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14. (12 分)解方程：
(1)$\frac{x}{2x - 1}=1-\frac{2}{1 - 2x}$；
(2)$\frac{x - 2}{x + 2}-1=\frac{16}{x^2 - 4}$。
(1)$\frac{x}{2x - 1}=1-\frac{2}{1 - 2x}$；
(2)$\frac{x - 2}{x + 2}-1=\frac{16}{x^2 - 4}$。
答案
14. (1)$x=-1$.
(2)$x=-2$是方程的增根.故原方程无解.
(2)$x=-2$是方程的增根.故原方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。具体思考步骤：①找最简公分母：第(1)题中$1-2x=-(2x-1)$，因此最简公分母为$2x-1$；第(2)题中$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，因此最简公分母为$x^2-4$。②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程。③解整式方程。④将求得的解代入最简公分母检验，若最简公分母为0，则该解为增根，原方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理为：$\frac{x}{2x - 1}=1+\frac{2}{2x - 1}$，
方程两边同时乘$(2x - 1)$（要求$2x-1≠0$，即$x≠\frac{1}{2}$），得：
$x = (2x - 1) + 2$，
去括号得：$x=2x -1 +2$，
移项合并同类项得：$-x=1$，
解得：$x=-1$，
检验：将$x=-1$代入$2x-1$，得$2×(-1)-1=-3≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
(2) 原方程分母因式分解得：$\frac{x - 2}{x + 2}-1=\frac{16}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$（要求$x+2≠0$且$x-2≠0$，即$x≠\pm2$），得：
$(x - 2)^2 - (x^2 - 4) = 16$，
去括号得：$x^2 -4x +4 -x^2 +4 =16$，
合并同类项得：$-4x +8 =16$，
移项得：$-4x=8$，
解得：$x=-2$，
检验：将$x=-2$代入$(x+2)(x-2)$，得$0×(-4)=0$，因此$x=-2$是原方程的增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=-1$；
(2)$x=-2$是方程的增根，故原方程无解。
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是分式方程的常规考查题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解完方程必须进行检验，增根虽然满足去分母后的整式方程，但不满足原分式方程，需要舍去，忽略检验是这类题的主要失分点。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。具体思考步骤：①找最简公分母：第(1)题中$1-2x=-(2x-1)$，因此最简公分母为$2x-1$；第(2)题中$x^2-4$可因式分解为$(x+2)(x-2)$，因此最简公分母为$x^2-4$。②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程。③解整式方程。④将求得的解代入最简公分母检验，若最简公分母为0，则该解为增根，原方程无解，否则为原方程的解。
【解析】
(1) 原方程整理为：$\frac{x}{2x - 1}=1+\frac{2}{2x - 1}$，
方程两边同时乘$(2x - 1)$（要求$2x-1≠0$，即$x≠\frac{1}{2}$），得：
$x = (2x - 1) + 2$，
去括号得：$x=2x -1 +2$，
移项合并同类项得：$-x=1$，
解得：$x=-1$，
检验：将$x=-1$代入$2x-1$，得$2×(-1)-1=-3≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
(2) 原方程分母因式分解得：$\frac{x - 2}{x + 2}-1=\frac{16}{(x+2)(x-2)}$，
方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$（要求$x+2≠0$且$x-2≠0$，即$x≠\pm2$），得：
$(x - 2)^2 - (x^2 - 4) = 16$，
去括号得：$x^2 -4x +4 -x^2 +4 =16$，
合并同类项得：$-4x +8 =16$，
移项得：$-4x=8$，
解得：$x=-2$，
检验：将$x=-2$代入$(x+2)(x-2)$，得$0×(-4)=0$，因此$x=-2$是原方程的增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=-1$；
(2)$x=-2$是方程的增根，故原方程无解。
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是分式方程的常规考查题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解完方程必须进行检验，增根虽然满足去分母后的整式方程，但不满足原分式方程，需要舍去，忽略检验是这类题的主要失分点。
【难度系数】
0.7
15.（12分）先化简：$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (\dfrac{x - 1}{x + 1} - x + 1)$，然后从$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$的范围内选一个你认为合适的整数代入求值.
答案
15. 原式$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{x(1-x)} = -\dfrac{1}{x}$.
$\because x^2-1≠0,x≠0,\therefore x≠\pm1$且$x≠0$.
又$-\sqrt{5}＜x＜\sqrt{5}$且$x$为整数，
$\therefore x$可取$-2$或$2$.
当$x=-2$时,原式$=\dfrac{1}{2}(或当x=2时,原式=-\dfrac{1}{2})$.
$\because x^2-1≠0,x≠0,\therefore x≠\pm1$且$x≠0$.
又$-\sqrt{5}＜x＜\sqrt{5}$且$x$为整数，
$\therefore x$可取$-2$或$2$.
