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1.(2024·宁波市南三县)下列方程中,是二元一次方程的是(
A.$x^2 - y = 1$
B.$x = 1 + \dfrac{2}{y}$
C.$\dfrac{x}{2} + y$
D.$x + y = 2$
D
)A.$x^2 - y = 1$
B.$x = 1 + \dfrac{2}{y}$
C.$\dfrac{x}{2} + y$
D.$x + y = 2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为二元一次方程，需依据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。接下来逐一分析各选项是否满足该定义。
【解析】
二元一次方程需满足三个条件：①含两个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程。
选项A：方程中$x$的次数是2，不满足“未知数的最高次数为1”，不是二元一次方程；
选项B：分母中含有未知数$y$，不是整式方程，不是二元一次方程；
选项C：$\dfrac{x}{2} + y$是代数式，不是等式，不是方程；
选项D：方程$x + y = 2$含有两个未知数$x$、$y$，未知数的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的基本概念，属于基础题型，核心是准确掌握二元一次方程的判定条件，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为二元一次方程，需依据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。接下来逐一分析各选项是否满足该定义。
【解析】
二元一次方程需满足三个条件：①含两个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程。
选项A：方程中$x$的次数是2，不满足“未知数的最高次数为1”，不是二元一次方程；
选项B：分母中含有未知数$y$，不是整式方程，不是二元一次方程；
选项C：$\dfrac{x}{2} + y$是代数式，不是等式，不是方程；
选项D：方程$x + y = 2$含有两个未知数$x$、$y$，未知数的次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的基本概念，属于基础题型，核心是准确掌握二元一次方程的判定条件，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.(2024·湖州德清)已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程$2x+my=5$的一个解,则$m$的值为 ……………………………………………………………（ ）
A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-1$
A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-1$
答案
2.B
解析
【分析】要确定m的值，需依据方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解。将已知的解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入方程$2x+my=5$，可得到关于m的一元一次方程，解此方程就能求出m的值。
【解析】把$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入方程$2x+my=5$，得：
$2×2 + m×1 = 5$
化简得：$4 + m = 5$
移项计算得：$m = 5 - 4 = 1$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解、一元一次方程的解法
【点评】本题为基础题型，直接考查方程解的定义，通过代入计算即可快速得出结果，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.9
【解析】把$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入方程$2x+my=5$，得：
$2×2 + m×1 = 5$
化简得：$4 + m = 5$
移项计算得：$m = 5 - 4 = 1$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解、一元一次方程的解法
【点评】本题为基础题型，直接考查方程解的定义，通过代入计算即可快速得出结果，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.9
3.(2024·台州路桥)某校有空地60平方米,计划将其中90%的土地开辟为菜园和葡萄园,已知葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米,问菜园和葡萄园的面积各多少平方米?设菜园的面积为x平方米,葡萄园的面积为y平方米,下列方程组正确的是 ………………………………………………………………（
A.$\begin{cases} x+y=60, \\ y=2x-3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=54, \\ y=2x-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=60, \\ x=2y-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=54, \\ x=2y-3 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+y=60, \\ y=2x-3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=54, \\ y=2x-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=60, \\ x=2y-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=54, \\ x=2y-3 \end{cases}$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步先确定菜园和葡萄园的总面积，题目说明空地60平方米，其中90%开辟为菜园和葡萄园，因此先计算这部分的总面积；第二步根据“葡萄园面积比菜园面积的2倍少3平方米”的数量关系，列出两个方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算菜园和葡萄园的总面积：空地总面积为60平方米，开辟为菜园和葡萄园的面积是60×90% = 54平方米，因此可得方程：$x + y = 54$；
