -1$
D.$x＜-1$
答案
6. D
解析
【分析】
要解不等式$x+m＜kx-1$，首先明确该不等式的含义是一次函数$y_1=x+m$的函数值小于$y_2=kx-1$的函数值时对应的$x$的取值范围。已知两直线交点为$P(-1,2)$，交点处两函数值相等，我们可以先将交点坐标代入两个一次函数解析式，求出未知参数$m$和$k$的值，再代入不等式解一元一次不等式即可得到解集，这种方法直观易懂，不易出错。
【解析】
第一步：求参数$m$的值
因为点$P(-1,2)$在直线$y_1=x+m$上，将$x=-1$，$y_1=2$代入解析式得：
$2 = -1 + m$
解得$m=3$
第二步：求参数$k$的值
因为点$P(-1,2)$在直线$y_2=kx-1$上，将$x=-1$，$y_2=2$代入解析式得：
$2 = -k -1$
解得$k=-3$
第三步：解不等式
将$m=3$，$k=-3$代入不等式$x+m＜kx-1$得：
$x + 3 ＜ -3x -1$
移项合并同类项得：$4x ＜ -4$
两边同时除以4得：$x ＜ -1$
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式；函数交点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的典型题型，核心是理解函数解析式与不等式的对应关系，既可以通过求参数解不等式得到结果，也可以结合一次函数图像的增减性直接判断解集，熟练掌握两类知识点的关联能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要解不等式$x+m＜kx-1$，首先明确该不等式的含义是一次函数$y_1=x+m$的函数值小于$y_2=kx-1$的函数值时对应的$x$的取值范围。已知两直线交点为$P(-1,2)$，交点处两函数值相等，我们可以先将交点坐标代入两个一次函数解析式，求出未知参数$m$和$k$的值，再代入不等式解一元一次不等式即可得到解集，这种方法直观易懂，不易出错。
【解析】
第一步：求参数$m$的值
因为点$P(-1,2)$在直线$y_1=x+m$上，将$x=-1$，$y_1=2$代入解析式得：
$2 = -1 + m$
解得$m=3$
第二步：求参数$k$的值
因为点$P(-1,2)$在直线$y_2=kx-1$上，将$x=-1$，$y_2=2$代入解析式得：
$2 = -k -1$
解得$k=-3$
第三步：解不等式
将$m=3$，$k=-3$代入不等式$x+m＜kx-1$得：
$x + 3 ＜ -3x -1$
移项合并同类项得：$4x ＜ -4$
两边同时除以4得：$x ＜ -1$
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式；函数交点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的典型题型，核心是理解函数解析式与不等式的对应关系，既可以通过求参数解不等式得到结果，也可以结合一次函数图像的增减性直接判断解集，熟练掌握两类知识点的关联能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 若$\sqrt{a-2}$与$(ab+6)^2$互为相反数,则$a-b$的值为
7. 若$\sqrt{a-2}$与$(ab+6)^2$互为相反数,则$a-b$的值为
5
.答案
7. 5
解析
【分析】
解题时首先根据互为相反数的两个数和为0列出等式；再结合算术平方根与平方数的非负性（即两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0），分别列方程求出a、b的值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
∵ $\sqrt{a-2}$与$(ab+6)^2$互为相反数
∴ $\sqrt{a-2} + (ab+6)^2 = 0$
又
∵ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$(ab+6)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0时，每一项都为0
∴ $\begin{cases} a-2=0 \\ ab+6=0 \end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
把$a=2$代入第二个方程得：$2b + 6 = 0$，解得$b=-3$
∴ $a-b = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握算术平方根、偶次幂的非负性，结合相反数的性质建立方程求解，这类题型是代数部分的常见考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据互为相反数的两个数和为0列出等式；再结合算术平方根与平方数的非负性（即两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0），分别列方程求出a、b的值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
∵ $\sqrt{a-2}$与$(ab+6)^2$互为相反数
∴ $\sqrt{a-2} + (ab+6)^2 = 0$
又
∵ $\sqrt{a-2} ≥ 0$，$(ab+6)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0时，每一项都为0
∴ $\begin{cases} a-2=0 \\ ab+6=0 \end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
把$a=2$代入第二个方程得：$2b + 6 = 0$，解得$b=-3$
∴ $a-b = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握算术平方根、偶次幂的非负性，结合相反数的性质建立方程求解，这类题型是代数部分的常见考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
8. 因式分解：$a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}=$
$a(a-b)^2$
.答案
8. $a(a-b)^2$
解析
【分析】
做因式分解题时首先遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中三项都含有公因式$a$，因此先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，发现$a^2-2ab+b^2$符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：
$\begin{aligned}a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}&=a(a^2-2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}a\mathrm{）} \\&=a(a-b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方差公式分解）}\end{aligned}$
【答案】
$a(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考查因式分解的基本步骤和常用公式，解题时要注意先提公因式再套用公式，最后务必检查是否分解到不能再分解的形式。
【难度系数】
0.85
做因式分解题时首先遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中三项都含有公因式$a$，因此先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，发现$a^2-2ab+b^2$符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后检查分解结果是否已经不能再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：
$\begin{aligned}a^{3}-2a^{2}b+ab^{2}&=a(a^2-2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}a\mathrm{）} \\&=a(a-b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方差公式分解）}\end{aligned}$
【答案】
$a(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，重点考查因式分解的基本步骤和常用公式，解题时要注意先提公因式再套用公式，最后务必检查是否分解到不能再分解的形式。
【难度系数】
0.85
9. 当$a=6$时，分式$(\dfrac{1}{a+2}-\dfrac{1}{a-2})÷\dfrac{1}{a-2}$的值为________.
