18.(6分)(2024·绍兴柯桥)已知:如图所示,直线AB,DE被直线AD所截,分别交直线AB,DE于点A,D。C为其内部一点,连结AC,CD,且满足∠1+∠2=∠ACD。
(1)请说明:AB//DE。
(2)若∠ACD=90°,且AC平分∠BAD,请说明∠1和∠ADC的数量关系。

18.(1)因为∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°,又因为∠1+∠2=∠ACD,所以∠CAD+∠CDA+∠1+∠2=180°,∠CAD+∠1+∠CDA+∠2=180°,即∠BAD+∠ADE=180°,所以AB//DE。
(2)因为AC平分∠BAD,所以∠CAD=∠1。因为∠ACD=90°,所以∠CAD+∠ADC=90°。所以∠1+∠ADC=90°。

【分析】
第(1)问要证明AB//DE，需利用“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理，找到∠BAD与∠ADE的和为180°。结合三角形内角和定理，将已知的∠1+∠2=∠ACD代入△ACD的内角和公式，即可转化出∠BAD+∠ADE=180°，完成证明。第(2)问利用角平分线定义得∠CAD=∠1，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导∠1与∠ADC的数量关系。
【解析】
(1) 在△ACD中，根据三角形内角和定理：∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°。
已知∠1 + ∠2 = ∠ACD，将其代入上式得：
∠CAD + ∠CDA + ∠1 + ∠2 = 180°，
整理得：(∠CAD + ∠1) + (∠CDA + ∠2) = 180°，
又因为∠CAD + ∠1 = ∠BAD，∠CDA + ∠2 = ∠ADE，
所以∠BAD + ∠ADE = 180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可证AB//DE。
(2) 因为AC平分∠BAD，根据角平分线的定义，得∠CAD = ∠1。
已知∠ACD = 90°，在△ACD中，根据三角形内角和定理：∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°，
所以∠CAD + ∠ADC = 180° - 90° = 90°，
将∠CAD = ∠1代入，得∠1 + ∠ADC = 90°。
【答案】
(1) AB//DE；(2) ∠1 + ∠ADC = 90°
【知识点】
平行线的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定、三角形内角和定理及角平分线的应用，解题核心是通过角的转化结合相关定理推导结论，属于基础几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5

19.(6分)(2024·台州临海、仙居)如图,潜望镜中的两面镜子AB,CD是互相平行放置的,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4,请说明进入潜望镜的光线$l_1$和离开潜望镜的光线$l_2$平行。
解:因为$AB// CD$(已知),
所以∠2=()。
因为∠1=∠2,∠3=∠4(已知),
所以∠1=∠2=∠3=∠4(等量代换),
所以∠1+∠2=∠3+∠4。
因为∠1+∠2+∠5=180°(平角的定义),
所以∠5=180°-(∠1+∠2)。
同理=180°-(∠3+∠4),
所以=(等量代换),
所以$l_1// l_2$()。

19.因为AB//CD(已知),所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。因为∠1=∠2,∠3=∠4(已知),所以∠1=∠2=∠3=∠4(等量代换),所以∠1+∠2=∠3+∠4。因为∠1+∠2+∠5=180°(平角的定义),所以∠5=180°-(∠1+∠2)。同理∠6=180°-(∠3+∠4)。所以∠5=∠6(等量代换),所以l₁//l₂(内错角相等,两直线平行)。

【分析】
要证明光线$l_1$和$l_2$平行，需结合平行线的性质、判定定理及平角定义推导。已知$AB// CD$，根据平行线性质可得内错角$∠2=∠3$；结合反射角相等的条件，推出$∠1+∠2=∠3+∠4$；再利用平角定义得到$∠5$和$∠6$的表达式，进而推出$∠5=∠6$，最终根据平行线判定定理证明$l_1// l_2$。
【解析】
因为$AB// CD$(已知),
所以$∠2=∠3$(两直线平行,内错角相等)。
因为$∠1=∠2,∠3=∠4$(已知),
所以$∠1=∠2=∠3=∠4$(等量代换),
所以$∠1+∠2=∠3+∠4$。
因为$∠1+∠2+∠5=180°$(平角的定义),
所以$∠5=180°-(∠1+∠2)$。
同理$∠6=180°-(∠3+∠4)$,
所以$∠5=∠6$(等量代换),
所以$l_1// l_2$(内错角相等,两直线平行)。
【答案】
$∠3$；两直线平行，内错角相等；$∠6$；$∠5$；$∠6$；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定
【点评】
本题以潜望镜光线反射为背景，考查平行线性质与判定的综合应用，解题核心是理清角的关系，逐步推导，属于基础几何证明题，侧重对基本定理的掌握。
【难度系数】
0.6

20.(8分)已知:如图,三角形ABC中,点D,E分别在AB,AC上,EF交DC于点F,∠3+∠2=180°,∠1=∠B。
(1)请说明:$DE// BC$。
(2)若DE平分$∠ADC,∠3=3∠B$,求$∠2$的度数。

20.(1)因为∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°,所以∠DFE=∠3,所以AB//EF,所以∠1=∠ADE。因为∠1=∠B,所以∠ADE=∠B,所以DE//BC。
(2)由(1)知,∠ADE=∠B,AB//EF,所以∠2=∠ADC。因为DE平分∠ADC,所以∠ADC=2∠ADE=2∠B。因为∠3+∠ADC=180°,∠3=3∠B,所以3∠B+2∠B=180°,解得∠B=36°,所以∠ADC=72°,所以∠2=72°。

【分析】
要证明$DE// BC$，需结合平行线的判定定理，通过已知角的关系推导角相等：先利用邻补角和已知的$∠3+∠2=180°$推出$AB// EF$，再结合$∠1=∠ B$得到同位角$∠ ADE=∠ B$，从而证得$DE// BC$；求$∠2$的度数时，利用第一问的平行结论，结合角平分线定义和角度和的关系计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ DFE + ∠2 = 180°$（邻补角的定义），
又$\because ∠3 + ∠2 = 180°$（已知），
$\therefore ∠ DFE = ∠3$（同角的补角相等），
$\therefore AB// EF$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1 = ∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠1 = ∠ B$（已知），
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$（等量代换），
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
由(1)知$AB// EF$，
$\therefore ∠2 = ∠ ADC$（两直线平行，同位角相等），
$\because DE$平分$∠ ADC$（已知），
$\therefore ∠ ADC = 2∠ ADE = 2∠ B$（角平分线的定义，且$∠ ADE=∠ B$），
又$\because ∠3 + ∠ ADC = 180°$（平角的定义），且$∠3 = 3∠ B$（已知），
$\therefore 3∠ B + 2∠ B = 180°$（等量代换），
解得$∠ B = 36°$，
$\therefore ∠ ADC = 2×36° = 72°$，
$\therefore ∠2 = 72°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $∠2=72°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定、性质及角平分线的定义，解题核心是通过角的关系推导直线平行，再利用平行转化角度，逻辑推理要求清晰，是几何基础综合题。
【难度系数】
0.6