当$x=-2$时,原式$=\dfrac{1}{2}(或当x=2时,原式=-\dfrac{1}{2})$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步按分式混合运算顺序化简原式，先计算括号内的减法，将整式看作分母为1的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得到最简结果；第二步确定x的允许取值范围，要保证原式中所有分母、除式均不为0，结合题目给出的$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$的整数要求，筛选出符合条件的x值；第三步代入合适的x值计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 因式分解并处理括号内运算
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (\dfrac{x - 1}{x + 1} - x + 1)$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ [\dfrac{x - 1}{x + 1} - (x - 1)]$
2. 对括号内通分计算
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{(x - 1) - (x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
括号内分子化简：$(x-1)-(x^2-1)=x-1-x^2+1=x-x^2=x(1-x)$
原式变为：
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x(1 - x)}{x + 1}$
3. 除法转化为乘法，约分计算
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x + 1}{x(1 - x)}$
结合$1-x=-(x-1)$约分后得：
$=-\dfrac{1}{x}$
4. 确定x的合法取值
要使分式有意义，需满足所有分母、除式不为0：
$\begin{cases} x^2-1≠0 \\ x≠0 \end{cases}$，解得$x≠±1$且$x≠0$
已知$-\sqrt{5}≈-2.24$，$\sqrt{5}≈2.24$，范围内的整数有$-2,-1,0,1,2$，排除不符合取值，可选$x=-2$或$x=2$
5. 代入求值：当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{2}$；当$x=2$时，原式$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x}$，取$x=-2$时，值为$\dfrac{1}{2}$（或取$x=2$时，值为$-\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
1. 分式混合运算 2. 分式有意义的条件 3. 代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常考题型，重点考查分式运算规则和约分技巧，解题时需注意隐含的分式有意义的限制条件，避免选取使分母为0的x值代入，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步按分式混合运算顺序化简原式，先计算括号内的减法，将整式看作分母为1的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得到最简结果；第二步确定x的允许取值范围，要保证原式中所有分母、除式均不为0，结合题目给出的$-\sqrt{5} ＜ x ＜ \sqrt{5}$的整数要求，筛选出符合条件的x值；第三步代入合适的x值计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 因式分解并处理括号内运算
$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ (\dfrac{x - 1}{x + 1} - x + 1)$
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ [\dfrac{x - 1}{x + 1} - (x - 1)]$
2. 对括号内通分计算
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{(x - 1) - (x - 1)(x + 1)}{x + 1}$
括号内分子化简：$(x-1)-(x^2-1)=x-1-x^2+1=x-x^2=x(1-x)$
原式变为：
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \dfrac{x(1 - x)}{x + 1}$
3. 除法转化为乘法，约分计算
$=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x + 1}{x(1 - x)}$
结合$1-x=-(x-1)$约分后得：
$=-\dfrac{1}{x}$
4. 确定x的合法取值
要使分式有意义，需满足所有分母、除式不为0：
$\begin{cases} x^2-1≠0 \\ x≠0 \end{cases}$，解得$x≠±1$且$x≠0$
已知$-\sqrt{5}≈-2.24$，$\sqrt{5}≈2.24$，范围内的整数有$-2,-1,0,1,2$，排除不符合取值，可选$x=-2$或$x=2$
5. 代入求值：当$x=-2$时，原式$=\dfrac{1}{2}$；当$x=2$时，原式$=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$-\dfrac{1}{x}$，取$x=-2$时，值为$\dfrac{1}{2}$（或取$x=2$时，值为$-\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
1. 分式混合运算 2. 分式有意义的条件 3. 代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常考题型，重点考查分式运算规则和约分技巧，解题时需注意隐含的分式有意义的限制条件，避免选取使分母为0的x值代入，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
16. (16分)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)若直线AB上一点C在第一象限,且点C的坐标为(2,2),求△BOC的面积.
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)若直线AB上一点C在第一象限,且点C的坐标为(2,2),求△BOC的面积.
答案
16. (1)设直线AB的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$,
将$A(1,0),B(0,-2)$代入函数关系式中,得$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$
故直线AB的函数关系式为$y=2x-2$.
(2)由题意,得$OB=2$,点C的坐标为$(2,2)$,所以$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.
将$A(1,0),B(0,-2)$代入函数关系式中,得$\begin{cases}k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2.\end{cases}$
故直线AB的函数关系式为$y=2x-2$.
(2)由题意,得$OB=2$,点C的坐标为$(2,2)$,所以$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
(1) 求直线的函数关系式时，已知直线经过两个已知点，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两个点的坐标代入解析式，得到关于系数$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可得到函数关系式。
(2) 求$△ BOC$的面积时，观察得点$B$在$y$轴上，可将$OB$作为三角形的底，长度等于点$B$纵坐标的绝对值；点$C$到$y$轴的水平距离就是点$C$横坐标的绝对值，可作为$OB$边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设直线$AB$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(1,0)$、$B(0,-2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=0\\b=-2\end{cases}$
将$b=-2$代入$k+b=0$，解得$k=2$，
因此直线$AB$的函数关系式为$y=2x-2$。
(2) 由点$B$坐标为$(0,-2)$，可得$OB=|-2|=2$，
点$C$坐标为$(2,2)$，它到$y$轴的距离为$|2|=2$，即$△ BOC$中$OB$边上的高为2，
根据三角形面积公式得：$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × 高=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x-2}$
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础题，重点考查待定系数法的应用和坐标系内三角形面积的求解方法，解题的关键是准确确定三角形的底和对应高，整体运算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 求直线的函数关系式时，已知直线经过两个已知点，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将两个点的坐标代入解析式，得到关于系数$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可得到函数关系式。
(2) 求$△ BOC$的面积时，观察得点$B$在$y$轴上，可将$OB$作为三角形的底，长度等于点$B$纵坐标的绝对值；点$C$到$y$轴的水平距离就是点$C$横坐标的绝对值，可作为$OB$边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设直线$AB$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(1,0)$、$B(0,-2)$代入解析式，得：
$\begin{cases}k+b=0\\b=-2\end{cases}$
将$b=-2$代入$k+b=0$，解得$k=2$，
因此直线$AB$的函数关系式为$y=2x-2$。
(2) 由点$B$坐标为$(0,-2)$，可得$OB=|-2|=2$，
点$C$坐标为$(2,2)$，它到$y$轴的距离为$|2|=2$，即$△ BOC$中$OB$边上的高为2，
根据三角形面积公式得：$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OB × 高=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x-2}$
(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础题，重点考查待定系数法的应用和坐标系内三角形面积的求解方法，解题的关键是准确确定三角形的底和对应高，整体运算量小。
【难度系数】
0.8