答案
9. $-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，优先选择先化简原式再代入数值的方法计算，可减少计算量、降低出错率。解题时先处理分式混合运算：可先通分计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法，约分后得到最简分式，最后代入a=6计算结果；也可直接利用乘法分配律，将括号内两项分别乘以除数的倒数，简化计算过程。
【解析】
我们选择更简便的乘法分配律法计算：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-2})÷\frac{1}{a-2}\\=&(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-2})×(a-2)\\=&\frac{1}{a+2}×(a-2)-\frac{1}{a-2}×(a-2)\\=&\frac{a-2}{a+2}-1\\=&\frac{a-2-(a+2)}{a+2}\\=&\frac{-4}{a+2}\end{aligned}$
将$a=6$代入最简式得：
原式$=-\frac{4}{6+2}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，先化简后代入求值是解决此类问题的通用思路，计算过程中要注意通分、约分的规则，以及符号运算的准确性，灵活运用运算律可进一步简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，优先选择先化简原式再代入数值的方法计算，可减少计算量、降低出错率。解题时先处理分式混合运算：可先通分计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法，约分后得到最简分式，最后代入a=6计算结果；也可直接利用乘法分配律，将括号内两项分别乘以除数的倒数，简化计算过程。
【解析】
我们选择更简便的乘法分配律法计算：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-2})÷\frac{1}{a-2}\\=&(\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a-2})×(a-2)\\=&\frac{1}{a+2}×(a-2)-\frac{1}{a-2}×(a-2)\\=&\frac{a-2}{a+2}-1\\=&\frac{a-2-(a+2)}{a+2}\\=&\frac{-4}{a+2}\end{aligned}$
将$a=6$代入最简式得：
原式$=-\frac{4}{6+2}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，先化简后代入求值是解决此类问题的通用思路，计算过程中要注意通分、约分的规则，以及符号运算的准确性，灵活运用运算律可进一步简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
10. 在$△ ABC$中，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，则边$BC$上的高$AD$为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$
答案
10. $\dfrac{60}{13}$
解析
【分析】
拿到题目首先观察三角形三边长度，先判断三角形是否为特殊三角形：计算较小两边的平方和，与最长边的平方对比，发现符合勾股定理逆定理，可确定△ABC是直角三角形，直角顶点为A。接下来要求BC边上的高，可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，联立两个面积表达式就能解出AD的长度。
【解析】
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，先判断三角形形状：
$AB^2+AC^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
三角形面积可通过两种方式计算：
1. 用直角边计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×12×5=30\ \mathrm{cm}^2$
2. 用底$BC$和高$AD$计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD$
联立两个面积表达式，代入$BC=13\ \mathrm{cm}$：
$\frac{1}{2}×13× AD=30$
解得$AD=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用等面积法建立等式求解高，是几何中求高类问题的常见考法，需熟练掌握等面积法的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先观察三角形三边长度，先判断三角形是否为特殊三角形：计算较小两边的平方和，与最长边的平方对比，发现符合勾股定理逆定理，可确定△ABC是直角三角形，直角顶点为A。接下来要求BC边上的高，可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，联立两个面积表达式就能解出AD的长度。
【解析】
已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，先判断三角形形状：
$AB^2+AC^2=12^2+5^2=144+25=169$，$BC^2=13^2=169$
因此$AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
三角形面积可通过两种方式计算：
1. 用直角边计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×12×5=30\ \mathrm{cm}^2$
2. 用底$BC$和高$AD$计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD$
联立两个面积表达式，代入$BC=13\ \mathrm{cm}$：
$\frac{1}{2}×13× AD=30$
解得$AD=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用等面积法建立等式求解高，是几何中求高类问题的常见考法，需熟练掌握等面积法的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
11. 如果分式$\dfrac{x-1}{x}$的值为0，那么$x$的值是
1
.答案
11. 1
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
根据分式值为0的条件求解：
1. 令分子等于0，列方程：$x-1=0$，解得$x=1$；
2. 验证分母：分式有意义要求分母$x≠0$，当$x=1$时，分母$x=1≠0$，满足条件。
因此x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题时最容易出现的错误是遗漏分母不为0的限制条件，需要牢记分式值为0要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.9
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
根据分式值为0的条件求解：
1. 令分子等于0，列方程：$x-1=0$，解得$x=1$；
2. 验证分母：分式有意义要求分母$x≠0$，当$x=1$时，分母$x=1≠0$，满足条件。
因此x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题时最容易出现的错误是遗漏分母不为0的限制条件，需要牢记分式值为0要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.9
12. 已知四条直线 $ y = kx - 3, y = -1, y = 3 $ 和 $ x = 1 $ 所围成的四边形的面积是12,则 $ k $ 的值为________.