2. 根据“葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米”，可得方程：$y = 2x - 3$；
综上，方程组为$\begin{cases} x+y=54, \\ y=2x-3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分比计算
【点评】
本题是二元一次方程组在实际问题中的基础应用，核心是先通过百分比确定两个未知量的和，再根据两者的数量关系列方程，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步思考：第一步先确定菜园和葡萄园的总面积，题目说明空地60平方米，其中90%开辟为菜园和葡萄园，因此先计算这部分的总面积；第二步根据“葡萄园面积比菜园面积的2倍少3平方米”的数量关系，列出两个方程，再对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算菜园和葡萄园的总面积：空地总面积为60平方米，开辟为菜园和葡萄园的面积是60×90% = 54平方米，因此可得方程：$x + y = 54$；
2. 根据“葡萄园的面积比菜园面积的2倍少3平方米”，可得方程：$y = 2x - 3$；
综上，方程组为$\begin{cases} x+y=54, \\ y=2x-3 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分比计算
【点评】
本题是二元一次方程组在实际问题中的基础应用，核心是先通过百分比确定两个未知量的和，再根据两者的数量关系列方程，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
4.(2024·绍兴越城、上虞)已知二元一次方程$2x - y = 10$，则用关于$x$的代数式表示$y$正确的是 ……………………（
A.$2x = 10 + y$
B.$x = \frac{10 + y}{2}$
C.$y = 2x - 10$
D.$y = 2x + 10$
C
）A.$2x = 10 + y$
B.$x = \frac{10 + y}{2}$
C.$y = 2x - 10$
D.$y = 2x + 10$
答案
4.C
解析
【分析】要解决这个问题，需明确“用关于x的代数式表示y”的核心要求：将y单独放在等式的一侧，通过移项、系数化为1等操作，把方程变形为y=ax+b的形式，再匹配选项即可。
【解析】已知二元一次方程为2x - y =10，我们按以下步骤变形：
1. 移项：将含y的项移到等式右侧，常数项移到左侧，得到 -y = 10 - 2x；
2. 系数化为1：等式两边同时乘以-1，得到 y = 2x -10，与选项C一致。
【答案】C
【知识点】二元一次方程的变形、代数式表示
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，核心考察移项法则的应用，属于基础题型，难度较低，适合巩固代数变形的基本技能。
【难度系数】0.9
【解析】已知二元一次方程为2x - y =10，我们按以下步骤变形：
1. 移项：将含y的项移到等式右侧，常数项移到左侧，得到 -y = 10 - 2x；
2. 系数化为1：等式两边同时乘以-1，得到 y = 2x -10，与选项C一致。
【答案】C
【知识点】二元一次方程的变形、代数式表示
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，核心考察移项法则的应用，属于基础题型，难度较低，适合巩固代数变形的基本技能。
【难度系数】0.9
5. 已知$|x+y+2|+(2x-3y-1)^2=0$，则$x,y$的值分别是（
A.$1,\dfrac{3}{5}$
B.$-1,-\dfrac{4}{5}$
C.$-1,-\dfrac{5}{4}$
D.$-1,-1$
D
）A.$1,\dfrac{3}{5}$
B.$-1,-\dfrac{4}{5}$
C.$-1,-\dfrac{5}{4}$
D.$-1,-1$
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，需利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。题目中绝对值和平方数均为非负数，它们相加等于0，因此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得到x、y的值后匹配选项即可。
【解析】
解：因为绝对值和平方数具有非负性，即$|x+y+2| ≥ 0$，$(2x - 3y - 1)^2 ≥ 0$，
又已知$|x+y+2| + (2x - 3y - 1)^2 = 0$，
所以可得方程组：
$\begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x = -y - 2$，代入第二个方程：
$2(-y - 2) - 3y - 1 = 0$
展开计算：$-2y - 4 - 3y - 1 = 0$
合并同类项：$-5y - 5 = 0$
解得：$y = -1$
把$y=-1$代入$x = -y - 2$，得$x = -(-1) - 2 = -1$
