21.(8分)(2024·宁波市南三县)如图,在三角形ABC中,CD平分∠ACB,∠DEC+2∠ECD=180°。
(1)试判断DE与BC的位置关系,并说明理由。
(2)若∠FGB=∠EDC,且∠BFG=100°,求∠ADC的度数。

21.(1)DE//BC。理由如下:因为CD平分∠ACB,所以∠ECD=∠BCD。因为∠DEC+2∠ECD=180°。所以∠DEC+∠BCD+∠ECD=180°,所以DE//BC。
(2)因为DE//BC,所以∠EDC=∠BCD。因为∠FGB=∠EDC,所以∠FGB=∠BCD,所以FG//CD,所以∠BFG=∠BDC=100°,所以∠ADC=180°-∠BDC=80°。

【分析】
要判断DE与BC的位置关系，需结合角平分线性质和已知条件，利用平行线的判定定理推导；求∠ADC的度数时，需借助第一问的平行关系，通过角的等量代换推导新的平行关系，再结合平行线性质和邻补角定义计算。
【解析】
(1) DE//BC，理由如下：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ECD = ∠BCD（角平分线的定义）。
已知∠DEC + 2∠ECD = 180°，将2∠ECD拆分为∠ECD + ∠BCD，
可得∠DEC + ∠ECD + ∠BCD = 180°，即∠DEC + ∠ECB = 180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，因此DE//BC。
(2) 由(1)知DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
已知∠FGB = ∠EDC，
∴ ∠FGB = ∠BCD，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得FG//CD。
∴ ∠BFG = ∠BDC = 100°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠ADC与∠BDC是邻补角，即∠ADC + ∠BDC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - ∠BDC = 180° - 100° = 80°。
【答案】
(1) DE//BC；(2) ∠ADC=80°
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线定义、邻补角
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，结合角平分线和邻补角的知识点，解题核心是通过角的等量关系推导直线平行，属于常规几何题，注重基础应用。
【难度系数】
0.6

22.(10分)(2024·台州温岭)如图，$AB// CD$，过点B的直线EF交CD于点G，在AB，CD之间作射线BP，$∠ 1$与$∠ 2$互余。
(1)请说明:$BP⊥ EF$。
(2)作$∠ PBF$的平分线交CD于点H，若$∠ BHD=65°$，求$∠ 1$的度数。

22.(1)因为AB//CD,所以∠ABG+∠2=180°,即∠1+∠PBF+∠2=180°。因为∠1+∠2=90°,所以∠PBF=180°-(∠1+∠2)=90°,所以BP⊥EF。
(2)因为BH平分∠PBF,所以∠PBH=1/2∠PBF=45°。因为AB//CD,所以∠ABH=∠BHD=65°,所以∠1=∠ABH-∠PBH=20°。

【分析】
第(1)问：要证明$BP⊥EF$，需推导$∠ PBF=90°$。已知$AB// CD$，根据平行线同旁内角互补可得$∠ ABG+∠2=180°$，而$∠ ABG$可拆分为$∠1+∠ PBF$，结合$∠1$与$∠2$互余（即$∠1+∠2=90°$），代入计算即可得到$∠ PBF=90°$，从而完成证明。
第(2)问：要求$∠1$的度数，需结合角平分线和平行线的性质。先由角平分线定义算出$∠ PBH$，再根据平行线内错角相等得$∠ ABH=∠ BHD=65°$，最后利用角的和差关系，用$∠ ABH$减去$∠ PBH$即可得到$∠1$。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ ABG+∠2=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ABG=∠1+∠ PBF$，
$\therefore ∠1+∠ PBF+∠2=180°$，
$\because ∠1$与$∠2$互余（已知），即$∠1+∠2=90°$，
$\therefore ∠ PBF=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°$，
$\therefore BP⊥ EF$（垂直的定义）。
(2) 解：
$\because BH$平分$∠ PBF$（已知），
$\therefore ∠ PBH=\frac{1}{2}∠ PBF=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore ∠ ABH=∠ BHD=65°$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ ABH=∠1+∠ PBH$，
$\therefore ∠1=∠ ABH-∠ PBH=65°-45°=20°$。
【答案】
(1) $BP⊥ EF$，证明见解析；
(2) $∠1$的度数为$20°$。
【知识点】
平行线的性质、垂直的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，结合平行线性质、角平分线定义及垂直判定进行考查，需理清角的和差关系，熟练运用平行线相关性质，难度适中。
【难度系数】
0.6

23.(12分)(1)【问题解决】如图 1,已知$AB// CD,∠BEP=35°,∠CFP=155°$,求$∠EPF$的度数。
(2)【问题迁移】如图 2,若$AB// CD$,点 P 在 AB 的上方,则$∠PFC,∠PEA,∠EPF$之间有何数量关系?并说明理由。
(3)【联想拓展】如图 3,在(2)的条件下,已知$∠EPF=α,∠PEA$的平分线和$∠PFC$的平分线交于点 G,求$∠G$的度数(结果用含$α$的式子表示)。