答案
12. $-2$ 或 $1$ 解析:在 $y=kx-3$ 中,令 $y=-1$,解得 $x=\dfrac{2}{k}$;
令 $y=3$,解得 $x=\dfrac{6}{k}$.
当 $k＜0$ 时,四边形的面积是 $\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{2}{k})+(1-\dfrac{6}{k})]×4=12$,解得 $k=-2$;
当 $k＞0$ 时,可得 $\dfrac{1}{2}[(\dfrac{2}{k}-1)+(\dfrac{6}{k}-1)]×4=12$,解得 $k=1$.
综上所述,$k=-2$ 或 $1$.
令 $y=3$,解得 $x=\dfrac{6}{k}$.
当 $k＜0$ 时,四边形的面积是 $\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{2}{k})+(1-\dfrac{6}{k})]×4=12$,解得 $k=-2$;
当 $k＞0$ 时,可得 $\dfrac{1}{2}[(\dfrac{2}{k}-1)+(\dfrac{6}{k}-1)]×4=12$,解得 $k=1$.
综上所述,$k=-2$ 或 $1$.
解析
【分析】
首先明确四条直线中，y=-1、y=3是平行于x轴的直线，两直线间距为$3-(-1)=4$，x=1是平行于y轴的直线，第四条直线$y=kx-3$为一次函数图像，四条线围成的图形是梯形，梯形的高就是两水平线的间距4。解题思路如下：①先求$y=kx-3$分别与$y=-1$、$y=3$的交点横坐标；②由于k的正负会影响交点横坐标与1的大小关系，需分$k＞0$、$k＜0$两种情况表示梯形的上下底长度；③代入梯形面积公式列方程求解，检验解是否符合对应k的取值范围即可。
【解析】
第一步：求直线$y=kx-3$与两条水平线的交点横坐标
在$y=kx-3$中，令$y=-1$，得$-1=kx-3$，解得$x=\dfrac{2}{k}$；
令$y=3$，得$3=kx-3$，解得$x=\dfrac{6}{k}$。
第二步：分情况列方程求解
梯形的高为两条水平线的间距：$3-(-1)=4$。
①当$k＜0$时，$\dfrac{2}{k}$、$\dfrac{6}{k}$均为负数，小于1，此时梯形上下底长度为$1-\dfrac{2}{k}$、$1-\dfrac{6}{k}$，根据梯形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×(上底+下底)×高$列方程：
$\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{2}{k})+(1-\dfrac{6}{k})]×4=12$
化简得$2-\dfrac{8}{k}=6$，解得$k=-2$，符合$k＜0$的前提。
②当$k＞0$时，$\dfrac{2}{k}$、$\dfrac{6}{k}$均为正数，结合面积为12可知交点在$x=1$右侧，此时梯形上下底长度为$\dfrac{2}{k}-1$、$\dfrac{6}{k}-1$，列方程：
$\dfrac{1}{2}[(\dfrac{2}{k}-1)+(\dfrac{6}{k}-1)]×4=12$
化简得$\dfrac{8}{k}-2=6$，解得$k=1$，符合$k＞0$的前提。
【答案】
$-2$或$1$
【知识点】
一次函数图像性质，梯形面积计算，分类讨论
【点评】
本题结合一次函数与几何面积计算，解题核心是先确定直线交点坐标，再根据k的正负性分类讨论列方程，易错点是遗漏k为负的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确四条直线中，y=-1、y=3是平行于x轴的直线，两直线间距为$3-(-1)=4$，x=1是平行于y轴的直线，第四条直线$y=kx-3$为一次函数图像，四条线围成的图形是梯形，梯形的高就是两水平线的间距4。解题思路如下：①先求$y=kx-3$分别与$y=-1$、$y=3$的交点横坐标；②由于k的正负会影响交点横坐标与1的大小关系，需分$k＞0$、$k＜0$两种情况表示梯形的上下底长度；③代入梯形面积公式列方程求解，检验解是否符合对应k的取值范围即可。
【解析】
第一步：求直线$y=kx-3$与两条水平线的交点横坐标
在$y=kx-3$中，令$y=-1$，得$-1=kx-3$，解得$x=\dfrac{2}{k}$；
令$y=3$，得$3=kx-3$，解得$x=\dfrac{6}{k}$。
第二步：分情况列方程求解
梯形的高为两条水平线的间距：$3-(-1)=4$。
①当$k＜0$时，$\dfrac{2}{k}$、$\dfrac{6}{k}$均为负数，小于1，此时梯形上下底长度为$1-\dfrac{2}{k}$、$1-\dfrac{6}{k}$，根据梯形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×(上底+下底)×高$列方程：
$\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{2}{k})+(1-\dfrac{6}{k})]×4=12$