因此$x=-1$，$y=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查非负数的性质与二元一次方程组的求解，属于基础题型，解题关键是利用非负数和为0的条件列出方程组，再正确解方程组即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0。题目中绝对值和平方数均为非负数，它们相加等于0，因此可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得到x、y的值后匹配选项即可。
【解析】
解：因为绝对值和平方数具有非负性，即$|x+y+2| ≥ 0$，$(2x - 3y - 1)^2 ≥ 0$，
又已知$|x+y+2| + (2x - 3y - 1)^2 = 0$，
所以可得方程组：
$\begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{cases}$
将第一个方程变形为$x = -y - 2$，代入第二个方程：
$2(-y - 2) - 3y - 1 = 0$
展开计算：$-2y - 4 - 3y - 1 = 0$
合并同类项：$-5y - 5 = 0$
解得：$y = -1$
把$y=-1$代入$x = -y - 2$，得$x = -(-1) - 2 = -1$
因此$x=-1$，$y=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查非负数的性质与二元一次方程组的求解，属于基础题型，解题关键是利用非负数和为0的条件列出方程组，再正确解方程组即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.若方程组$\begin{cases}3x+4y=2, \\ ax-\dfrac{b}{2}y=5\end{cases}$与$\begin{cases}\dfrac{a}{3}x+by=4, \\ 2x-y=5\end{cases}$有相同的解,则$a,b$的值为 …………………………………………………………………………（ ）
A.$2,-3$
B.$2,-1$
C.$3,-2$
D.$-1,2$
A.$2,-3$
B.$2,-1$
C.$3,-2$
D.$-1,2$
答案
6.C
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足四个方程，其中不含参数a、b的方程组为$\begin{cases}3x+4y=2 \\2x-y=5\end{cases}$，先解此方程组得到公共解，再将公共解代入含a、b的方程，组成新的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，进而选出正确选项。
【解析】
1. 求两个方程组的公共解：
联立不含a、b的方程$\begin{cases}3x+4y=2 \\2x-y=5\end{cases}$，由第二个方程变形得$y=2x-5$，代入第一个方程：
$3x + 4(2x-5)=2$，
展开计算得$3x+8x-20=2$，
合并同类项得$11x=22$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=4-5=-1$，即公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$。
2. 代入含a、b的方程求解：
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-\dfrac{b}{2}y=5 \\\dfrac{a}{3}x+by=4\end{cases}$，化简得：
$\begin{cases}2a + \dfrac{b}{2}=5 ① \\\dfrac{2a}{3} - b=4 ②\end{cases}$，
①式两边乘2得$4a + b=10$ ③，
③+②得：$\dfrac{14a}{3}=14$，解得$a=3$，
将$a=3$代入③式，得$12 + b=10$，解得$b=-2$，
故$a=3$，$b=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是利用“同解”找到不含参数的方程组求解，再代入求参数，属于基础题型，需掌握方程组同解的处理方法。
【难度系数】
0.6
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足四个方程，其中不含参数a、b的方程组为$\begin{cases}3x+4y=2 \\2x-y=5\end{cases}$，先解此方程组得到公共解，再将公共解代入含a、b的方程，组成新的二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，进而选出正确选项。
【解析】
1. 求两个方程组的公共解：
联立不含a、b的方程$\begin{cases}3x+4y=2 \\2x-y=5\end{cases}$，由第二个方程变形得$y=2x-5$，代入第一个方程：
$3x + 4(2x-5)=2$，
展开计算得$3x+8x-20=2$，
合并同类项得$11x=22$，解得$x=2$，
将$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=4-5=-1$，即公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$。
2. 代入含a、b的方程求解：
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-\dfrac{b}{2}y=5 \\\dfrac{a}{3}x+by=4\end{cases}$，化简得：
$\begin{cases}2a + \dfrac{b}{2}=5 ① \\\dfrac{2a}{3} - b=4 ②\end{cases}$，
①式两边乘2得$4a + b=10$ ③，
③+②得：$\dfrac{14a}{3}=14$，解得$a=3$，
将$a=3$代入③式，得$12 + b=10$，解得$b=-2$，
故$a=3$，$b=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【点评】
本题考查同解方程组的性质，核心是利用“同解”找到不含参数的方程组求解，再代入求参数，属于基础题型，需掌握方程组同解的处理方法。
【难度系数】
0.6