23.(1)如图1,过点P作PM//AB,所以∠1=∠BEP。又因为∠BEP=35°,所以∠1=35°。因为AB//CD,所以PM//CD,所以∠2+∠CFP=180°。因为∠CFP=155°,所以∠2=180°-155°=25°,所以∠1+∠2=35°+25°=60°,即∠EPF=60°。
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF。理由如下:如图2,过点P作PN//AB,则PN//CD,所以∠PEA=∠NPE。因为∠FPN=∠NPE+∠FPE,所以∠FPN=∠PEA+∠FPE。因为PN//CD。所以∠FPN=∠PFC,所以∠PFC=∠PEA+∠EPF。
(3)记AB与PF的交点为O,连结EF,如图3。在三角形GFE中,∠G=180°-(∠GFE+∠GEF),因为∠GEF=1/2∠PEA+∠OEF,∠GFE=1/2∠PFC+∠OFE,所以∠GEF+∠GFE=1/2∠PEA+1/2∠PFC+∠OEF+∠OFE。由(2)知∠PFC=∠PEA+∠EPF,所以∠PEA=∠PFC-α。因为∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,所以∠GEF+∠GFE=1/2(∠PFC-α)+1/2∠PFC+180°-∠PFC=180°-1/2α,所以∠G=180°-(∠GEF+∠GFE)=180°-180°+1/2α=1/2α。

【分析】
本题为平行线的拐点问题，核心思路是通过作辅助平行线，将分散的角转化为与平行线相关的内错角、同旁内角，从而建立角的数量关系。
(1) 图1中，过点P作AB的平行线，利用平行线性质拆分∠EPF，分别计算两个角的度数后求和；
(2) 图2中，过点P作AB的平行线，结合平行线内错角相等，推导∠PFC、∠PEA、∠EPF的关系；
(3) 图3中，利用(2)的结论，结合角平分线定义和三角形内角和定理，推导∠G与α的关系。
【解析】
(1) 如图1，过点P作PM//AB，
因为AB//CD，所以PM//CD，
根据平行线性质：两直线平行，内错角相等，得∠1=∠BEP=35°；
两直线平行，同旁内角互补，得∠2+∠CFP=180°，
已知∠CFP=155°，所以∠2=180°-155°=25°，
因此∠EPF=∠1+∠2=35°+25°=60°。
(2) ∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由如下：
如图2，过点P作PN//AB，
因为AB//CD，所以PN//CD，
根据平行线性质：两直线平行，内错角相等，得∠PEA=∠NPE，∠PFC=∠FPN，
又因为∠FPN=∠NPE+∠EPF，
所以∠PFC=∠PEA+∠EPF。
(3) 如图3，记AB与PF的交点为O，
由(2)的结论得：∠PFC=∠PEA+∠EPF=∠PEA+α，故∠PEA=∠PFC-α，
因为EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，
所以∠GEF=1/2∠PEA + ∠OEF，∠GFE=1/2∠PFC + ∠OFE，
在△OEF中，∠OEF + ∠OFE=180°-∠FOE，又∠FOE与∠PFC为同旁内角，故∠OFE+∠OEF=180°-∠PFC，
因此∠GEF + ∠GFE=1/2∠PEA + 1/2∠PFC + (∠OEF + ∠OFE)，
代入∠PEA=∠PFC-α和∠OEF+∠OFE=180°-∠PFC，
得：1/2(∠PFC-α) + 1/2∠PFC + 180°-∠PFC = 180° - 1/2α，
在△GEF中，∠G=180°-(∠GEF+∠GFE)=180°-(180° -1/2α)=1/2α。
【答案】
23.(1)如图1,过点P作PM//AB,所以∠1=∠BEP。又因为∠BEP=35°,所以∠1=35°。因为AB//CD,所以PM//CD,所以∠2+∠CFP=180°。因为∠CFP=155°,所以∠2=180°-155°=25°,所以∠1+∠2=35°+25°=60°,即∠EPF=60°。
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF。理由如下:如图2,过点P作PN//AB,则PN//CD,所以∠PEA=∠NPE。因为∠FPN=∠NPE+∠FPE,所以∠FPN=∠PEA+∠FPE。因为PN//CD。所以∠FPN=∠PFC,所以∠PFC=∠PEA+∠EPF。
(3)记AB与PF的交点为O,连结EF,如图3。在三角形GFE中,∠G=180°-(∠GFE+∠GEF),因为∠GEF=1/2∠PEA+∠OEF,∠GFE=1/2∠PFC+∠OFE,所以∠GEF+∠GFE=1/2∠PEA+1/2∠PFC+∠OEF+∠OFE。由(2)知∠PFC=∠PEA+∠EPF,所以∠PEA=∠PFC-α。因为∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,所以∠GEF+∠GFE=1/2(∠PFC-α)+1/2∠PFC+180°-∠PFC=180°-1/2α,所以∠G=180°-(∠GEF+∠GFE)=180°-180°+1/2α=1/2α。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的平行线拐点问题，通过作辅助平行线转化角是核心解题方法；第三问结合角平分线与三角形内角和，进一步考查角的逻辑推导，体现几何中角的转化思想。
【难度系数】
0.6