化简得$2-\dfrac{8}{k}=6$，解得$k=-2$，符合$k＜0$的前提。
②当$k＞0$时，$\dfrac{2}{k}$、$\dfrac{6}{k}$均为正数，结合面积为12可知交点在$x=1$右侧，此时梯形上下底长度为$\dfrac{2}{k}-1$、$\dfrac{6}{k}-1$，列方程：
$\dfrac{1}{2}[(\dfrac{2}{k}-1)+(\dfrac{6}{k}-1)]×4=12$
化简得$\dfrac{8}{k}-2=6$，解得$k=1$，符合$k＞0$的前提。
【答案】
$-2$或$1$
【知识点】
一次函数图像性质，梯形面积计算，分类讨论
【点评】
本题结合一次函数与几何面积计算，解题核心是先确定直线交点坐标，再根据k的正负性分类讨论列方程，易错点是遗漏k为负的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)计算:
(1)$\frac{1}{3}×\sqrt{\frac{36}{100}}-\sqrt[3]{0.008};$
(2)$\sqrt{15^2 - 12^2}-(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+2^{-1}).$
13. (12分)计算:
(1)$\frac{1}{3}×\sqrt{\frac{36}{100}}-\sqrt[3]{0.008};$
(2)$\sqrt{15^2 - 12^2}-(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+2^{-1}).$
答案
13. (1)原式$=\dfrac{1}{3}×\dfrac{3}{5}-0.2=0$；
(2)原式$=9-1=8$.
(2)原式$=9-1=8$.
解析
【分析】
这两道题均属于实数混合运算题，解题遵循“先算乘方、开方、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序。第(1)题先分别化简算术平方根和立方根，再计算乘法，最后做减法；第(2)题先计算根号内的平方差化简二次根式，同时计算括号内的立方根和负指数幂，再算括号内的加法，最后做减法即可。
【解析】
(1) 先化简各运算单元：
$\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\sqrt[3]{0.008}=\sqrt[3]{0.2^3}=0.2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×\frac{3}{5} - 0.2\\&=\frac{1}{5} - 0.2\\&=0.2 - 0.2\\&=0\end{aligned}$
(2) 先化简各运算单元：
$\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
实数混合运算；二次根式化简；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查实数运算的优先级和各类根式、幂的化简规则，计算时需先准确化简每一个运算单元，再按顺序计算，注意避免因运算顺序错误或化简失误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数混合运算题，解题遵循“先算乘方、开方、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序。第(1)题先分别化简算术平方根和立方根，再计算乘法，最后做减法；第(2)题先计算根号内的平方差化简二次根式，同时计算括号内的立方根和负指数幂，再算括号内的加法，最后做减法即可。
【解析】
(1) 先化简各运算单元：
$\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\sqrt[3]{0.008}=\sqrt[3]{0.2^3}=0.2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×\frac{3}{5} - 0.2\\&=\frac{1}{5} - 0.2\\&=0.2 - 0.2\\&=0\end{aligned}$
(2) 先化简各运算单元：
$\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$，$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$，$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
实数混合运算；二次根式化简；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查实数运算的优先级和各类根式、幂的化简规则，计算时需先准确化简每一个运算单元，再按顺序计算，注意避免因运算顺序错误或化简失误失分。
【难度系数】
0.8
